Diagonal-Sudoku/X-Sudoku Solver

Auflistung aller Einzelschritte inklusive genauer Erklärungen und Punkte-Bewertung - mit Goldenen Ketten inkl. (W)XYZ-Wing, Einzelzahl-Gitter, Einzelzahl-Ketten und Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten, Ausschluss-Ketten, Widerspruchs-Ketten, Folgerungs-Ketten und Alternativ-Ketten

Diagonal-Sudoku,   Stand: 12. November 2023   Alternative: Version ohne Bowman's Bingo;   Vorhergehende Version (November 2021)   Ingolf Giese

Geben Sie die 81 Ausgangszahlen/-Buchstaben ein (1..9 bzw. A..I) - entweder als 81 Zeichen langer String (mit irgendeinem anderen Zeichen für die freien Zellen, z.B. 0, . oder BLANK) oder einzeln in der Tabelle (mit TAB zum Weitergehen):





















  PS: Sie können mit der TAB-Taste oder der Leertaste von Feld zu Feld springen
         ohne die Maus zu benutzen :-)

         Die Auto-Tab-Funktion erspart das Springen zum nachfolgenden Feld

         

  Eventuelle Bezeichnung des Sudokus (Quelle):

         

Offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel:   keine         einfache         alle
Ausführlichkeit der Angaben:   ohne Alternativen         mit Ausdünn-Alternativen         auch bei den Direkten Methoden A-D (gleiche Position)
alle Minimal-Lösungen bei den Direkten Methoden A-D         alle Lösungen bei den Direkten Methoden A-D
Ausgabetyp der Ausdünn-Lösungsschritte:   in gefundener Reihenfolge         mit Angabe der gestrichenen Kandidaten
Synchrone Lösungsschritt- und Ausdünnschritt-Bestimmung:   ohne (halb-synchron)         pseudo         einfach         mittel         hoch         komplex         weitestgehend         allerweitestgehend

oder:

                 

Die vierstelligen Optionszahlen stellen nacheinander die aufgeführten Auswahlen der 4 Lösungs-Strategien dar, mit 0 = 1. Wahl, 1 = 2. Wahl, u.s.w.; Default ist also 1012.


Ohne synchrone bzw. halb-synchrone Lösungsschritt- und Ausdünnschritt-Bestimmung heißt, dass jeweils nach einem Lösungsschritt bzw. Ausdünnschritt alle mit der kleinsten Punktzahl bzw. maximalen Zahl von Streichungen angezeigt und danach von neuem gesucht wird.

Pseudo-synchrone Lösungsschritt- und Ausdünnschritt-Bestimmung heißt, dass nach maximal 4 synchron gefundenen Lösungsschritten bzw. Ausdünnschritten der erste (mit der kleinsten Punktzahl bzw. maximalen Zahl von Streichungen) angezeigt und benutzt wird, bei weniger als 4 synchron gefundenen Schritten mit Extra-Punkten bewertet und danach von neuem gesucht wird. Das ist die beste Methode, um die Schwierigkeit eines Sudokus zu bestimmen.

Bei der vollständigen synchronen Lösungsschritt- und Ausdünnschritt-Bestimmung werden mehrere gleichzeitig mögliche, unabhängige Lösungsschritte bzw. Ausdünnschritte gesucht und dargestellt - beim Ausdünnen in 6 Stufen:
     Einfache Bestimmung (bis 5 Punkte): Nur die Basis-Methoden 2-Tupel, Zeilen-/Spalten-Tests und Box-Tests, und die einfachen Typen 1, 2, 5 und 3A der Ausschluss-Rechtecke

     Mittlere Bestimmung (bis 8 Punkte): Zusätzlich mit 3-Tupeln, kurzen Goldenen Ketten (Länge 3 bis 5) und Einzelzahl-Ketten der Länge 4, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten der Länge 3 und 5, den komplexeren Typen der Ausschluss-Rechtecken der Typen 3B, 4, 7, 8 und 6, den einfachen Typen 1, 2, 5 und 3A der Quasi-Ausschluss-Rechtecke und den einfachen Typen 1, 2, 5 und 3A der 6er-Ausschluss-Ketten

     Hohe Bestimmung (bis 11 Punkte): Auch mit 4-Tupeln bzw. versteckten 2-Tupeln, etwas längeren Goldenen Ketten (Länge 6 bis 8), Einzelzahl-Ketten der Länge 6, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten der Länge 7 und 9, den komplexeren Typen 3B, 4, 7, 8 und 6 der Quasi-Ausschluss-Rechtecke, den komplexeren Typen 3B, 4, 7, 8 und 6 der 6er-Ausschluss-Ketten, den einfachen Typen 1, 2, 5 und 3A der 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten und den einfachen Typen 1, 2, 5 und 3A der 8er-Ausschluss-Ketten

     Komplexe Bestimmung (bis 14 Punkte): Weiter mit 5-Tupeln bzw. versteckten 3-Tupeln, mit mittelgroßen Goldenen Ketten (Länge 9 bis 11), Einzelzahl-Ketten der Länge 8, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten der Länge 11, den komplexeren Typen 3B, 4, 7, 8 und 6 der 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten, den komplexeren Typen 3B und 4 der 8er-Ausschluss-Ketten und den einfachen Typen 1, 2, 5 und 3A der 10er-Quasi-Ausschluss-Ketten

     Weitestgehende Bestimmung (bis 17 Punkte): Dazu mit 6-Tupeln bzw. versteckten 4-Tupeln, mit langen Goldenen Ketten (Länge 12), Einzelzahl-Ketten der Länge 10, den komplexeren Typen 3B und 4 der 10er-Ausschluss-Ketten und den einfachen Typen 1, 2, 5 und 3A der 12er-Ausschluss-Ketten

     Allerweitestgehende Bestimmung (mehr als 17 Punkte): Weiter mit 7-Tupeln, langen Einzelzahl-Ketten (Länge 12), allen höherwertigen Typen und Längen aller Ausschluss-Ketten, und allen Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten



===> Standard-Sudoku Solver <===

===> Farb-Sudoku Solver <===

===> Farbdiagonal-Sudoku <===


Als Beispiel für eine Mobil-Version (für Smartphone, Tablet u.s.w.):

===> Diagonal-Sudoku - Mobil-Version <===


===> Diagonal-Sudoku Print <===   Webseite zum Anzeigen und Drucken von jeweils 4 neu zufällig ausgewählten Diagonal-Sudokus eines angebbaren Schwierigkeitsgrades - jetzt mit neuer Optik und der Möglichkeit, ein Sudoku über dessen Nummer nachträglich online rechnen zu lassen - damit auch als Beispiel-Sammlung benutzbar


NEU: Sudoku Online: Statt Bleistift und Radiergummi (jetzt auch mit Buchstaben statt Zahlen) - Alle auch als Mobil-Version vorhanden:

===> Online-Standard-Sudoku <===

===> Online-Farb-Sudoku <===

===> Online-Diagonal-Sudoku <===

===> Online-Farbdiagonal-Sudoku <===



Inhalts-/Stichwort-Verzeichnis

  1. Prinzipen zur Lösung von Sudokus
  2. Zusätzliche Lösungsmethoden und Besonderheiten bei Diagonal-Sudokus/X-Sudokus <===
  3. Punktevergabe und Reihenfolge der Abarbeitung/Ermittlung für alle Ausdünnmethoden
  4. Programm-Neuigkeiten                                                                                           <===
  5. Falsche Annahme: Wenig Ausgangszahlen = Hohe Schwierigkeit                        <===
  6. Direkte Sudoku-Lösungsmethoden
    1. Einzige Position einer Zahl (Hidden Single)
    2. Einzig mögliche Zahl (Naked Single)
    3. Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test (Direct Pointing)
    4. Offensichtliche 2-Tupel (Doppel) (Direct Hidden Pair)
    5. Ausdünnung mit einem alleine auftretendem Kandidaten
    6. Ausdünnung mit einem einzig möglichen Kandidaten (einstelliger Rest)
  7. Methoden zur Ausdünnung der Reste (Kandidatenlisten)
    1. Zeilen-/Spalten-Test und Box-Test
      1. Zeilen-/Spalten-Test der Reste innerhalb einer Box (Block/Line Interaction, Pointing)
      2. Box-Test der Reste in einer Zeile oder Spalte (Line/Block Interaction, Claiming)
    2. N-Tupel (Naked Pair, Hidden Pair, Naked Triple, Hidden Triple, Naked Quadruple, Hidden Quadruple)
    3. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain) inkl. XYZ-Wing und WXYZ-Wing
      1. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain)
      2. XYZ-Wing
      3. WXYZ-Wing
    4. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish), Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain) und Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten
      1. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish)
      2. Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain)
      3. Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten
    5. Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles) und Ausschluss-Ketten (Unique Loops)
      1. Übersicht Ausschluss-Rechtecke
      2. Ausschluss-Rechtecke
      3. Quasi-Ausschluss-Rechtecke
      4. 6er-Ausschluss-Ketten
      5. 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten
      6. 8er-Ausschluss-Ketten
      7. 10er-, 12er-, 14er-Ausschluss-Ketten
    6. Widerspruchs-Ketten und -Netze
      1. Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten (Discontinuous und Continuous Nice Loops)
      2. Bowman's Bingo
    7. Sehr einfache (leichte) und sehr schwierige (schwere) Standard-Sudokus

     


     

    Prinzipen zur Lösung von Sudokus

    Diagonal-Sudoku-Grundregel: Es müssen in jeder Zeile, in jeder Spalte, in jeder Box (3x3-Kästchen) und in jeder der beiden Diagonalen alle Zahlen von 1 bis 9 genau einmal vorkommen. Ein "richtiges" Sudoku sollte auf jeden Fall eindeutig gelöst werden können. Diagonal-Sudokus können auch weniger als 17 Ausgangszahlen haben, um lösbar zu sein - beobachtet wurden einige Sudokus mit 12 und 13 Ausgangszahlen; es ist nicht bekannt, ob es auch Diagonal-Sudokus weniger als 12 vorgegebenen Zahlen gibt. Diagonal-Sudokus werden oft auch X-Sudokus benannt wegen der X-Form der Diagonalen.

    Prinzipiell sind alle Lösungsmethoden und Ausdünnmethoden wie bei den Standard-Sudokus benutzbar, im Allgemeinen aber erweitert auf den Bereich der Diagonalen (z.B. können N-Tupel, Goldene, Einzelzahl- oder Widerspruchs-Ketten auch über Diagonalen verbunden sein). Es gibt aber geringe Unterschiede: Z.B. sind analog den Zeilen-/Spalten- und Box-Tests auch Diagonalen-Tests möglich, und bei den Ausschluss-Ketten dürfen die betrachteten Zellen nicht in den Diagonalen liegen.

    Eine große Zahl der hier bekannten Standard-Sudokus (bisher über 120000 von etwa 1500000 Sudokus - 55000 weitere haben genau 17 Ausgangszahlen und sind damit nicht reduzierbar) wurden mittels Reduzierung analysiert - d.h. es wurden bei jedem Sudoku alle daraus abgeleiteten Sudokus untersucht, denen eine der Ausgangszahlen weggenommen wurde; ist mindestens eines dieser reduzierten Sudokus lösbar, wurde das gleiche Verfahren auf eines dieser Sudokus angewandt, wodurch die Anzahl der notwendigen Ausgangszahlen immer mehr verkleinert wurde, bis kein lösbares Sudoku mehr erzeugt werden konnte (wobei natürlich extrem viele verschiedene Wege durchlaufen werden können). Etwa 12.5 % der untersuchten Sudokus konnten nicht reduziert (also verkleinert) werden, und es waren alle untersuchten Sudokus mit mehr als 33 Ausgangszahlen reduzierbar: Es wurde dabei bisher kein einziges Standard-Sudoku gefunden, das mehr Ausgangszahlen benötigt! Einzelheiten siehe auch unter "Notwendige Ausgangszahlen i.A. nur von 17 bis 31, extrem selten bis 40".

    Beispiel eines der Sudokus mit 30 notwendigen Ausgangszahlen mit 6 Ausdünnschritten: 000002030200007500400360071078000005004000100100080090000821600002700004017046300

    Beispiel eines der Sudokus mit 31 notwendigen Ausgangszahlen mit 19 Ausdünnschritten: 008201030200780000007006802901000000406079003070800609009600300000000004014030208

    Beispiel eines der extrem wenigen Sudokus mit 32 notwendigen Ausgangszahlen mit 11 Ausdünnschritten: 027048060468301070300000000084100600210800009003000000800600590070000000600285730

    Beispiel eines der bisher nur 4 Sudokus mit 33 notwendigen Ausgangszahlen mit 11 Ausdünnschritten: 020048060468301070300700000084100600216800009000000000830600590070000000609280730

    Beispiel eines der beiden Sudokus mit 40 notwendigen Ausgangszahlen (siehe Mladen Dobrichev) mit 167 Punkten mit 13 Ausdünnschritten: 000000000012034567034506182001058206008600001020007050003705028080060700207083615

    Es sind auch 34 oder mehr (und inzwischen bis 40) notwendige Ausgangszahlen in Standard-Sudokus möglich - aber es wurden hier bis jetzt bei mehr als 120000 Sudokus nur 15 Sudokus mit 30 notwendigen Ausgangszahlen und nur 2 mit 31 notwendigen Ausgangszahlen gefunden. Die Fragestellung der maximalen notwendigen Anzahl von Ausgangszahlen wurde bisher selten untersucht: Die meisten existierenden Sudokus haben unnötig viele Ausgangszahlen - meist unter der irrigen Ansicht, dass eine kleinere Anzahl ein schwierigeres Sudoku ergibt (ein typischer Irrtum bei allen Sudokus aus vielen Zeitungen und Zeitschriften): Etwa 81 % aller hier bekannten (etwa 57000) Sudokus mit 17 Ausgangszahlen sind einfach lösbar, während von den etwa 110000 Sudokus mit 25 Ausgangszahlen nur etwa 30 % einfach lösbar sind, sie also im Allgemeinen viel schwieriger sind! Außerdem weiß jeder Sudoku-Löser, dass man auch bei einem schwierigen Sudoku oft am Anfang sehr leicht mehrere Zahlen finden kann, ehe es wirklich schwierig wird. Näheres siehe auch unter "Zur Schwierigkeit/Bewertung eines Sudokus" und unter "Analyse der 49158 Sudokus von Gordon Royle mit 17 Ausgangszahlen".

    Die gleichen Reduzierungs-Untersuchungen wie für Standard-Sudokus wurden auch für die hier bekannten etwa 31000 Diagonal-Sudokus und 21000 Farb-Sudokus gemacht. Bei den Diagonal-Sudokus scheint 12 die kleinste Ausgangsanzahl zu sein. Bei den Farb-Sudokus ist sogar 11 (!) die wahrscheinlich kleinste Ausgangsanzahl. Bei allen drei Sudoku-Typen (Standard-, Diagonal-, Farb-Sudoku) waren die Anzahlen der Ausgangszahlen der reduzierten Sudokus recht gut normalverteilt (typische Gaußsche Glockenkurve). Bei Standard-Sudokus lagen alle notwendigen Ausgangszahlen im Bereich 17 bis 30 mit dem Mittelwert 23.9 (woraus der obere Wert aus Symmetriegründen mit 30.8 nahe 31 liegt). Dabei kamen die Ausgangszahlen 23 bis 25 bei jeweils etwa 20 bis 32 % aller reduzierten Sudokus vor, und die Rand-Ausgangszahlen 17 bis 19 und 29 bis 31 lagen weit unter jeweils 1 % der Häufigkeit.
    Bei Diagonal-Sudokus lagen alle Ausgangszahlen der reduzierten Sudokus im (erstaunlich kleinen und schiefen) Bereich 12 bis 22 mit dem Mittelwert 17.9 - woraus man aus Symmetriegründen auch auf ein Diagonal-Sudoku mit maximal notweniger Ausgangszahl von 23 schließen könnte (es wurden aber nur 18 Sudokus mit 22 notwendigen Ausgangszahlen gefunden). Die Ausgangszahlen 17 bis 19 der reduzierten Diagonal-Sudokus bildeten hier jeweils etwa 23, 35 und 24 % aller Fälle, die Rand-Ausgangszahlen 12 bis 14 und 21 bis 22 lagen ebenfalls jeweils weit unter 1 %.
    Bei Farb-Sudokus im (erstaunlich großen und auch schiefen) Bereich 11 bis 27 war der Mittelwert 17.5, dabei hatten die Ausgangszahlen 17 und 18 jeweils etwa 30 bzw. 27 % Häufigkeit; die selten (0.25 %) auftretenden Ausgangszahlen 25 bis 27 fielen (trotz der weit unter 1 % liegenden Häufigkeit) aber doch etwas aus der Normalverteilung heraus.

    Die Zeilen und Spalten werden hier von oben links an mit 1 bis 9 durchnummeriert, die Boxen werden mit OL (oben links), OM (oben Mitte), OR (oben rechts), ML (Mitte links), MM (Mitte Mitte), ..., bis UR (unten rechts) bezeichnet. Die benutzten Lösungsmethoden werden oft kurz mit mit A bis F bezeichnet, die zusätzliche Ziffer danach bezeichnet eine Untergruppe, dabei steht z.B. 1 für Zeile oder 3 für Box. Die Abarbeitung geht zeilenweise von links oben bis nach rechts unten und bei den Zahlen von 1 bis 9.

    Dieses Programm benutzt 6 Lösungsmethoden(-gruppen) mit verschiedener Punkte-Gewichtung, und ebenfalls 6 Gruppen von Analysemethoden(-gruppen) für die Ausdünnung (ebenfalls mit unterschiedlichen Punkten gewichtet). Die Lösungsmethoden zum Auffinden einer einsetzbaren Zahl und die Ausdünnmethoden zum Auffinden eines streichbaren Kandidaten können nicht-synchron oder synchron gerechnet werden. Bei der nicht-synchronen Rechnung wird nach dem ersten gefundenen Auffinden einer Zahl bzw. eines Kandidaten das Ergebnis (mit der geringsten Punktzahl bzw. der maximalen Zahl von Streichungen) ausgegeben, d.h. es hängt stark von der vorgegebenen Reihenfolge der Programmschritte ab, wobei natürlich versucht wurde, eine Reihenfolge zu finden, die der Vorgehensweise eines Menschen angepasst ist. Bei der synchronen Rechnung werden (im Allgemeinen bis zu mit einer Option ausgewählten Komplexität der Methoden) alle gleichzeitig gefundenen Ergebnisse dargestellt (ohne dass diese dabei schon Einfluss auf das Vorgehen haben), was den Vorteil hat, dass man alle Möglichkeiten auf einmal sieht (zur Überprüfung, ob man alle Fälle selbst auch gesehen hat) und auch erkennt, wie viele es davon gibt (wobei es bei sehr wenigen Treffern Extra-Punkte gibt); allerdings liegt die Punkte-Bewertung im synchronen Fall oft um einiges höher als im nicht-synchronen Fall, weil viele der gefundenen Lösungsschritte bzw. Ausdünnschritte eventuell gar nicht zur Bestimmung des Sudokus notwendig sind. Die Punkte-Bewertung ist also abhängig von der gewählten Lösungs-Strategie (siehe Dokumentation). Wurden im nicht-synchronen Fall eine oder mehrere Zahlen eingesetzt bzw. ein oder mehrere Kandidaten gestrichen bzw. wurden im synchronen Fall alle gefundenen Zahlen eingesetzt bzw. alle gefundenen Kandidaten gestrichen, beginnt die weitere Abarbeitung wieder mit der einfachsten Methode.

    Bei der Lösung und der Bewertung wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Kandidaten (Reste) zu lösen, da beim Arbeiten mit Hand dies zuerst einmal der natürliche Weg ist - im Gegensatz zu den sonst üblichen, im Internet zu findenden Sudoku-Solvern (z.B. HoDoKu, SudokuExplainer, Sudoku Solver by Andrew Stuart), die sofort alle möglichen Kandidaten für alle Zellen aufschreiben! Es kommen also zuerst nur die direkten Methoden A, B, C und D (C und D optional) zum Einsatz. Erst dann, wenn man damit nicht weiter kommt, werden für jede Zelle alle Zahlen aufgeschrieben, die dafür in Frage kommen: die Kandidaten, die hier als Ganzes oft Rest genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen) geschrieben werden - und das ist per Hand einiges an Arbeit (dafür gibt es auch Extra-Punkte). Danach versucht man, diese Reste (Kandidatenlisten) so lange auszudünnen, also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Zelle kommt (Lösungsmethoden E und F). Dieses Ausdünnen (Kandidaten-Reduzierung) wird hier mit den wichtigsten 6 Methoden versucht, die weiter unten erklärt werden.

    Es gibt noch vielleicht 30 weitere Ausdünnmethoden (siehe z.B. http://www.sudokuwiki.org/sudoku.htm), die wenig zusätzliche Lösungen bringen (also bei weniger als 5-7 % der hier gespeicherten 1.5 Millionen Sudokus), aber im Allgemeinen ziemlich kompliziert sind (z.B. Long String Kite, 3D-Medusa, Finned Swordfish oder Aligned ALS Exclusion) bzw. nahe einem Trial&Error-Verfahren liegen (Almost Locked Sets Chain, Nishio Forcing Chain, Forcing Net). Nicht alle Sudokus können mit den hier programmierten (und wohl wichtigsten) Verfahren - die eigentlich auch gut verstehbar und erlernbar sind - gelöst werden, aber die hier nicht lösbaren Sudokus sind sowieso nur etwas für Spezialisten. Dieses Programm soll nicht ein Sudoku einfach lösen, sondern alle Lösungsschritte zum Nachvollziehen aufzeigen.

    Interessant ist dabei, dass es manchmal Sudokus gibt, die zwar mit diesem Programm lösbar sind, aber bei der Trial&Error-Methode lange Rechenzeiten erfordern. Natürlich spielt dabei eine Rolle, in welcher Reihenfolge der Trial&Error-Test ausgeführt wird, aber das Prinzip gibt es immer. Beispiel:
    Nach 65919 Versuchen mit bis zu 27 Level in 770 sec mit Trial&Error gefunden, aber mit nur 32 Punkten in knapp 0.4 sec direkt gelöst:
    000000000000001002003000040000000005002040006070008900000020030000050000710000600

    Und umgekehrt gibt es Sudokus, die mit diesem Programm bisher nicht gelöst werden konnten, aber bei gerade 2 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:
    Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach 1 sec, 8 Ausdünnschritten und bis dahin mit 188.5 Punkten (ohne Bowman's Bingo) endet, mit Bowman's Bingo nun aber bei 23 Ausdünnschritten und 494.5 Punkten gelöst wird:
    090500030000030007000000406700209005580000300009000060000010003307060000000400900

    Keinen einzigen Lösungsschritt findet das Programm ohne Bowman's Bingo im folgenden Beispiel, es kann aber bei gerade 4 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:
    Nach 4 Versuchen mit bis zu 2 Level in 0.2 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach knapp 1/2 sec mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) ohne Ergebnis aufgegeben, aber mit 10 Bowman's Bingo-Schritten und 803 Punkten gelöst wird:
    000000006009002070700010000040500003008030700200009010000060005060300900100000000

    Ebenso gibt es Sudokus, die nur aufwändig mit Widerspruchs-Ketten gelöst werden können, aber bei gerade 2 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:
    Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber in 1.5 sec mit 218 Punkten in 15 Ausdünnschritten mit 2 Widerspruchs-Ketten lösbar:
    800009006000081000009204500572000400030000070004000328001403600000190000400800007

    Und gibt es Sudokus, die sogar mit der (recht umständlich zu benutzenden) Super-Software von Andrew Stuart "SudokuWiki" nicht gelöst werden können ("Run out of known strategies", trotz 38 eingebauter Lösungsverfahren), z.B.:
    Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach knapp 1/2 sec mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) ohne Ergebnis aufgegeben:
    000000002008000700030009040000901000040030010005604000069100030007000500200000008, mit 1 Mal Trial&Error bis Tiefe 10 bei 740 Punkten nun aber gelöst werden kann.
    Bei diesem Sudoku werden aber mit der Java-Software "Sudoku Explainer" bei 22 Ausgangszahlen 126 Ausdünnschritte - darunter 54 Mal unterschiedliche Forcing Chains (Cell Forcing Chains, Contradiction Forcing Chains, Double Forcing Chains, Nishio Forcing Chains und Region Forcing Chains) - benötigt.
    Ähnlich schwierig und auch bei SudokuWiki nicht lösbar, bei "Sudoku Explainer" werden bei 24 Ausgangszahlen 129 Ausdünnschritte - darunter 55 Mal unterschiedliche Forcing Chains - benötigt: 100007090030020008009600500005300900010080002600004000300000010041000007007000300, mit 1 Mal Trial&Error hier aber mit 605 Punkten gelöst werden kann.

    Bemerkungen zur Bewertung: Für jedes Sudoku wird am Ende die Summe aller Punkte jedes Einzelschrittes angegeben. Diese ist natürlich stark abhängig von der gewählten Option, da z.B. bei synchronen (und zum Teil auch bei halb-synchronen) Methoden viele Lösungsschritte (deren Punkte also mitgezählt werden) gemacht werden, die zur Lösungsfindung gar nicht notwendig gewesen wären. Daher wird nur bei der nicht-synchronen Methode zusätzlich eine textliche Bewertung (z.B. "Sehr einfach") ausgegeben. Ein Punktevergleich verschiedener Sudokus ist also nur bei gleicher Option sinnvoll, z.B. um zu sehen, welches Sudoku das Schwierigere ist. Das gleiche Sudoku mit verschiedenen Optionen zu rechnen, macht nur Sinn, wenn man z.B. sehen will, welche Schritte auch möglich gewesen wären (etwa bei synchronen Rechnungen).

    Normalerweise gibt es in einem Sudoku in einem bestimmten Zustand mehrere Möglichkeiten, Zahlen zu finden bzw. Kandidaten auszudünnen. Aber es kommt auch vor, dass es nur 1 oder 2 oder 3 Möglichkeiten gibt: Das wird dann mit Extra-Punkten bewertet. Beispiele für sehr schwierige Sudokus mit vielen Extra-Punkten findet man am Ende dieser Seite unter Sehr schwierige Sudokus.
    Neben der Angabe der Summe aller erreichten Punkte gibt es auch die sehr aussagekräftige 2-Norm oder Euklidische Norm, d.h. die Wurzel aus der Quadratsumme aller Punkte (auch bei den Extra-Punkten), bei der die höheren Punktwerte stärker zur Geltung kommen - das ist nicht so extrem wie die auch angeführte Maximum- oder Tschebyscheff-Norm, also das Maximum der Punktwerte, wie sie z.B. bei SudokuExplainer benutzt wird. Ein Sudoku mit z.B. einem komplizierten Schritt mit 9 Punkten ist bestimmt schwieriger als ein Sudoku mit 3 einfachen Schritte mit jeweils 3 Punkten, obwohl in beiden Fällen die Gesamtpunktzahl 9 ist - aber die Euklidische Norm ist 3 bzw. 5.2. Umgekehrt ist ein Sudoku mit z.B. 5 komplizierten Schritten mit jeweils 16 Punkten auch bestimmt schwieriger als ein Sudoku mit nur einem komplizierten Schritt mit 16 Punkten - hier ist die Euklidische Norm 35.8 bzw. 16 (PS: Nicht-ganze Zahlen werden hier - entsprechend der englisch-amerikanischen Schreibweise - mit Punkt geschrieben).

    Bemerkungen zum Paar-Begriff: Die Sudoku-Literatur ist da nicht ganz einheitlich. In diesem Programm wird als Paar eine Zelle mit zwei Kandidaten bezeichnet (eine Goldene Kette besteht z.B. aus der Verkettung von Paaren), eine Zelle mit drei Kandidaten wäre dann ein Trio usw.. Betrachtet man aber die Einheit von zwei verschiedenen Zellen, wird das hier als Doppel (2-Tupel) bezeichnet, bei drei Zellen ist das ein Tripel (3-Tupel) usw., auch wenn der Inhalt der Zellen ein Paar, Trio o.a. ist (es kann also ein Tripel sowohl aus Zellen mit Paaren als auch Trios bestehen).

     


     

    Anpassung des Programms für Standard-Sudokus an Diagonal-Sudokus/X-Sudokus, bei denen die Zahlen von 1 bis 9 auch in den beiden Diagonalen nur genau einmal vorkommen dürfen (Juli 2014, Januar 2017, Juli 2023).

    Bei der Programmierung der nicht-trivialen Diagonal-Sudoku-Erweiterungen wurden die Ideen vom Diagonal-Experten Ulrich R. aufgegriffen, dem hiermit auch herzlichen Dank gesagt werden soll.

    Neu ist die Diagonal-Sudoku-Erweiterung "Diagonal-Zange", die vom Diagonal-Experten Holger Schrader, dem hiermit auch herzlichen Dank gesagt werden soll, gefunden wurde. Dabei wird der mittlere Kandidat (der auf einer Diagonalen liegt) gelöscht, wenn von dort aus innerhalb einer Zeile oder Spalte genau zwei Reste mit diesem Kandidaten gesehen werden; Abwandlung: Der Kandidat in der Sudoku-Mitte kann gestrichen werden, wenn in einer Zeile oder Spalte dieser Kandidat sowohl auf beiden Diagonalen als auch auf der unterhalb/neben der Sudoku-Mitte liegenden Spalte/Zeile liegt. - siehe unten stehendee Beispiele; Bewertung: 5 Punkte (Juli 2023).
    Holger Schrader hat auch noch eine Ausdünn-Methode gefunden, die sogar für alle Sudoku-Typen eingesetzt werden kann, die "Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten" - siehe unten stehendes Beispiel (August 2023).

    Programmierte Erweiterungen für Diagonal-Sudokus/X-Sudokus:

    Direkte Lösungsmethoden: Durchsuchen auch der Diagonalen

    • A- und E-Methode "Einzige Position einer Zahl/Kandidaten": Neu: A5 und A6 bzw. E5 und E6
    • B- und F-Methode "Einzig mögliche Zahl/Kandidat für eine Stelle": B0 bzw. F0 (wie bisher)
    • C-Methode "Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test": Neu: C5 und C6
    • D-Methode "Offensichtliche 2-Tupel (Doppel)": Neu: D5 und D6

    Ausdünnmethoden: Neben dem Durchsuchen auch der Diagonalen bei allen Methoden außer bei Ausschluss-Ketten vier zusätzliche Sonderfälle (Diagonalen-Tests, 4-6 Punkte):

  8. Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 (Länge 3): 000000000000000000000001000000000100000000000020340000100000053600007000000008020
  9. Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 2XO (Länge 3): 060000080900000200000370000004000008000106000500000900000021000000000007030000040
  10. Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 (Länge 5): 000000000000000000000009045736800000001060000000000014090005000003100000002000500
  11. Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 2OOXO (Länge 5): 000000000000000000000009045736800000001060000000000014090005000003100000002000500
  12. Beispiel vieler Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten mit Typ 1 und Typ 2: 000090000007005090000008007040000001050000080700040003080030010006001250005000000
    Ausschluss-Ketten-Ausnahme: Keine "benutzbare" Kette, wenn mindestens eine der Zellen auf einer Diagonalen liegt (ist bei Ausschluss-Rechtecken bei 336 von 486 möglichen Wegen - also sehr häufig - der Fall)
    PS: Es wurden viele Ausschluss-Rechtecke (10 %) und etwa 30 6er-Ausschluss-Ketten gefunden, aber auch Quasi-Ausschluss-Rechtecke und 1 Quasi-6er-Ausschluss-Schleife, jedoch bisher keine längeren Ketten.
    Beispiel mit Ausschluss-Rechteck Typ 2: 030901050058700100001200007000002000170090006000170000000000308000529070010000090
    Beispiel mit 6er-Ausschluss-Schleife Typ 1: 300008000600007300000010000068070003010000007400869000020050000090236000100000030

    Hier einige Diagonal-Sudoku-Beispiele (von zur Zeit etwa 31300 kurzen - also mit 12 bis 27 Ausgangszahlen - Diagonal-Sudokus, von denen 55 % einfach sind, 35 % Ausdünnen erfordert und 10 % hier bisher nicht direkt, sondern nur mit den Methoden Bowman's Bingo oder Trial&Error lösbar sind):
    Ohne Ausdünnen mit 5 Punkten (bisher kleinste erreichte Punktzahl): 107050008000000002000006000000970000000028050000045060349060710070000000058097420
    Ohne Ausdünnen mit 15.5 Punkten (aus 19 Ausgangszahlen): 000000040500000000600713200004830000070900000000000000007001000000420050300000090
    Ohne Ausdünnen mit 28 Punkten (aus 17 Ausgangszahlen): 900000003000000000000100020050001000000005000073000000000600408004000005209300000
    Ohne Ausdünnen mit 42 Punkten (aus 14 Ausgangszahlen): 000000005300800000400200100000093000020000800000000000000050400009000000000000006
    Ohne Ausdünnen mit 54.5 Punkten (aus 15 Ausgangszahlen): 080000000000040000000002053000700000010000000000003020006000900000000804905000000
    Ohne Ausdünnen mit 73 Punkten (aus 20 Ausgangszahlen): 000004800420000000000062000040000005038000970100000080000350000000000043003600000
    Ohne Ausdünnen mit 106 Punkten (aus 16 Ausgangszahlen, bisher höchste erreichte Punktzahl): 006900010005000700000400000010300000000007000000000000080000000000020590130000600

    Mit Ausdünnen mit 31 Punkten (bisher kleinste erreichte Punktzahl mit Ausdünnen) und 1 Diagonalen-Test: 000000017000025048000418069100500000000000020000680000700054600084000030003060104
    Mit Ausdünnen mit 210 Punkten, 5 Diagonalen-Tests und 4 N-Tupel: 000005060100397000000201040000008250000000000000000010000000000000000009000059004
    Mit Ausdünnen mit 391 Punkten, 2 Diagonalen-Tests und 7 Goldenen Ketten: 000700900400000000200009000000000500009025070001000320020000017005080060004207800
    Mit Ausdünnen mit 503 Punkten, 4 Diagonalen-Tests, 3 (W)XYZ-Wings und 3 Widerspruchs-Ketten: 000000090003000070500010020001700000000000000007002800100540000008000000000020046
    Mit Ausdünnen mit 549 Punkten, 7 Diagonalen-Tests, 2 Ausschluss-Ketten und 9 Widerspruchs-Ketten: 900004001000000000064921000002000800008000400006000530000817300000000000000300007
    Mit Ausdünnen mit 684 Punkten, 2 Diagonalen-Tests, 9 Einzelzahl-Ketten und 14 Widerspruchs-Ketten: 000000800000130900690000072006000400000000000009000300530000098004087000008000000
    Mit Ausdünnen mit 760 Punkten, 4 Diagonalen-Tests, 5 Goldenen Ketten und 14 Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 800000300000004080063000010070003000000015090000000800104600000000790000000001009
    Mit Ausdünnen mit 847 Punkten, 4 Diagonalen-Tests, 9 Goldenen Ketten, 18 Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten und 15 Widerspruchs-Ketten: 060003574000600008000000003000020480000000000009000000000460701071059000080207000
    Mit Ausdünnen mit 922 Punkten (bisher höchste erreichte Punktzahl), 1 Diagonalen-Test, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 8 und 9 Bowman's Bingo: 001000000005000800000082000000824600004000009000000000000260000000010070060000210
    Mit Ausdünnen mit 951 Punkten (bisher höchste erreichte Punktzahl), 3 Diagonalen-Tests, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 18 und 23 Widerspruchs-Ketten: 100056009000030000008000002000000100004000000000000007007900008500000030600000400
    Nach 30 Ausdünn-Schritten (aus 22 Ausgangszahlen) hier mit Bowman's Bingo gelöst mit 419 Punkten: 000000000000000300000087001805060023190003000000945000400000000061090002000100050

    Auch bei Diagonal-Sudokus gibt es Beispiele, die mit Ausschluss-Ketten zwar gelöst werden, aber gar nicht eindeutig lösbar sind:
    Mit Ausdünnen mit 52 Punkten, hat aber 5 Lösungen: 010000000002000304050092080008070000003000100000030600070000010804000900000000020

    1. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 13 Ausgangszahlen mit 35.5 Punkten (in etwa 0.15 sec!): 004000005000000000000080010300000000000060000005400000800000700100000020000000900

    2. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 13 Ausgangszahlen mit 283 Punkten (in etwa 0.3 sec!): 000800300007100060000000000000007000000050000100000000380000900000060000000000002

    1. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 12 Ausgangszahlen mit 183 Punkten (in etwa 0.15 sec!): 000000010000000200030000405000000000000000000000006000000070000602000080000340000

    2. Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 12 Ausgangszahlen mit 201 Punkten (in etwa 0.3 sec!): 000000000000000000000000000000000000100000000000234500000000062070000001045008000

    Beispiel mit einem Diagonal-Sudokus mit nur 12 Ausgangszahlen mit 287 Punkten: 000000000000000000000001000000000100000000000020340000100000053600007000000008020

    ===> Alle anderen weiter unten aufgeführten Beispiele und auch die Dokumentation sind aber nur die für Standard-Sudokus. <===

     


     

    Tabelle der Punktevergaben

     


     

    Programm-Neuigkeiten

     


     

    Sechs direkte Sudoku-Lösungsmethoden - Standard-Sudokus (A bis F)

       
    1. Einfachste Methode: Einzige Position einer Zahl: Direkte Dreier-Methode oder eindeutige Stelle (Hidden Single): Bestimme die fehlende dritte Zahl in drei zusammen (nebeneinander oder untereinander) liegenden Boxen. D.h.: Findet man in zwei von drei zusammen liegenden Boxen eine bestimmte Zahl (die dann in zwei verschiedenen Zeilen bzw. Spalten liegen), sucht man in der dritten Box in der bisher nicht betrachteten Zeile bzw. Spalte nach einem eindeutigen Ort, an dem diese Zahl nur stehen kann (einfachster Typ A3). In vielen Fällen findet man auch beim Durchsuchen von ganzen (über alle Boxen gehenden) Zeilen bzw. Spalten (A1 bzw. A2) eine einzige Stelle, an der eine bestimmte Zahl nur stehen kann; da man dabei aber mehr Zellen ansehen muss, hat dieser Fall (A3) eine höhere Punktzahl.

      Bewertung A1/A2: 1 bis 2 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten, A3: 1 Punkt innerhalb Boxen; 0 Punkte bei der letzten fehlenden Zahl; Farbmarkierung: Grün

      Beispiel für den einfachen Fall (A3):
      In der dritten Box (OR) kann die Zahl 7 nur in der dritten Zeile sein; damit bleibt die letzte Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).
      PS: Der Übersichtlichkeit wegen wurden viele Zellen nicht ausgefüllt, da deren Inhalt ohne Bedeutung ist; ebenso fehlen im Allgemeinen die letzten Zeilen der Beispiel-Sudokus.


      7
      7


      1
      4 5

      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Beispiel für den komplexeren Fall (A1/A2):
      Es kann auch in den Zeilen (A1) bzw. Spalten (A2) nachgesehen werden, ob eine Stelle für eine bestimmte Zahl frei ist. In diesem abgewandelten Beispiel kann die Zahl 7 wieder nur in der dritten Zeile der rechten Box (OR) liegen. Da aber in der 8. Spalte in der darunter liegenden Box (MR) schon eine 7 steht, bleibt wieder nur die letzte Spalte (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig (A1).


      7
      7


      1
      4



      7
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Beispiele mit vielen A-Fällen

         

    2. Einzig mögliche Zahl: Einzige noch fehlende Zahl an einem bestimmtem Ort (Naked Single): Man untersucht für einen Ort, welche der 9 Zahlen dort stehen könnten, wobei die Sudoku-Regeln berücksichtigt werden müssen. Bleibt nur eine Zahl übrig, hat man die Lösung für diese Stelle gefunden (B0). Das klingt zwar einfach, ist aber nicht so leicht zu erkennen (wenn man nicht alle Kandidaten schon aufgeschrieben hat) und man daher sehr viele Nachbarzellen ansehen muss (was eine hohe Punktzahl rechtfertigt).
    3. Bewertung B0: 3 bis 5 Punkte (bei 1-4, 5-8, 9-12 noch fehlenden Zahlen außer der untersuchten Zelle); Farbmarkierung: Blau

      Beispiel: Die einzige Zahl an der Position Zeile 3 und Spalte 4 (mit kleinem x markiert) kann nur die Zahl 7 sein, weil alle anderen Zahlen schon in gleicher Zeile (1, 4, 8, 9), in gleicher Spalte (2, 5), bzw. in gleicher Box (1, 2, 3, 6) vorhanden sind.


      2 6

      3
      8
      1
      4 9


      5
      7
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Beispiele mit vielen B-Fällen

         

    4. Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test (Direct Pointing): Abwandlung der einfachsten Methode (A): Bestimme den Ort einer bestimmten Zahl z ohne genaue Kenntnis des Ortes dieser Zahl an den anderen Stellen: Hier nutzt man aus, dass dort die Position dieser Zahl zwar noch nicht genau bekannt ist, aber auf eine Zeile oder Spalte einer Box beschränkt werden kann (Darstellung mit "(z)"). Dann folgt der Ort für diese Zahl analog der oben beschriebenen Methode A (Kennung C1/C2/C3 analog A1/A2/A3). Die Methode C3 ist oft schneller (einfacher) zu sehen als die A1- und A2-Methoden (einzige Position in einer Zeile oder Spalte), wenn es nur eine einzige Begründung gibt.
    5. Bewertung C1/C2: 1 bis 2 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen abzgl. Anzahl Begründungen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Begründungen belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, C3: 1 Punkt innerhalb Boxen; plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen (normal bis zu 5 Begründungen; aber bis zu 8 Begründungen sind möglich, wurden aber nur bei C0 gefunden); 0 Punkte bei der letzten fehlenden Zahl; Farbmarkierung: Rot

      Beispiel für den einfachen Fall (C3):
      Im einfachen Fall weiß man, dass in der rechten Box (OR) die Zahl 6 nur in der zweiten Zeile sein kann, da die erste Zeile nicht in Frage kommt (wegen der 6 in Spalte 9) - die genaue Position der Zahl 6 in der mittleren Zeile dieser Box ist aber noch unbekannt. Hier ist sogar auch die Position dieser Zahl in der mittleren Box OM noch unbekannt. Trotzdem kann man daraus schließen, dass in der ersten Box (OL) die 6 nur in der dritten Zeile sein kann; in dieser Zeile bleibt dann nur die zweite Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).

      5 4 7

      2 8
      8





      2


       (6) 

       (6) 

       
      2 3

      5 4 9



      6
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Beispiel mit 4 folgernden Begründungen (C3):
      Offensichtlich gilt für Zahl 4: In Box 3#2 (UM) kann sie nur in Spalte 5 sein => Daraus folgt, dass sie in Box 2#2 (MM) nur in Zeile 5 möglich und deshalb in Box 2#3 (MR) nur in Spalte 9 möglich ist => Daraus folgt dann, dass Zahl 4 in Box 1#3 (OR) nur in Spalte 7 möglich ist. Damit bleibt als einzig möglicher Ort für die Zahl 4 in Box 3#3 (UR) nur Spalte 8 und somit nur Zeile 8 übrig (mit kleinem x markiert).

      4 5
      2 7
      1
      7
      6


      8




        (4)  
      2
       

       
      2
      9
      8






        (4)  
      3
       
      7
       

      9
      1
      7

      3

      8

      2
       
      5
       

        (4)  
      5

      2


       (4) 

       

       (4) 

      7


      8

      6

      7
      2
      5

      1
       
      9
       

        (4)  


      8
      5

      9
       

       (4) 
      2
       


      7
      1
      1
      2
      9

      6
       

       (4) 
      7
       

      3

      5
      7 4
      5 1
      9 2

      Beispiel für den komplexeren Fall (C1/C2):
      Wegen der Zahl 7 in der rechten mittleren Box (MR) kann in der davor liegenden Box (MM) die 7 nicht in Zeile 5 stehen. Damit bleiben als mögliche Orte für die 7 in dieser Box nur die beiden Positionen in der Spalte 5 übrig (mit (7) angezeigt).
      Nun kann man ähnlich wie im einfachen Fall folgern, dass die Zahl 7 in der 3. Zeile nicht in Box OL stehen kann (in dieser Box ist schon eine 7), auch nicht in Box OM wegen der 7 irgendwo in Spalte 5 von Box MM (mit (7) markiert), aber auch nicht in Spalte 8 der Box OR (wegen der 7 in Box MR), und somit bleibt in Zeile 3 nur die Spalte 9 (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig (C1).



      7


      2 1
      4





      3
       

        (7)  
      2
       






      7




      5
       

        (7)  
      8
       





      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Variante C0:
      Die einzig mögliche Zahl entsprechend der B0-Methode kann manchmal gefunden werden ohne genaue Ortskenntnis von anderen Zahlen entsprechend offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests.

      Bewertung C0: 3 bis 7 Punkte (bei 1-4, 5-8, 9-12, 13-16, 17-20 noch fehlenden Zahlen außer der untersuchten Zelle abzgl. Anzahl Begründungen); plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen

      Beispiel für diese Variante:
      In Box 1#2 (OM) muss die Zahl 6 in Zeile 1 liegen; daher kann in Zeile 1 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) nur die Zahl 2 sein.


       

       

       


        (6)  

        (6)  
      1
       

      4
       
      9
       
      8
       

      4 8
      5

      2
      6 3 7

      7
      1 5
      8 9
      3
      8
      5
      9 6

      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Variante C7:
      Ist in einer Box eine Zahl nur innerhalb einer Zeile und einer Spalte möglich, so muss diese am Kreuzungspunkt liegen.

      Bewertung C7: 6 bis 10 Punkte (bei 1-5, 6-8, 9-11, 12-14, 15-17 noch fehlenden Zahlen in der jeweiligen Zeile und Spalte)

      Beispiel für diese Variante:
      In Box 1#3 (OM) muss die Zahl 9 in Zeile 3 und Spalte 7 liegen (mit kleinem x markiert); denn die Zahl 9 kann in Zeile 3 nur in dieser Box sein (denn Spalte 4 ist durch die 9 in Zeile 7 belegt) und in Spalte 7 auch nur in dieser Box sein (denn Zeile 9 ist durch die 9 in Spalte 2 belegt).

      8 6

      4 5
      4 5

      1 2
      2 1 3
      4 5

      8 9
      1 5
      7 6 4
      6 4

      5 8 1
      5 7 1
      4 8 6
      2

      3 5
      9
      4
      4 6
      5
      1
      1 9
      2 4
      5


      Beispiele mit vielen C-Fällen

         

    6. Offensichtliche 2-Tupel (Doppel) (Direct Hidden Pair): In vielen Fällen sieht man zwei Zellen innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box, in denen genau zwei bestimmte Kandidaten vorkommen müssen, weil sie in allen anderen Zellen dieser Zeile, Spalte bzw. Box nicht vorkommen können. Diese werden hier offensichtliche 2-Tupel (Doppel) genannt und entsprechen häufig Versteckten 2-Tupeln. Da diese beiden Zellen nicht mit anderen Zahlen belegt werden können, ermöglicht dies dadurch das Auffinden anderer Zahlen, ohne dass die Kandidaten in allen Zellen aufgeschrieben werden müssen. Dabei gibt es zuerst die drei Methoden D1/D2/D3 analog A1/A2/A3, und drei Varianten D0, D7 und D8.
    7. Bewertung D1/D2: 2 bis 3 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen abzgl. 2* Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, D3: 2 Punkte innerhalb Boxen; plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel (bis zu 3 Doppel realistisch, 4 Doppel sind extrem selten); 0 Punkte bei der letzten fehlenden Zahl; Farbmarkierung: Gelbgrün

      Beispiel für den einfachen Fall (D3):
      Wegen des offensichtlichen 2-Tupels 15 in der Box OM (1 und 5 gehen nicht in der mittleren Zeile und auch nicht in der mittleren Spalte) kann die einzige Zahl an der Position Zeile 2 und Spalte 6 (mit kleinem x markiert) nur die Zahl 7 sein bzw. die Zahl 7 dieser Box kann nur in Zeile 2 und Spalte 6 stehen (da sie nicht in Spalte 5 und nicht in Zeile 3 der Box OM sein kann).


      8 6
      2
      5 1
      2





        15  


        15  






      7
      4

      5

      1

      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Variante D0:
      Die einzig mögliche Zahl entsprechend der B0-Methode kann manchmal gefunden werden ohne genaue Ortskenntnis von zwei anderen Zahlen, die ein offensichtliches 2-Tupel (Doppel) bilden.

      Bewertung D0: 3 bis 6 Punkte (bei 1-5, 6-10, 11-15, 16-20 noch fehlenden Zahlen außer der untersuchten Zelle abzgl. 2 * Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen); plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel

      Beispiel für diese Variante:
      Durch das offensichtliche 2-Tupel 48 kann ausgeschlossen werden, dass die Zahlen von diesem 2-Tupel (4 und 8) an der betrachteten Stelle (mit kleinem x markiert) liegen; daher kann dort nur die Zahl 9 sein.

      6
      7
      1

      2

        48  

        48  





      7 5 1
      8 2 5

      4 7



      5


      3
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Variante D7:
      Bei zwei Paaren von offensichtlichen, aber verschiedenen 2-Tupeln in einer einzigen Zelle kann diese Zelle nur den gemeinsamen (in beiden Paaren der 2-Tupel vorkommenden) Kandidaten haben. Der Fall tritt aber selten (2 % der D-Fälle) auf.

      Bewertung D7: 5 Punkte, da 2 Doppel (tritt daher im nicht-synchronen Fall nicht auf)

      Beispiel für diese Variante:
      In der mittleren Zeile der linken Box (OL) können 1 und 7 nicht vorkommen; in der dritten Zeile können 4 und 7 nicht in der rechten Box (OR) liegen: Die einzige Zahl an der mit kleinem x markierten Stelle kann also nur die den beiden Doppeln gemeinsame Zahl 7 sein.

      8
      3

      17





      6
      4

      2
      1 6
      7
      6
      5

      17+47

      3
      8

      47


      2




      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Variante D8:
      Bei zwei Paaren von offensichtlichen und gleichen 2-Tupeln in drei Ecken eines Ausschluss-Rechtecks (in zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Boxen) kann die nicht besetzte Ecke eventuell einen einzigen möglichen Kandidaten haben, wobei die Kandidaten des 2-Tupels als sichtbar angesehen werden (ähnlich D0).

      Bewertung D8: 5 Punkte, da 2 Doppel

      Beispiel für diese Variante:
      Es gibt fast ein offensichtliches Ausschluss-Rechteck mit den Resten 29 in Zeile 1 und 6, und in Spalte 2 und 3, und in BOX OL und ML, wobei in Zeile 1 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) der Rest 239 möglich ist, d.h. von dieser Zelle aus können alle Zahlen außer 2, 3 und 9 gesehen werden. Wäre aber in dieser Zelle eine 2 oder eine 9, läge wegen der eindeutigen Lösbarkeit eines Sudokus ein Ausschluss-Problem vom einfachen Typ 1 vor (siehe unter Ausschluss-Rechtecke). Also kann nur die Zahl 3 der Wert für diese Zelle sein.



        29  









      4 5 6
      1 9
      8

      4

      3 1

      2
      4 7

      8
      8

        29  

        29  





      4
      6


      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...


      Beispiele mit vielen D-Fällen

         

    8. Vollständige Ausdünnung mit einem alleine auftretendem Kandidaten: Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten mehrere Reste (Kandidatenliste) so weit verkleinert, dass ein bestimmter Kandidat nur noch an einer einzigen Stelle innerhalb der Reste einer Zeile, einer Spalte oder einer Box vorkommt, ist diese Zahl Lösung für diese Stelle (Kennung E1/E2/E3 analog A1/A2/A3).
    9. Bewertung E1/E2/E3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten/Boxen; Farbmarkierung: Lila

      Ausdünnung:
      Hier wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Reste (das sind die Kandidaten, also die möglichen Zahlen für die jeweilige Stelle) zu lösen (Methoden A, B, C und D). Kommt man damit nicht weiter, muss man für jede freie Stelle alle Zahlen aufschreiben, die für diese Stelle in Frage kommen (also die dafür überhaupt noch möglichen Zahlen): Das sind die Kandidaten für die jeweilige Stelle, die hier als Ganzes "Rest" genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen, unterhalb der Eingabefelder) geschrieben werden.
      Danach versucht man, diese Reste so lange "auszudünnen", also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Stelle kommt (Methoden E und F). Die Ausdünnmethoden I bis VI werden im nächsten Abschnitt ausführlich beschrieben.

      Beispiel für den Fall (E1):
      Nach der Ausdünnmethode II (N-Tupel, siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) hat man z.B. in der oberen rechten Box (OR) in Spalte 9 das Reste-Paar 79 zwei Mal (hier ohne genaue Begründung) gefunden. Die Zahlen 7 und 9 müssen also an diesen beiden Stellen auftreten. Damit können in allen anderen Resten (Kandidatenlisten) dieser Box die Zahlen 7 und 9 gestrichen werden (mit [zahl] markiert). Da nun in Zeile 1 nur noch an einer einzigen Stelle der Kandidat 7 (Zeile 1 und Spalte 4 - mit kleinem x markiert) auftritt, kann er dort gesetzt werden.

      2
      6
      4


      157
      9

      15


      15[7]
      8
      3

      1579

      1579

      1579

      2

      3578

      1358

      6
      4

      79
      3
      8

      1579


      1357
      6
      4


      15[7][9]
      2

      79


      6 2
      8 1

      8 1 7
      5
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

         

    10. Vollständige Ausdünnung mit einem einzig möglichen Kandidaten (einstelliger Rest): Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten einen Rest so weit verkleinert, dass er nur noch aus einer Zahl besteht, ist diese Zahl die Lösung für die betrachtete Stelle (Kennung F0 analog B0).
    11. Bewertung F0: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-9 noch fehlenden Zahlen); Farbmarkierung: Braun

      Beispiel für F0:
      Nach der Ausdünnmethode I (Box-Test, siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) kommt die Zahl 9 innerhalb der zweiten Zeile nur in der ersten Box (OL) vor: Daher muss die 9 dort sein (auch wenn man die Position innerhalb der zweiten Zeile noch nicht weiß) - sie kann also nicht in der dritten Zeile dieser Box noch einmal vorkommen. Daher kann man aus den Resten dieser Zeile in der Box OL den Kandidaten 9 streichen.
      Damit bleibt an der Position Zeile 3 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) nur noch die 3 als Kandidat übrig. Also hat man einen eindeutigen Rest an dieser Stelle gefunden und kann die Zahl 3 dort setzen.

      5

      246

      36

      9
      8
      7


      1234

      1234

      1234
      1

      279

      379


      23

      23
      4

      8
      6
      5
      8

      24[9]

      3[9]

      1
      6
      5

      7

      2349

      2349

      4

      3 2

      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

     


     

    Sechs Methoden zur Ausdünnung der Reste (Kandidatenliste) (I bis VI)

    Der Begriff der Ausdünnung zur Verkürzung der Reste (Kandidatenliste) wurde im vorherigen Abschnitt unter Methode E schon kurz erläutert (Verkleinerung der Liste der für eine Zelle nur noch möglichen Kandidaten durch verschiedene Ausdünn-Methoden). Im Allgemeinen sind, um eine Lösung zu finden, immer mehrere Ausdünnschritte notwendig (im nicht-synchronen Fall oft 5 bis 20 Ausdünnschritte, aber es wurden auch schon 30 Ausdünnschritte direkt nacheinander, ehe eine Zahl gesetzt werden konnte, beobachtet!). Manche Schritte helfen dabei nicht zur Lösungsfindung, aber das weiß man vorher nicht.

    Das Aufschreiben der möglichen Kandidaten von Hand (!) ist aufwändig und fehleranfällig; dafür werden 1/4 der Anzahl der noch freien Felder als Extra-Punkte angerechnet.

    In den folgenden Beispielen werden oft nur Teile eines Sudokus mit entsprechenden Resten dargestellt, um das Ganze übersichtlicher zu machen; es sind Ausschnitte aus aktuellen Sudokus.

       
    1. Test der Reste innerhalb einer Box und innerhalb einer Zeile/Spalte: Kommt innerhalb einer Zeile bzw. Spalte einer Box ein Kandidat in mehreren Zellen vor, kann man eventuell diesen Kandidaten in anderen Zellen streichen, entweder wenn dieser Kandidat in den anderen Zellen der betrachteten Box nicht vorkommt (dann kann er aus den anderen Zellen der Zeile bzw. Spalte gestrichen werden: Zeilen-/Spalten-Test) oder wenn dieser Kandidat in den anderen Zellen der betrachteten Zeile bzw. Spalte nicht mehr vorkommt (dann kann er aus den anderen Zellen der Box gestrichen werden: Box-Test).
      1.    

      2. Zeilen-/Spalten-Test der Reste innerhalb einer Box (Block/Line Interaction, Pointing): Man sieht in den Resten nach, ob innerhalb einer Box eine Zahl vorkommt, die nur genau in einer Zeile bzw. Spalte dieser Box auftaucht - diese Zahl muss dann in dieser Zeile bzw. Spalte dieser Box stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist). Dann kann man in den anderen Resten dieser Zeile bzw. Spalte außerhalb der Box diese Zahl streichen.

      3. Bewertung: 3 Punkte.

        Beispiel:

        3

        789
        5


        12789

        12489

        124789


        1479

        1479
        6

        178
        4

        1789

        5

        1389
        6


        1379
        2

        1379
        6

        79
        2


        1379

        1349

        13479

        8

        134579

        134579

        9 1
        4 7 2
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist in den Resten der Box OL nur in der zweiten Zeile vorhanden (rot gefärbter Rest), nicht in den anderen Zeilen dieser Box. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile in den anderen beiden Boxen diese Zahl streichen (durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

        3

        789
        5


        12789

        12489

        124789


        1479

        1479
        6

        (1)78
        4

        (1)789

        5

        [1]389
        6


        [1]379
        2

        [1]379
        6

        79
        2


        1379

        1349

        13479

        8

        134579

        134579

        9 1
        4 7 2
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...


        Beispiele mit vielen Zeilen-/Spalten-Tests

           

      4. Box-Test der Reste in einer Zeile oder Spalte (Line/Block Interaction, Claiming): Man sieht in den Resten einer Box nach, ob innerhalb einer Zeile bzw. Spalte eine Zahl vorkommt, die nur genau in dieser Box auftaucht. Diese Zahl muss also innerhalb dieser Box in der gefundenen Zeile bzw. Spalte stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist), sie kann dann aber aus den anderen Zeilen bzw. Spalten innerhalb dieser Box gestrichen werden.

      5. Bewertung: 4 Punkte, da sie etwas schwieriger zu sehen sind als Zeilen-/Spalten-Tests.

        Beispiel:


        28
        5
        3

        4
        7
        9


        12
        6

        128
        7

        1289

        12689


        136

        136
        5


        1239

        12389
        4
        4

        19

        169

        8

        136
        2


        1359
        7

        1359

        1 6

        8
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist innerhalb der ersten Zeile nur in den Resten der rechten Box OR vorhanden (rot gefärbter Rest). Also kann man in den anderen Zeilen dieser Box diese Zahl aus den Resten streichen - das wird auch hier durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben. Damit bleibt übrig:


        28
        5
        3

        4
        7
        9


        (1)2
        6

        (1)28
        7

        1289

        12689


        136

        136
        5


        [1]239

        [1]2389
        4
        4

        19

        169

        8

        136
        2


        [1]359
        7

        [1]359

        1 6

        8
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...


         

    2. N-Tupel (Naked Pair, Hidden Pair, Naked Triple, Hidden Triple, Naked Quadruple, Hidden Quadruple): Man sucht in einer Zeile, Spalte oder Box nach N-Tupel, also danach, dass bestimmte Kandidaten an nur wenigen Stellen auftreten: Genauer heißt das, dass man N verschiedene Zahlen und dazu N Zellen innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box sucht, in denen diese N Kandidaten auftreten, diese Kandidaten aber nicht in den anderen Zellen der untersuchten Zeile, Spalte oder Box stehen. Wenn an den N Stellen alle oder ein Teil der N betrachteten Kandidaten stehen, können diese Kandidaten nur an diesen N Stellen auftreten (wobei die Verteilung noch unbekannt ist); diese Kandidaten können dann aber aus den anderen Resten gestrichen werden. Sind an diesen N Stellen keine anderen Zahlen zu finden, ist das ein direktes N-Tupel.
      Liegen in den N Zellen nicht nur die N verschiedenen Kandidaten, sondern auch noch andere Zahlen, wobei die N Kandidaten aber nicht außerhalb dieser N Zellen (der gleichen Zeile, Spalte oder Box) sein dürfen, so hat man ein "Verstecktes N-Tupel".

    3. Es gibt 2-Tupel (Doppel), 3-Tupel (Tripel), 4-Tupel (Quadrupel), 5-Tupel (Pentupel), 6-Tupel (Sextupel) und 7-Tupel (Septupel) - 8-Tupel machen keinen Sinn, da dann die neunte Zahl eindeutig ist und somit direkt gefunden werden kann. Zu jedem gefundenen N-Tupel gehört ein entsprechendes Verstecktes M-Tupel (mit den M anderen Kandidaten), wobei N+M gleich der Anzahl der freien Zellen innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box ist. Sind die N Kandidaten aus den anderen Resten gestrichen worden, wird aus dem Versteckten M-Tupel ein normales M-Tupel (im ersten Beispiel gibt es zu dem Doppel 79 das Versteckte Tripel 345).

      Bewertung: 2, 5, 8, 11 (und theoretisch 14 und 17) Punkte, also 3*N-4 Punkte (N ist die Länge des direktes N-Tupels), für ein Verstecktes M-Tupel gibt es 8, 11 (und theoretisch 14, 17 u.s.w.), also 3*M+2 Punkte - insgesamt zählt aber die kleinere Punktzahl.

      PS: Ein 2-Tupel (Doppel) - in der Sudoku-Literatur fälschlicherweise "Paar" geannt - besteht also aus 2 Paaren, ein 3-Tupel (Tripel) aus 3 Paaren oder Trios (Zelle mit 3 Kandidaten), u.s.w..

      Einfaches Beispiel mit 2-Tupel (Doppel):

      6

      79
      2


      79
      1

      3479

      8

      34579

      34579

      189
      4

      179

      5

      3789
      6


      1379
      2

      1379
      3

      1789
      5


      2789

      24789

      2479


      1479

      1479
      6

      7 8
      4

      3 8
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Hier findet man z.B. in der ersten Zeile das 2-Tupel 79 (Doppel: 79, 79), als rot gefärbte Reste markiert - bzw. das Versteckte 3-Tupel 345 (Tripel: 34, 345, 345); die beiden Kandidaten 7 und 9 müssen also an den beiden Stellen des Doppels sein. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile diese beiden Zahlen streichen (wieder durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

      6

      79
      2


      79
      1

      34[7][9]

      8

      345[7][9]

      345[7][9]

      189
      4

      179

      5

      3789
      6


      1379
      2

      1379
      3

      1789
      5


      2789

      24789

      2479


      1479

      1479
      6

      7 8
      4

      3 8
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Kurzes Beispiel mit 3-Tupel (Tripel):
      Hier findet man in der Box OM (und in der 5. Spalte) das 3-Tupel 235 (Tripel: 235, 23, 25). Damit können in allen anderen Resten dieser Box (und in der 5. Spalte) die Kandidaten 2, 3 und 5 gestrichen werden.


      4



      [2][3][5]7

      235
      9


      1


      1


      6

      23
      8



      5


      3


      1[2]4[5]7

      25

      1[2]4[5]7






      7

      4
      ... ... ...
      ... 1 ...
      ... ... ...

      Beispiel mit einem Versteckten 3-Tupel (Tripel):
      Hier findet man in Zeile 1 in den Spalten 1, 2 und 9 das Versteckte 3-Tupel 349 (Tripel: 34789,3489,23689). Damit können in diesen Zellen die zusätzlichen Kandidaten 2, 6, 7 und 8 gestrichen werden. Dazu gehört das 6-Tupel (Sextupel) 125678 (58,5678,167,158,28,268). Da das 6-Tupel 14 Punkte wert ist, das Versteckte 3-Tupel aber 11 Punkte, wird der kleinere Wert 11 als Punktzahl benutzt. Daher sind Versteckte N-Tupel nur bis N = 3 sinnvoll.


      34[7][8]9

      34[8]9

      58


      5678

      167

      158


      28

      268

      [2]3[6][8]9

      3578

      38
      1

      2

      67
      9

      4

      568

      3568

      589
      6
      2

      3

      58
      4

      7
      1

      589


      189
      2
      4


      5789

      179

      158

      6
      3

      78

      368
      5
      7


      68

      346

      238

      1
      9

      248
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Beispiel mit 4-Tupel (Quadrupel):

      Relativ häufig (in etwa 10% aller N-Tupel-Fälle) findet man noch 4-Tupel, aber 5-Tupel, 6-Tupel und 7-Tupel sind sowohl noch seltener (1-2 %) als auch schwieriger zu erkennen. Dann kann man aber eventuell leichter ein Verstecktes M-Tupel sehen. Liegt in einer Zeile, Spalte oder Box mit N+M Kandidaten ein N-Tupel vor, so gibt es immer auch ein Verstecktes M-Tupel. So gibt es im obigen Beispiel in der Box OM das (triviale) Versteckte 3-Tupel 147 (in 2357, 12457, 12457). Bei der Bewertung werden aber im Allgemeinen die direkten N-Tupel vorgezogen, da sie einfacher zu erkennen sind.


      235689
      1

      5689


      4589

      4789

      3589


      3467

      2368

      23468

      23789

      23789
      4


      189
      6

      1389

      5

      238

      1238

      3568

      3568

      568

      2

      147[8]

      1[3][5][8]


      1[3]4[6]7

      368
      9

      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      In diesem Beispiel findet man in der 3. Zeile das 4-Tupel 3568 (Quadrupel: 3568, 3568, 568, 368). Damit können in allen anderen Resten dieser Zeile die Kandidaten 3, 5, 6 und 8 gestrichen werden.


      Beispiele mit vielen N-Tupeln

         

    4. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain): Das ist eine Reihe von Paaren vom Typ ab, bc, cd, de, ef, ..., xy, yz, za, von denen jeweils zwei aufeinanderfolgende Paare in der gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen und die eine gemeinsame Zahl besitzen, die aber - im Gegensatz zur Einzelzahl-Kette - von Kettenglied zu Kettenglied anders sein kann. Wenn die Zahl des ersten Paares, die nicht im zweiten Paar vorkommt (hier bei ab also a) mit der Zahl des letzten Paares, die nicht im vorletzten Paar vorkommt (bei za also auch a), übereinstimmt, dann kann man alle Zahlen a streichen, die sowohl von dem ersten als auch dem letzten Paar aus "gesehen" werden, also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen, weil die Zahl a auf jeden Fall entweder am Anfang der Kette oder am Ende der Kette vorkommen muss (wenn a an der Stelle des ersten Paares vorkommt, ist das offensichtlich; kommt dort aber b vor, so muss an der Stelle des zweiten Paares c sein, daher an der des dritten Paares d usw., bis zu z an der Stelle des vorletzten Paares, also a an der Stelle des letzten Paares, was behauptet wurde).

      Eine Goldene Kette der Länge 2 ist identisch mit einem 2-Tupel (Doppel): ab, ba. Goldene Ketten länger als 12 sind sehr selten (weit unter 0.1 %).

      Eine Goldene Kette kann geschlossen sein, wenn jede der betroffenen Zellen als Ausgangspunkt dienen kann - dadurch kann man mehr Kandidaten streichen.

      Eine Erweiterung der Goldenen Kette der Länge 3 ist der XYZ-Wing, bei dem die mittlere Zelle 3 Kandidaten besitzt. Man kann diese Methode auch als ein 3-Tupel (Tripel) mit einem Knick auffassen. Nähere Beschreibung siehe weiter unten.

      Eine Erweiterung des XYZ-Wings ist der WXYZ-Wing, bei dem 4 Zellen insgesamt 4 verschiedene Kandidaten besitzen. Man kann diese Methode auch als ein 4-Tupel (Quadrupel) mit einem Knick auffassen. Nähere Beschreibung ebenso siehe weiter unten.

      Bewertung: 6, 7, 8, 9, usw. bis 15 Punkte, also N+3 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 3 bis 12; längere Goldene Ketten sind zwar möglich, aber wenig sinnvoll, weil sie extrem selten auch wirkend sein wären). Der XYZ-Wing erhält 7 Punkte (statt 6 bei der 3er-Goldenen Kette); der WXYZ-Wing 10 Punkte (3 Punkte mehr als der XYZ-Wing), aber 11 Punkte, wenn es die erweiterte Form ist.

      Literatur:
      Download des Artikels von Eduyng Castan: http://www.coverpop.com/sfiles/Sudoku-GoldenChains.pdf (nicht mehr erreichbar)
      Ähnlicher Artikel von Mihail Iusut: http://www.scanraid.com/sudoku/Remote_Pairs_and_XY_Chains.pdf
      Beschreibung des WXYZ-Wings von Andrew Stuart: http://www.sudokuwiki.org/WXYZ_Wing

         

      Beispiel einer Goldenen Kette:

      8

      271-A
      6

      4
      9
      5


      372

      23
      1

      1[2]
      3

      124

      8
      7
      6

      5
      9

      24
      5
      9

      47


      23

      123

      12

      8
      6

      47


      124-E
      6
      9


      237
      4

      27


      133
      5
      8
      7

      1[2]
      8

      5

      23
      9

      4

      13
      6
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Die gefundene Goldene Kette für die Zahl 2 ist: (1:2)27 - (1:7)73 - (4:7)31 - (4:1)12. Beachte, dass hier die Reihenfolge der Zahlen innerhalb eines Doppels dem Verkettungs-Prinzip angepasst ist: Also 73 statt der sonst aufsteigenden Reihenfolge 37 und 31 statt sonst 13. Das jeweilige Ende der Goldenen Kette ist also die Zahl 2, die daher in Zelle (2:1), also Zeile 2 und Spalte 1, und in Zelle (5:2), also Zeile 5 und Spalte 2, gestrichen werden kann.
      Identisch mit der gefundenen Goldenen Kette ist auch die in umgekehrter Reihenfolge: (4:1)21 - (4:7)13 - (1:7)37 - (1:2)72.

         

      Beispiel eines XYZ-Wings:


      2892
      6

      278[9]


      291

      38
      1


      3789
      5
      4
      4
      5

      893

      6

      38
      7


      389
      1
      2
      1

      2789
      3


      29
      4
      5


      789
      6

      789


      289

      289

      289

      3
      1
      6

      4
      7
      5
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Wenn in der mittleren Zelle ("Knickstelle") des XYZ-Wings (Zeile 1, Spalte 1) die 9 auftritt, kann sie in Zeile 1 und Spalte 3 (in der Box) gestrichen werden. Hat die mittlere Zelle aber den Wert 2, muss die 9 in der ersten Zelle des XYZ-Wings (Zeile 1, Spalte 4) stehen; umgekehrt gilt, wenn die mittlere Zelle den Wert 8 hat, muss die 9 in der dritten Zelle des XYZ-Wings (Zeile 2, Spalte 3) stehen. Auch in diesen beiden Fällen kann die 9 in von allen drei Stellen aus sichtbaren Zellen, hier nur Zeile 1 und Spalte 3, gestrichen werden. Ohne der 9 in Zeile 1 und Spalte 1 hätte man die 3er-Goldene Kette (1:4)92 - (1:1)28 - (2:3)89 mit der gleichen Folge, dass die 9 in Zeile 1 und Spalte 3 gestrichen werden kann.

      Hier sieht man auch, dass diese Methode auch auf 4 (dann WXYZ-Wing genannt) oder mehr Kandidaten ausgeweitet werden kann. Die WXYZ-Methode ist - insbesondere durch die erweiterte Version - 4 Mal häufiger als die XYZ-Methode, bei der die Erweiterung nichts bringt.

         

      Beispiel eines Standard-WXYZ-Wings, wobei diese aber relativ selten sind (3 % aller WXYZ-Wings):


      561
      9

      672


      45673

      4[6]78
      3

      1
      2

      468
      1

      267
      4


      267
      9

      2678

      5

      36

      368
      3

      25
      8

      1

      464

      25


      46
      7
      9

      7
      1

      236

      9

      346

      56


      2346
      8

      456
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Die Kandidaten in der "Knickstelle" sind 4567; wäre 4 richtig, folgt daraus eine 6 in Zeile 3 und Spalte 5; wäre 5 richtig, folgt aber eine 6 in Zeile 1 und Spalte 1; wäre 7 richtig, folgt eine 6 in Zeile 1 und Spalte 3. Und wäre 6 richtig, kann sowieso keine 6 in Zeile 1 und Spalte 5 sein. In allen Fällen ist eine 6 in Zeile 1 und Spalte 5 nicht möglich.

      Beispiel eines erweiterten WXYZ-Wings:

      Die Definition des erweiterten WXYZ-Wings besagt, dass genau einer der 4 Kandidaten des Wings nicht alle Vorkommen dieses Kandidaten im WXYZ-Wing sehen darf, während die anderen 3 Kandidaten sich alle gegenseitig sehen sollen.


      2349

      3479
      1

      5

      2379
      6


      29

      38

      89

      23689

      389

      291

      1

      2392
      4


      2693
      7
      5

      2369

      3679
      5


      [3]78

      2[3]79

      [3]78

      4

      364
      1


      349

      349

      49

      6
      8
      1

      5
      2
      7
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Die Kandidaten 2, 6 und 9 sehen sich alle gegenseitig (gleiche Zeile oder gleiche Box), Kandidat 3 liegt aber in verschiedenen Boxen in verschiedenen Zeilen. Damit können alle Kandidaten 3 der anderen Zellen, die von diesen (beiden) Kandidaten 3 aus gesehen werden, gelöscht werden. Bei dieser Variante können oft viele Kandidaten gestrichen werden.


      Beispiele mit vielen Goldenen Ketten/XYZ-Wings/WXYZ-Wings

         

    5. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish), Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain, X-Chain Nice Loop) und der ganz neuen Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Erweiterung der einfachen X-Wing-Methode (4 Zellen in den Ecken eines Rechtecks mit einem gemeinsamen Kandidaten, 2*2-Einzelzahl-Gitter) in zwei Richtungen: Ermittlung von 3*3- und 4*4-Einzelzahl-Gittern, und Ausbau auf fast beliebige Formen: Eine Kette aus Resten, bei denen überall ein gemeinsamer Kandidat vorkommt (das verbindendes Element).

      Holger Schrader hat auch die neue Methode der Einzelzahl-Widerspruchs-Kette gefunden. Dabei nimmt man entlang einer Kette an, dass dort eine bestimmte Zahl abwechselnd gesetzt bzw. nicht gesetzt ist und leitet daraus einen Widerspruch ab. Diese Methode ist erstaunlicherweise etwa 10 Mal häufiger einsetzbar als normale Einzelzahl-Ketten; und wegen ihrer Kürze sind sie auch gut zu erkennen.

      Einzelzahl-Kette: Man sieht für eine bestimmte Zahl in den Resten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt. Hat man mehrere solcher sogenannten starken Doppel (Paar wird hier nur für eine Zelle mit genau zwei Kandidaten benutzt) gefunden, lassen sich diese eventuell dadurch so zu einer Einzelzahl-Kette verbinden, dass jeweils ein Anfang oder Ende in der gleichen Zeile, Spalte oder Box wie ein anderes starkes Doppel liegen; interessant ist hierbei, dass die anderen Kandidaten der jeweiligen Reste keine Rolle spielen, egal welche und wie viele es sind. Wenn sowohl vom Anfang einer so konstruierten Kette als auch vom Ende dieser Kette ein oder mehrere Zellen "gesehen" werden, also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen, kann die bestimmte Zahl aus diesen Zellen gestrichen werden. Es gilt: Entweder liegt die bestimmte Zahl am Anfang der Kette; ist das nicht der Fall, gilt folgender Schluss: Liegt diese Zahl nicht im ersten Feld der Kette, muss sie aber im zweiten Feld liegen, da dieses ein starkes Doppel ist; dann kann sie jedoch nicht im dritten Feld sein, muss somit im vierten Feld liegen, usw. - d.h. in jedem 2*K-ten Feld der Kette muss dann die bestimmte Zahl liegen, also auch - wegen der Geradzahligkeit der Kettenglieder - im letzten Feld am Ende der Kette.
      Eine Einzelzahl-Kette kann geschlossen sein, wenn jede der betroffenen Zellen als Ausgangspunkt dienen kann - dadurch kann man mehr Kandidaten streichen.  

      NEU: Einzelzahl-Widerspruchs-Kette: Man sieht für eine bestimmte Zahl in den Resten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt. Hat man mehrere solcher sogenannten starken Doppel gefunden, lassen sich diese eventuell zu einer Kette verbinden, wobei man annimmt, dass im ersten Glied und den anderen ungeraden Stellen die Zahl gesetzt ist, in den anderen damit nicht. Das führt dann oft zu Widersprüchen, etwa dass in einer Zeile, Spalte oder Box keine solche Zahl auftreten kann oder diese Zahl mehr als einmal auftritt, weshalb in diesen Fällen die Zahl in allen ungeraden Kettengliedern gestrichen werden kann (Typ 1). Es kommt aber auch sehr oft vor, dass statt einem starken Doppel sogenannte nicht-starke Doppel (also Zeilen/Spalten/Boxen mit mehr als 2 Kandidaten) in der Kette benutzt werden können; das geht aber nur dann, wenn nach dem Setzen der Zahl ein nicht-starkes Doppel gefunden wird, danach aber ein starkes Doppel folgt (Typ 2) - (theoretisch könnte auch dann wieder ein nicht-starkes Doppel folgen, aber dann muss man alle möglichen Wege untersuchen, die auch alle zu einem Widerspruch führen müssen). Der Typ 2 bekommt als zusätzliche Information eine Folge von O und X angehägt, wobei das O für ein starkes, das X für ein nicht-starkes Doppel steht; Beispiel Typ 2OOXO. Bei Typ 2 können nur die gesetzten Zahlen der Ketten gestrichen werden, die vor dem X-Fall liegen.

      Häufigkeiten der Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Typ 1 wird zu etwa 3 % gefunden; Typ 2XO ist mit etwa 74 % am häufigsten, etwa 22 % entfallen auf die 5er-Typen 2XOOO, 2XOXO und 2OOXO; die Längen 7 und 9 werden nur zu etwa 2 % gefunden; die Länge 11 ist extrem selten.

      Bewertung Einzelzahl-Gitter: 7, 10, 13, also 3*N+1 Punkte entsprechend der Länge N des gefundenen N*N-Gitters.
      Bewertung Einzelzahl-Ketten: 8, 11, 14, 17, usw. bis 20 Punkte, also 1.5*N+2 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 4 bis 12, immer geradzahlig).
      Bewertung Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 5 bis 13 Punkte, also N+2 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 3, 5, 7, 9, 11); für jedes X gibt es 1 Punkt mehr.

      Sonderfälle der Einzelzahl-Verfahren: Skyscraper, Turbot Fish, Two-String Kite (Long String Kite und Empty Rectangle sind Erweiterungen), hier aber nicht eingebaut.

         

      Beispiel eines 2*2-Einzelzahl-Gitters (X-Wing):

      X-Wing ist der Basistyp der Einzelzahl-Gitter- und Einzelzahl-Ketten-Methoden: Ein Rechteck von Zellen, die alle den gleichen Kandidaten haben - entweder alleine in den Zeilen oder alleine in den Spalten. Dann kann der Kandidat in den nicht im Rechteck liegenden Zellen der betroffenen Spalten bzw. Zeilen gelöscht werden, weil in 2 diagonal gegenüberliegenden Zellen des Rechtecks der Kandidat 5 vorkommen muss. Das folgende Beispiel zeigt das Zeilen-Gitter der Zahl 5: 56-56-157-157 (in Zeile 1 und Zeile 5): die Zahl 5 kann daher überall außerhalb dieses Gitters in der Spalte 2 bzw. Spalte 5 gestrichen werden:

      8

      56
      3

      9

      56
      2

      1
      4
      7

      567

      2[5]67
      9


      56
      4
      1

      8
      3

      25

      45

      24[5]
      1

      7
      3
      8

      6
      9

      25


      1457

      14[5]7
      8


      56
      2
      9

      3

      167

      146
      3

      157
      6

      8

      157
      4

      2

      17
      9
      2 ... ...
      ... ... ...
      ... 5 ...

      Erweiterung der 2*2-Gitter-Methode X-Wing auf 3*3- bzw. 4*4-Gitter (mehr ist nicht notwendig, da zu einem höheren Gitter auch immer ein entsprechend kleineres gehört - ähnlich wie bei den N-Tupeln). Ein großer Vorteil dieser Gitter liegt darin, dass oft sehr viele Kandidaten gestrichen werden können.

      Beispiel eines 3*3-Einzelzahl-Gitters (Swordfish):


      3457[8]9

      34891

      479


      1249

      12469

      469


      5783

      14586

      1457[8]9

      4579

      49
      6

      3

      149
      8

      2

      145

      14579

      489
      1
      2

      5

      49
      7

      3
      6

      489


      4689
      2
      3


      489

      45689

      4569

      1
      7

      458

      467[8]9

      46892

      479


      124[8]9

      12345679

      34569


      584

      24587

      2345

      478
      5
      1


      248

      23478

      34

      6
      9

      2348


      123469

      3469

      49


      4[8]9

      35[8]9

      3459


      5785

      12588

      12567[8]
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      In den drei Spalten 2, 7 und 8 ist der Kandidat 8 nur in den drei Zeilen 1, 5 und 7 vorhanden. Daher muss in jeder dieser Zeilen die 8 in einer der erwähnten Spalten vorkommen, kann also aus den anderen Spalten dieser drei Zeilen gestrichen werden. Ohne der 8 in den Zellen Nr. 3 (Zeile 1, Spalte 7) und Nr. 7 (Zeile 5, Spalte 8) hätte man eine (geschlossene) 6er-Einzelzahl-Kette (Nr. 1, 2, 4, 5, 8, 6).

         

      Beispiel einer Einzelzahl-Kette (Länge 6):


      2389
      1

      89

      7

      34
      5

      6

      489

      28

      568

      568
      4

      2
      9
      1


      58
      7
      3

      2359

      2359
      7

      6

      34
      8


      24

      459
      1

      1

      278
      3

      5

      27
      9


      24

      48
      6

      2459

      2459

      59

      8
      6
      3

      7
      1

      29

      2789

      2789
      6

      1

      27
      4


      35

      35

      289

      ...     ...     ...    
      ...     ...     ...    
      ...     ...     ...    

      Hier untersucht man z.B. die Zahl 2: Man findet die 2 genau zwei Mal in Zeile 1 (2389-28), in Spalte 5 oder in Box MM (27-27) und in Spalte 7 (24-24), und in Box OR (28-24). Startet man zum Beispiel mit dem Doppel 27-27 in Spalte 5, kann man dieses mit dem zweiten Spaltendoppel (24-24) über Zeile 4 verbinden (die dritte 2 in dieser Zeile stört bei der Verbindung von starken Doppeln nicht). Das Zeilendoppel kann man als letzten Teil der Kette in der rechten oberen Box anschließen (das starke Doppel 28-24 ist hierbei keine Notwendigkeit) und erhält somit die Kette: (6:5)27 - (4:5)27 - (4:7)24 - (3:7)24 - (1:9)28 - (1:1)2389.
      Die Kette kann natürlich auch andersherum geschrieben werde: (1:1)2389 - (1:9)28 - (3:7)24 - (4:7)24 - (4:5)27 - (6:5)27.

      Nun gilt: In Zeile 6/Spalte 1 kann die Zahl 2 nicht stehen, denn entweder liegt wegen der gefundenen Kette die 2 in Zeile 6/Spalte 5 (Anfang der Kette) oder in Zeile 1/Spalte 1 (Ende der Kette). D.h.: Ist die 2 in Zeile 6/Spalte 5, ist alles klar; ist die 2 aber nicht in Zeile 6/Spalte 5, muss sie in Zeile 4/Spalte 5 sein (da 27-27 ein sogenanntes starkes Doppel ist), kann somit nicht in Zeile 4/Spalte 7 sein, muss also in Zeile 3/Spalte 7 sein (starkes Doppel 24-24), also nicht in Zeile 1/Spalte 9, und muss daher in Zeile 1/Spalte 1 (starkes Doppel 2389-28) sein. Damit erhält man:


      23896-E
      1

      89

      7

      34
      5

      6

      489

      285

      568

      568
      4

      2
      9
      1


      58
      7
      3

      2359

      2359
      7

      6

      34
      8


      244

      459
      1

      1

      278
      3

      5

      272
      9


      243

      48
      6

      2459

      2459

      59

      8
      6
      3

      7
      1

      29

      [2]789

      2789
      6

      1

      271-A
      4


      35

      35

      289

      ...     ...     ...    
      ...     ...     ...    
      ...     ...     ...    

       

      Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Typ 1):

      1

      256
      7

      9

      236
      8


      356

      256
      4
      9

      2568
      3


      56
      4

      25


      1568
      7

      128

      25

      2568
      4

      7
      1

      2353

      9

      256

      2[3]82

      3
      7

      1269

      8

      26
      4


      156

      12569

      129
      8

      2456

      126


      56
      9

      2[3]52


      134563

      12456
      7

      245

      24569

      269

      1

      2361
      7


      34568

      24569

      23891

      ...     ...     ...    
      ...     ...     ...    
      ...     ...     ...    

      Hier findet man sogar 12 (!) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten mit der Zahl 3 und der Länge 3: Zum Beispiel: (hier rot markiert) (6:5)3 - (5:6)[3] - (5:7)3 und auch (6:5)3 - (1:5)[3] - (3:6)3. Bei der ersten Kette gibt es in Zeile 1 keine Möglichkeit für eine 3, da in (6:5) und (5:7) eine 3 steht; bei der zweiten Kette kann in Spalte 9 keine 3 stehen. Andere Beispiele sind z.B. auch (5:7)3 - (5:6)[3] - (3:6)3 oder (hier grün markiert) (6:9)3 - (3:9)[3] - (3:6)3 mit dem Widerspruch "Keine Möglichkeit für eine 3 in Box 2#2 (MM)".

      Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Typ 2XO):


      279

      279
      8


      279
      5
      6

      3
      4
      1
      5
      3

      47


      47
      8
      1

      9
      6
      2

      12469

      24691

      1249

      3

      29

      2[4]92

      8
      5
      7

      8

      249
      5


      249

      129
      7

      6

      12
      3

      247
      1

      247

      6
      3

      2453


      25
      9
      8
      3

      29
      6

      8

      129

      259


      125
      7
      4

      ...     ...     ...    
      ...     4 ...    
      ...     ...     ...    

      Startet man hier in der 3. Zeile und 2. Spalte mit der Zahl 4, kann an keiner anderen Stelle dieser Zeile eine 4 stehen, also auch nicht in Spalte 6. Diese Spalte hat aber ein starkes Doppel, so dass die 4 in Zeile 5 dieser Spalte stehen muss. Damit ist an keiner Stelle der Box 2#1 (ML) eine 4 möglich, was ein Widerspruch zu der Annahme einer 4 in (3:2) ist. Weg: (3:2)4 - (3:6)[4] - (5:6)4. Der umgekehrte Weg wie bei Typ 1 ist hier nicht möglich.


      Beispiele mit vielen Einzelzahl-Gittern/Einzelzahl-Ketten/Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten

         

    6. Ausschluss-Ketten: Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles) und Ausschluss-Ketten bzw. -Schleifen (Unique Loops):
      1. Übersicht Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles): Das sind 4 Zellen, die in zwei verschiedenen Zeilen, zwei verschiedenen Spalten und zwei (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben. Wegen der eindeutigen Lösbarkeit eines Sudokus kann man dann bestimmte Kandidaten ausschließen; dabei werden (hier) 8 Typen mit einigen Untertypen unterschieden - daher wird hier die eindeutige Lösbarkeit vorausgesetzt und man sollte dann aber am Ende der Rechnung die Eindeutigkeit überprüfen ("Teste Loesbarkeit vom Original aus").
      2. Liegen in 4 Zellen, die in zwei verschiedenen Zeilen, zwei verschiedenen Spalten und zwei verschiedenen Boxen liegen, nur genau 2 Zahlen (je zwei Mal), kann man diese Zahlen in diesen vier Zellen vertauschen und erhält ein zweites Sudoku, das sich nur in diesen Zellen unterscheidet. Ein gutes Sudoku ist daher immer so konstruiert, dass - in diesem Fall - mindestens eine dieser vier Zellen vorgegeben ist, wodurch es eindeutig lösbar wird. Beispiel mit den vertauschbaren Zahlen 6 und 9:

        2 6 8
        1 9 3
        4 5 7
        3 9 7
        5 6 4
        8 1 2
        5 4 1
        7 2 8
        9 3 6

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        2 9 8
        1 6 3
        4 5 7
        3 6 7
        5 9 4
        8 1 2
        5 4 1
        7 2 8
        9 3 6

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Das folgende Sudoku hat KEIN Ausschluss-Rechteck: Durch Vertauschen der 6 und 9 in den 4 Boxen entsteht kein Sudoku - das funktioniert nur bei 2 betroffenen Boxen:

        9 7 3
        6 4 5
        1 2 8
        5 4 1
        7 2 8
        9 3 6
        2 6 8
        1 9 3
        4 5 7

        3 9 7
        5 6 4
        8 1 2
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        9 7 3
        6 4 5
        1 2 8
        5 4 1
        7 2 8
        9 3 6
        2 9 8
        1 6 3
        4 5 7

        3 6 7
        5 9 4
        8 1 2
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Viele Beispiele mit ausführlichen Erklärungen findet man bei Bernhard Hobigers Webseite http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_ur.php (die Typen 7 und 8 heißen dort Hidden Rectangles - Versteckte Rechtecke) und bei Rudi Lars' Webseite http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueRectangle.html (wobei die Typen 7 und 8 dort Unique Rectangle VII [1/6] bis [6/6] genannt werden, Typ 7B wird nicht erwähnt), und auch bei Andrew Stuart's Webseite http://www.sudokuwiki.org/Unique_Rectangles und http://www.sudokuwiki.org/Hidden_Unique_Rectangles (der Typ 4A heißt dort Hidden Typ 2/2b); Stuart hat sogar eine Erweiterung auf ein 2 x 3 Pattern mit Tripeln statt Paaren beschrieben, siehe http://www.sudokuwiki.org/Extended_Unique_Rectangles.

        Bewertung (Ausschluss-Rechtecke): 4 Punkte für die einfachen Typen 1, 2 und 5, und 5 Punkte für den einfachen Typ 3A (mit Quasi-2-Tupel - bei Typ 3 allgemein: 5, 8, 11, 14, 17, 20 - je nach der Länge des Quasi-N-Tupels), für die schwierigeren Typen (mit 1 Regel) 4A, 4B und 4C gibt es 3 Punkte mehr (also 7 Punkte), für die komplexeren Typen (mit 2 Regeln) 6, 7A, 7B, 7C, 8A, 8B und 8C gibt es 4 Punkte mehr (also 8 Punkte).

        Achtung: Da das Ausdünnen die Eindeutigkeit eines Sudokus erfordert, sollte man diese im Zweifelsfall prüfen - das wird am Ende des Programms automatisch angeboten. Bei mehrdeutigen Sudokus wird eventuell eine angeblich eindeutige Lösung gefunden, obwohl es auch andere Lösungen gibt (es wurden schon über 1000 solcher Fälle gefunden).

        Beispiel (dabei auch auf die hier nach dem Sudoku folgende Zeile klicken): Sudoku mit 3 Lösungen, davon zwei gleichartige an den Stellen (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8): 000000089406009200000630000000000050000004000001720030010000008075000000032070060

        Einer der gefundenen Ausdünnschritte ist:
        Ausschluss-Rechteck Typ 4C für (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8)14 gefunden: Wegen Kandidat 4 alleine in Spalte 8 ist Kandidat 4 in nicht betrachteter Zelle mit Zusatzkandidaten streichbar

        Unter der falschen Annahme, dass das Sudoku eindeutig lösbar ist, werden in einem Ausschluss-Rechteck Kandidaten eliminiert, die aber zu zwei anderen Lösungen gehören mit der Zahl 5 (statt 4) in Zeile 1 und Spalte 4, aber den vertauschbaren Zahlen 1 - 4 - 1 - 4 und 4 - 1 - 4 - 1 im Rechteck 3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8.

        Weiteres Beispiel: Das Sudoku hat 127 Lösungen, ist aber mit 4 einfachen Ausschluss-Rechtecken "angeblich" lösbar: 000000003007000009063007000000026800400000000000009200000240010180000040070100060

        Es ist schon erstaunlich, dass genau ein Sudoku gelöst wird, aber über 100 andere Lösungen auch noch existieren!

           

      3. Ausführliche Typen-Übersicht, geordnet nach Anzahl der Paare (Abkürzungen: HK = Hauptkandidat, ZK = Zusatzkandidat, Z = Zeile, S = Spalte) mit 8 Haupttypen bzw. 20 (23 bei Schleifen) Untertypen:
      4. TypHäufigkeitZKAnalyseStreichbarOrt
        1 Zelle mit 1 bis N ZK bzw. 2 oder mehr Zellen mit identischem ZK
        Typ 16.4 %1 bis NZK in 1 ZelleBeide HKZK
        Typ 22.8 %1 gleicherin 2 ZellenZKAlle von ZK aus sichtbaren Zellen
        Typ 5A< 0.01 %1 gleicherin 2 Zellen
        (Paare diagonal)
        ZKAlle von ZK aus sichtbaren Zellen
        Typ 5B0.03 %1 gleicherin 3 ZellenZKAlle von ZK aus sichtbaren Zellen
        Typ 5C (ab 6er-Ausschluss-Ketten)< 0.01 %1 gleicherin 4 ZellenZKAlle von ZK aus sichtbaren Zellen
        Typ 5D (ab 8er-Ausschluss-Ketten)< 0.01 %1 gleicherin 5 ZellenZKAlle von ZK aus sichtbaren Zellen
        Typ 5E (ab 10er-Ausschluss-Ketten)< 0.0001 %1 gleicherin 6 ZellenZKAlle von ZK aus sichtbaren Zellen
        Quasi-N-Tupel
        Typ 3A2.4 %2Quasi-2-TupelQuasi-2-Tupel-ZahlenAlle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
        Typ 3B0.8 %2 bis 3Quasi-3-TupelQuasi-3-Tupel-ZahlenAlle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
        Typ 3C0.2 %2 bis 4Quasi-4-TupelQuasi-4-Tupel-ZahlenAlle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
        Typ 3D0.1 %2 bis 5Quasi-5-TupelQuasi-5-Tupel-ZahlenAlle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
        Typ 3E0.02 %2 bis 6Quasi-6-TupelQuasi-6-Tupel-ZahlenAlle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
        Typ 3F< 0.01 %2 bis 7Quasi-7-TupelQuasi-7-Tupel-ZahlenAlle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
        Mit 1 HK-Regel (Ein HK nur in den beiden AR-Zellen einer Zeile oder Spalte bzw. in allen 4 AR-Zellen)
        Typ 4A22.4 %1 bis NHK in HK+ZK-ZellenAnderer HKAR-Zelle mit nicht betrachtetem ZK
        Typ 4B4.0 %1 bis NHK in ZK+ZK-ZellenAnderer HK2 AR-Zellen mit ZK
        Typ 4C7.4 %1 bis NHK in HK+ZK-Zellen
        (Paare diagonal)
        HKAR-Zelle mit nicht betrachtetem ZK
        Mit 2 HK-Regeln (Ein HK nur in den beiden AR-Zellen einer Zeile oder Spalte, anderer HK nur in beiden AR-Zellen anderer Zeile oder Spalte)
        Typ 6< 0.8 %1 bis NHK in Z/S, HK in Z/S
        (Paare diagonal)
        HK2 AR-Zellen mit ZK
        Typ 7A19.6 %1 bis NHK in Z/S, HK in S/ZAnderer HKZelle gegenüber Paar-Zelle
        Typ 7B (NEU)16.8 %1 bis NHK in Z/S, HK in Z/SAnderer HKZelle gegenüber Paar-Zelle
        Typ 7C1.4 %1 bis NHK in Z/S, HK in S/Z
        (Paare diagonal)
        Anderer HKBetrachtete Paar-Zelle
        Typ 8A10.3 %1 bis NHK1 in Z/S, HK2 in Z/SHKNeben Paar-Zelle liegende Zelle
        Typ 8B4.1 %1 bis NHK1 in Z/S, HK2 in S/ZHKNicht betrachtete Zelle
        Typ 8C0.5 %1 bis NHK1 in Z/S, HK2 in S/ZZKZelle gegenüber Paar-Zelle

        Die Prozentangaben sind ungefähre Werte aus Rechnungen mit 100000 Sudokus (mit Ausdünnen), von denen in etwa 55 % der Sudokus Ausschluss-Rechtecke gefunden wurden (Option 2001). Die Abarbeitungsreihenfolge ist dabei Typ 1, 2, 5A-B, 3A-3F, 4B, 4A, 6, 7C, 4C, 7B, 7A, 8A, 8B, 8C, so dass alle Typen auch auftreten können. Bei einer anderen Reihenfolge treten insbesondere die Typen 4B, 6, 7B und 7C im nicht-synchronen Fall selten auf.

        Bemerkung: Mit Paar-Zelle ist jeweils eine Zelle des Ausschluss-Rechtecks bezeichnet, die nur aus den beiden Hauptkandidaten (die zwei Kandidaten, die in allen 4 Zellen vorkommen) des Ausschluss-Rechtecks besteht.

        Bemerkung: Ändert man die Reihenfolge der Ausdünnschritte, kann ein vorher lösbares Sudoku eventuell nicht mehr gelöst werden. Oft helfen dann aber die Quasi-Ausschluss-Rechtecke und -Schleifen, wobei alle Fälle der Ausschluss-Rechtecke und die der 6er-Ausschluss-Schleifen programmiert wurden. Interessanterweise wurde das Phänomen aber nie bei Goldenen und Einzelzahl-Ketten beobachtet (also keine eventuell notwendigen Quasi-Goldenen und Quasi-Einzelzahl-Ketten).

           

      5. Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles):
      6. Typ 1: Ausschluss-Rechteck vom einfachsten und auch sehr häufigen Typ (etwa 6 %): Es gibt drei Zellen mit drei gleichen Paaren, und in der vierten Zelle gibt es zusätzliche Kandidaten, von denen einer gültig sein muss - andernfalls wäre die eindeutige Lösbarkeit nicht gegeben. Beispiel:

        7
        3

        251


        246

        252
        9


        68
        1

        248

        1249

        19
        8


        123467

        1237

        1467

        5

        2469

        249

        1249
        6

        254

        8

        1[2][5]3

        145

        7

        249
        3

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Würde man die Zahl 1 in Zeile 3 und Spalte 5 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 2 und 5 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (2 - 5 - 2 - 5 und 5 - 2 - 5 - 2). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in dieser Zelle die 1 stehen bzw. die Kandidaten 2 und 5 können gestrichen werden (falls mehrere zusätzliche Kandidaten vorliegen).

        Typ 2: Ausschluss-Rechteck vom einfachen, jedoch weniger häufigen (außer bei Ausschluss-Schleifen) Typ: Es gibt zwei nicht-diagonale Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es einen zusätzlichen (gleichen) Kandidaten, der wegen der eindeutigen Lösbarkeit in einer der beiden Zellen gültig sein muss - aus den anderen, von diesen beiden Zellen aus sichtbaren Zellen kann dann dieser zusätzliche Kandidat gestrichen werden. Beispiel:

        1

        29

        2359


        23467

        3567

        269


        79

        [3]478

        2[3]89

        471

        259
        6


        23457
        8

        29

        1

        3472

        2[3]9

        474
        8

        239


        12347

        137

        129

        5

        3473
        6

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Würde man die Zahl 3 in Spalte 8 der Zeilen 2 und 3 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 4 und 7 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (4 - 7 - 4 - 7 und 7 - 4 - 7 - 4). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in einer der erwähnten Zellen die Zahl 3 stehen - d.h. alle von diesen beiden Zellen aus sichtbaren Kandidaten 3 können gestrichen werden.

        Typ 3A bis 3F: Ausschluss-Rechteck vom relativ einfachen und auch weniger häufigen Typ (insgesamt etwa 4 %): Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten, die als Kandidaten einer Zelle aufgefasst werden können. Zusammen mit anderen Kandidaten der entsprechenden Zeile, Spalte oder Box können diese ein Quasi-N-Tupel bilden. 3A steht für ein Ausschluss-Rechteck mit einem Quasi-2-Tupel, usw. bis 3F für eines mit einem Quasi-7-Tupel. Beispiel des sehr einfachen Typs 3A mit einem 2-Tupel, dessen zwei Zahlen direkt ablesbar sind - es muss nur noch eine andere Zelle mit genau diesem Paar gefunden werden:


        1237
        8
        5


        17

        231
        4

        6

        12372
        9

        1237
        9

        137


        17
        8
        6

        5

        [1]234[7]

        [1]4[7]
        4

        1267

        1367

        9

        234
        5

        8

        12373

        17

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Hier liegen in Spalte 8 der Zeilen 1 und 3 die Zusatzkandidaten 1 und 7. Zusammen mit dem Rest 17 in der gleichen Box bilden sie das Quasi-2-Tupel 17. Da einer der Zusatzkandidaten gesetzt sein muss, können die von diesem N-Tupel aus sichtbaren Kandidaten der anderen Zellen somit gestrichen werden.

        Typ 4A: Ausschluss-Rechteck vom häufigsten Typ (etwa 22 %): Es gibt wieder zwei Zellen in einer Zeile oder Spalte mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Hier interessieren die Zusatzkandidaten nicht direkt - sie legen nur zwei der vier zu betrachteten Zellen des Ausschluss-Rechtecks fest. Jetzt wird eine Zeile oder Spalte mit beiden Zellen-Typen untersucht: Ist einer der Hauptkandidaten in einer Zeile oder Spalte mit einer Paar-Zelle und einer Zelle mit zusätzlichen Kandidaten nur in diesen beiden Zellen vorhanden, kann der andere Hauptkandidat aus der anderen Zelle mit zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:


        391

        15
        8


        3492
        2

        56


        356

        14
        7

        394

        15
        6


        [3]4893

        89
        7


        2358

        124

        459
        7
        2
        4


        389
        1

        56


        689

        35

        59

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Der Hauptkandidat 9 ist in Zeile 1 nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden. Daher muss der andere Hauptkandidat 3 aus der Zelle in Zeile 2 und Spalte 4 gestrichen werden; denn wäre die 3 in dieser Zelle, müsste die 9 in der links davon stehenden Paar-Zelle sein, daher die 3 in der darüber stehenden Paar-Zelle und wegen der obigen Bedingung hätte die Zelle in Zeile 1 und Spalte 4 eine 9, was zu der nicht erlaubten Möglichkeit zweier Sudokus (mit 3 - 9 - 3 - 9 und damit auch 9 - 3 - 9 - 3) führen würde.

        Typ 4B: Ausschluss-Rechteck ähnlich 4A, aber nicht so häufigem Typ (dafür können aber immer 2 Kandidaten gestrichen werden): Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist einer der Hauptkandidaten in einer Zeile, Spalte oder Box nur in diesen beiden Zellen vorhanden (also rechtwinklig zum Typ 4A), kann der andere Kandidat aus diesen Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Beispiel für Typ 4B:


        23689
        1

        689


        4589

        79

        3589


        367

        2368

        48

        237[8]91

        237[8]92
        4


        89
        6

        389

        5

        238
        1

        3568

        3568

        568

        2

        47
        1


        47

        368
        9


        784

        783
        3


        569
        1

        569

        2
        4

        56
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Einer der beiden Hauptkandidaten dieser Zellen mit den Zusatzkandidaten, hier die 7, ist in Zeile 2 aber nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden. Daher muss dieser Kandidat an einer der beiden Stellen auftreten - damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, hier die 8, aus diesen Zellen (mit den Zusatzkandidaten) gestrichen werden.

        Typ 4C: Ausschluss-Rechteck vom recht häufigen Typ (7.5 %): Es gibt zwei diagonal gegenüberliegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist einer der beiden Kandidaten nur in einer Zelle ohne zusätzliche Kandidaten und einer daneben bzw. darunter liegenden Zelle mit zusätzlichen Kandidaten vorhanden, so kann er aus der nicht betrachteten Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

        2

        4581
        3

        1

        482
        7


        46

        56
        9
        7

        484
        9

        5

        34[8]3
        6

        1

        248

        2348

        148
        6

        15

        2

        348
        9


        345
        7

        348

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Die Zahl 8 kommt in Zeile 1 (mit einer Paar-Zelle und eine Zelle mit zusätzlichen Kandidaten) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Dieser Kandidat muss also aus der anderen Zelle mit zusätzlichen Kandidaten in Zeile 2 und Spalte 5 gestrichen werden. Denn wenn die Zahl 8 dort wäre, müsste in der Zelle darüber die 4 stehen und damit in Zeile 1 und Spalte 2 die 8 und in der Zelle darunter die 4; dies widerspricht der Eindeutigkeit eines Sudokus.

        Typ 5A bis 5B bzw. 5E: Ausschluss-Rechteck vom seltenen (außer bei Ausschluss-Schleifen) und dem Typ 2 sehr ähnlichen Typ, der aber unterschieden wird: Liegen sich die beiden Zellen mit den Zusatzkandidaten diagonal gegenüber, gilt die gleiche Folgerung: Aus allen Zellen, die von den beiden Zellen mit dem Zusatzkandidaten gesehen werden können, kann dieser gestrichen werden: das ist der Typ 5A der Ausschluss-Rechtecke, der bei den 138000 gerechneten Sudokus mit Ausdünnung in nur einem einzigen Fall und bei den Quasi-Ausschluss-Rechtecken dort nur 12 Mal gefunden wurde. Nur wenig häufiger ist der Typ 5B, bei dem drei Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben; hier kann der Zusatzkandidat aus allen Zellen gestrichen werden, die von diesen drei Zellen aus gesehen werden. Bei Ausschluss-Schleifen gibt es noch den Typ 5C, wenn vier Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben, ab den 10er-Ausschluss-Schleifen auch die Typen 5D und 5E, wenn fünf bzw. sechs Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben. Beispiel für Typ 5B:

        2

        1341
        8

        9

        142
        5

        6

        134
        7
        6
        7
        5


        123

        1348

        1238


        14
        9

        13

        [3]9

        1344

        49

        6

        1343
        7

        2
        5
        8

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Die Zahl 3 kommt nur in drei Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss eine dieser Zellen die Zusatzzahl 3 enthalten. Daher kann man die Zahl 3 aus allen Zellen, hier der einen Zelle in Zeile 3 und Spalte 1, streichen.

        Typ 6: Ausschluss-Rechteck vom sehr seltenen Typ (außer bei Quasi-Ausschluss-Rechtecken und Ausschluss-Schleifen), der ähnlich dem Typ 4C ist: Es gibt zwei diagonal gegenüber liegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist ein Hauptkandidat nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, kann dieser (im Gegensatz zu Typ 4 also nicht der andere Hauptkandidat) aus den Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Typ 6 entspricht dem Typ 4C zwei Mal angewendet. Tritt meistens nur in den Alternativ-Fällen ("ODER" bzw. "neben") auf. Beispiel:


        25
        3

        571

        6

        15[7]2

        125

        8
        9
        4
        6
        9
        1

        8
        3
        4


        257

        257

        27

        458

        245

        5[7]84

        9

        573

        25

        6
        3
        1

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Die Zahl 7 kommt nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss die 7 in den Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Denn wäre die 7 an diesen Stellen gesetzt, müsste in den Paar-Zellen die Zahl 5 stehen; das wäre aber eine Situation 5 - 7 - 5 - 7 oder 7 - 5 - 7 - 5, was zu einem nicht-eindeutigen Sudoku führen würde.

        Typ 7A: Ausschluss-Rechteck vom zweit-häufigsten Typ (20 %): Es gibt eine Zelle mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten (dieser Typ hat zwar nur eine Paar-Zelle wie die Typen 8, gehört aber auf Grund aller anderen Eigenschaften zu den Typen 7). Man betrachtet nun die Zeile und die Spalte durch die Zelle, die der Paar-Zelle diagonal gegenüber liegt: Taucht einer der Kandidaten in dieser Zeile und Spalte nur in den zum Ausschluss-Rechteck gehörenden Zellen auf, kann der andere Kandidat in der der Paar-Zelle gegenüber liegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:


        28
        4

        291


        2892
        1
        5

        7
        6
        3
        3
        1
        6


        89
        4
        7

        2

        89
        5
        7

        589

        2594


        28[9]3
        6
        3

        1
        4

        89


        56

        56
        1

        4
        7

        89

        3
        2

        89
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Man betrachtet die Zeilen 1 und 3 und die Spalten 3 und 4: Die Paar-Zelle hat die Kandidaten 29; die diagonal gegenüber liegende Zelle in Zeile 3 und Spalte 4 hat die Kandidaten 289; die Zahl 2 kommt in Zeile 3 und auch in Spalte 4 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) nur in dem Ausschluss-Rechteck vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, also die 9, dort (in Zeile 3 und Spalte 4) gestrichen werden.

        Typ 7B (NEU): Ausschluss-Rechteck vom sehr häufigen Typ (etwa 17 %): Es gibt eine Zelle mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten (dieser Typ hat zwar nur eine Paar-Zelle wie die Typen 8, gehört aber auf Grund aller anderen Eigenschaften zu den Typen 7). Ist ein Hauptkandidat nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, kann der andere Kandidat in der der Paar-Zelle diagonal gegenüber liegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:


        5781
        6

        582


        347

        2347

        237

        1

        35
        9
        2
        3
        9

        1
        5
        6

        8
        7
        4

        57
        1
        4


        379

        78

        3789


        36

        356
        2


        1[5]84

        25

        2583

        6
        9
        4

        7

        123

        13
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Die Paar-Zelle hat die Kandidaten 58; die diagonal gegenüber liegende Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 hat die Kandidaten 158; die Zahl 8 kommt aber in Zeile 1 und auch in Zeile 4 nur in dem Ausschluss-Rechteck vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, hier die 5, dort (also in Zeile 4 und Spalte 1) gestrichen werden.

        Der Typ 7B ist dem Typ 7A sehr ähnlich, aber die Bedingungen sind unterschiedlich: Bei Typ 7A werden eine Zeile und eine Spalte untersucht, bei Typ 7B jeweils zwei Zeilen bzw. zwei Spalten.

        Typ 7C: Ausschluss-Rechteck vom weniger häufigen Typ: Es gibt zwei diagonal gegenüberliegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Man betrachtet nun die Zeile und die Spalte durch eine der beiden Paar-Zellen: Taucht einer der Kandidaten in dieser Zeile und Spalte nur in den zum Ausschluss-Rechteck gehörenden Zellen auf, kann der andere Kandidat in dieser Paar-Zelle gestrichen werden. Beispiel:

        5

        24
        8

        6

        19

        249


        12
        7
        3
        1
        6

        24

        3
        7

        2451


        [2]52
        8
        9
        9
        3
        7


        15
        8

        254


        1253
        6
        4

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Die Zahl 5 kommt in Zeile 2 und in Spalte 7 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der andere Hauptkandidat 2 muss aus dieser Zelle in Zeile 2 und Spalte 7 gestrichen werden. Denn wenn die Zahl 2 in dieser Zelle wäre, müsste in den Zellen mit Zusatzzahl die Zahl 5 stehen; dann wäre aber in der anderen Paar-Zelle die Zahl 2 und damit hätte man ein zweideutiges Sudoku mit den beiden Lösungen 2 - 5 - 2 - 5 und 5 - 2 - 5 - 2.

        Der Typ 7C entspricht im Prinzip dem Typ 7A, bei dem das gleiche Ergebnis erreicht wird, wobei bei Typ 7C aber gleich eine Paar-Zelle eindeutig besetzt werden kann.

        Typ 8A: Ausschluss-Rechteck vom recht häufigen Typ (etwa 10 %): Es gibt nur eine Paar-Zelle, in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Es werden jeweils zwei Zeilen bzw. zwei Spalten betrachtet. Ist ein Hauptkandidat in einer Zeile bzw. Spalte nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, und ist der andere Hauptkandidat in der anderen Zeile bzw. Spalte auch nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, so kann der Hauptkandidat, der in der Zeile bzw. Spalte mit der Paar-Zelle betroffen war, aus der darunter/darüber bzw. rechts/links daneben liegenden Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

        8
        4
        6

        2
        1
        7

        9
        5
        3

        25

        25
        9


        346

        3468

        38


        48
        1
        7
        1
        3
        7


        451

        4582
        9


        248

        26

        46

        6
        9
        2


        34[5]4

        3453
        1

        7

        38

        58
        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Die Zahl 5 kommt in Zeile 3 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor, die Zahl 4 kommt in Zeile 4 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der Hauptkandidat 5, der in der Zeile mit der Paar-Zelle ist, muss aus der Zelle unterhalb der Paar-Zelle in Zeile 4 und Spalte 4 gestrichen werden. Die Argumentation ist ähnlich denen der vorhergehenden Beispiele.

        Die Typen 8A bis 8C haben die Besonderheit, dass dazu beide Hauptkandidaten in bestimmten Zeilen und Spalten untersucht werden, ob sie nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks auftreten. Daher werden sie hier von den Typen 7A bis 7C unterschieden, bei denen nur ein Hauptkandidat betrachtet wird.

        Typ 8B: Ausschluss-Rechteck vom weniger häufigen Typ (4.1 %): Es gibt nur eine Paar-Zelle mit den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Betrachtet man eine Zeile bzw. Spalte, in der die Paar-Zelle vorkommt, und kommt einer der Hauptkandidaten nur in diesen beiden Zellen vor und der andere Hauptkandidat nur in der Spalte bzw. Zeile, die die gerade betrachtete Zelle mit Zusatzkandidaten enthält, so kann der erste Hauptkandidat aus der nicht betrachteten Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

        8

        1461

        67


        157
        3
        9


        14572

        157
        2

        47

        144
        9

        2

        457
        8


        [1]4573
        6
        3
        2
        5
        3


        17

        47
        6


        147
        9
        8

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Die Zahl 1 kommt in Spalte 2 (mit einer Paar-Zelle und einer Zelle mit zusätzlichen Kandidaten) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor (Sudoku hier nicht ganz dargestellt). Der zweite Hauptkandidat 4 kommt in der Zeile 1 nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der erste Hauptkandidat 1 muss also aus der dritten Zelle mit zusätzlichen Kandidaten in Zeile 2 und Spalte 7 gestrichen werden. Denn hätte diese Zelle den Wert 1, wäre in der Paar-Zelle eine 4 und damit in der darüber liegenden Zelle eine 1 und daher auch in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 7 eine 4; das ergäbe aber prinzipiell zwei Lösungen 1 - 4 - 1 - 4 und 4 - 1 - 4 - 1 vor, was nicht sein darf.

        Typ 8C: Ausschluss-Rechteck vom weniger häufigen Typ: Es gibt nur eine Paar-Zelle mit den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Man betrachtet die Zeilen und Spalten, in denen die Paar-Zelle nicht vorkommt: Kommt in einer Zeile bzw. Spalte einer der Hauptkandidaten nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor und der andere Hauptkandidat analog nur in der entsprechenden Spalte bzw. Zeile, so können die Zusatzkandidaten (!) der der Paar-Zelle gegenüberliegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:

        3
        7
        8


        45
        9

        2[4]61


        1262

        1245

        15

        156

        1456

        125

        3
        7

        2464


        263
        9
        8

        69

        46

        29


        458

        568
        1


        236

        2345
        7

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Der eine Hauptkandidat 6 kommt in Zeile 1 (Zeile ohne Paar-Zelle) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der zweite Hauptkandidat 2 kommt in der Spalte 6 (Spalte ohne Paar-Zelle) nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor (Sudoku hier nicht ganz dargestellt). Der Zusatzkandidat 4 in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 6 muss gestrichen werden; denn wäre er dort, so müsste in der Zelle darunter (Zeile 2 und Spalte 6) die 2 stehen, in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 7 die 6. Das geht aber nicht, weil dann in der Paar-Zelle kein Kandidat möglich ist. Interessanterweise geht der Beweis nicht über die Vermeidung von zwei Lösungen, sondern über einen Widerspruch bei der möglichen Setzung; insofern muss man den Typ 8C eigentlich als Pseudo-Ausschluss-Rechteck auffassen. Das Ergebnis dieser Streichungen führt aber direkt zu einem Ausschluss-Rechteck vom Typ 4C!

        Bei den 136000 gerechneten Sudokus traten bei der voll-synchronen Rechnung direkte Ausschluss-Rechtecke insgesamt fast 280000 Mal auf, Quasi-Ausschluss-Rechtecke etwa 18500 Mal; die 6er-Ausschluss-Ketten inklusive der 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten wurden etwa 7600 Mal gefunden, die 8er-Ausschluss-Ketten 680 Mal, 10er-Ausschluss-Ketten etwa 30 Mal.

        Beispiele für einige der etwa 100000 Sudokus mit Ausschluss-Rechtecken:


        Beispiele mit vielen Ausschluss-Rechtecken

           

      7. Quasi-Ausschluss-Rechtecke:
      8. Das Konzept der Quasi-Ausschluss-Rechtecke wird hier eingeführt: Dies sind unvollständige Ausschluss-Rechtecke, z.B. wenn schon einige Zellen eindeutig besetzt wurden (dann Vermeidbare Ausschluss-Rechtecke genannt) oder (viel allgemeiner) einige Kandidaten in einer Zelle oder mehreren Zellen schon fehlen (dann Ausschluss-Rechtecke mit fehlenden Kandidaten genannt); diese wurden dann im Allgemeinen in einem vorhergehenden (oft einfacheren) Ausdünnschritt eliminiert und können aber wieder (vorübergehend) eingesetzt werden, um ein Ausschluss-Verfahren zu ermöglichen (bei einer anderen Reihenfolge der Ausdünnschritte hätte man möglicherweise ein echtes Ausschluss-Rechteck gefunden). Man untersucht dazu die beiden Diagonalen in einem möglichen (Quasi-)Ausschluss-Rechteck: Ist in einer Diagonale eine Zahl bzw. ein Kandidat in beiden Zellen vorhanden, kann man diese Zahl wieder (vorübergehend) in die anderen beiden Kandidatenlisten eintragen. Relativ leicht erkennbar sind Quasi-Ausschluss-Rechtecke, wenn nur eine Zahl zusätzlich eingetragen werden muss. Sind zwei zusätzliche Zahlen einzutragen, sind diese oft das gemeinsame Paar des Ausschluss-Rechtecks.

        In etwa 1 % aller gerechneten Ausdünn-Sudokus wurden Quasi-Ausschluss-Rechtecke gefunden, meistens die Typen 1, 4B und 4C.

        Bewertung: 3, 5, 7, 9 Punkte mehr, also 1 + 2 * N (N = 1 bis 4 zusätzlich eingesetzte Zahlen) Punkte mehr als bei dem entsprechenden Typ des Ausschluss-Rechtecks.

        Beispiel eines Quasi-Ausschluss-Rechtecks:
        Man betrachte die Zeilen 2 und 3 und die Spalten 3 und 7 mit den Kandidatenlisten 17, 15, 13 und der schon gefundenen Zahl 5:

        8

        379

        79

        1  
        5  
        4  

        6

        37
        2
        4
        2

        17

        6
        8
        3


        15
        9

        57
        6

        13
        5

        7
        9
        2


        13
        8
        4

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Man sieht, dass die 1 in der Diagonale von links-oben nach rechts-unten in beiden Kandidatenlisten (17, 13) vorkommt und somit in den Zellen der anderen Diagonale hinzugefügt werden kann - hier an der Stelle der schon gefundenen, also nicht originalen (!) Zahl 5 in Zeile 3 und Spalte 3 (was die Pseudo-Kandidatenliste 15 ergibt) - und dass die 5 in der Diagonale von rechts-oben nach links-unten in beiden Kandidatenlisten (15) bzw. Pseudo-Kandidatenlisten (5) vorkommt und somit den Zellen der ersten Diagonale hinzugefügt werden kann (was die Pseudo-Kandidatenlisten 157 und 135 ergibt). Daraus wird dann ein Ausschluss-Rechteck mit 15 als gemeinsamem Kandidatenpaar, wobei die vorübergehend hinzugefügten Kandidaten in runde Klammern gesetzt werden:

        8

        379

        79

        1  
        5  
        4  

        6

        37
        2
        4
        2

        1(5)71

        6
        8
        3


        1[5]2
        9

        57
        6

        13

        (1)54

        7
        9
        2


        13(5)3
        8
        4

        ... ... ...
        ... ... ...
        ... ... ...

        Da nun der Kandidat 1 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks in Zeile 2 und Spalte 7 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) liegt, kann - nach Typ 7C - der Kandidat 5 in der Zelle in Zeile 2 und Spalte 7 im Ausschluss-Rechteck gestrichen werden. Danach werden die vorübergehend eingesetzten Zusatzkandidaten wieder entfernt.

        Für die Quasi-Ausschluss-Rechtecke gibt es die gleichen 8 Basis-Typen wie bei den normalen Ausschluss-Rechtecken. Ähnliche Anteil-Verhältnisse wie bei den Ausschluss-Rechtecken gelten auch bei den Quasi-Ausschluss-Rechtecke.

        Beispiele für einige der etwa 53000 Sudokus mit Quasi-Ausschluss-Rechtecken:


        Beispiele mit vielen Quasi-Ausschluss-Rechtecken

           

      9. 6er-Ausschluss-Ketten:
      10. Die Erweiterung der Ausschluss-Rechtecke sind Ausschluss-Ketten (Ausschluss-Schleifen): Ausschluss-Ketten sind 2*N Zellen, die in N verschiedenen Zeilen, N verschiedenen Spalten und N (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben (siehe z.B. http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueLoop.html). Hier wurden alle Versionen mit 6, 8 und 10 Zellen programmiert; 12er-, 14er-, 16er- und 18er-Ausschluss-Ketten werden nicht mehr berechnet, sind aber möglich.

        In etwa 0.25 % aller gerechneten Ausdünn-Sudokus wurden 6er-Ausschluss-Ketten gefunden, meistens die Typen 1, 4 und 5.

        Bewertung: Bei den 6er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 3 Punkte mehr als bei entsprechenden Typen der Ausschluss-Rechtecke; bei 8er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 6 Punkte mehr, bei 10er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 9 Punkte mehr, usw.

        Ausschluss-Ketten sind also empfindlich gegenüber der Reihenfolge der Ausdünnschritte. Aber prinzipiell kann es wohl auch vorkommen, dass eine Goldene oder Einzelzahl-Kette durch vorhergehende Ausdünnschritte zerstört wird.


        Beispiele mit vielen 6er-Ausschluss-Ketten

           

      11. 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten
      12. Analog den Quasi-Ausschluss-Rechtecken gibt es auch Quasi-Ausschluss-Ketten. Hier wurden nur die 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten programmiert.

        Bewertung: 3, 5, 7, 9, 11, 13 Punkte mehr, also 1 + 2 * N (N = 1 bis 6 zusätzlich eingesetzte Zahlen) Punkte mehr als bei dem entsprechenden Typ der 6er-Ausschluss-Kette. Das bedeutet theoretisch eine maximale Punktzahl von 36 (mehr als 31 Punkte wurden aber noch nicht beobachtet)

        In etwa 1300 Sudokus wurden 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten gefunden.


        Beispiele mit vielen 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten

           

      13. 8er-Ausschluss-Ketten
      14. In etwa 400 Sudokus wurden 8er-Ausschluss-Ketten gefunden.


        Beispiele mit vielen 8er-Ausschluss-Ketten

           

      15. 10er-Ausschluss-Ketten
      16. Da 8er-Ausschluss-Ketten schon recht selten sind, treten 10er-Ketten in der Praxis noch seltener und nur mit wenigen Typen auf. 12er- und längere Ketten werden nicht mehr berechnet.


        Beispiele mit vielen 10er-Ausschluss-Ketten

           

    7. Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten (Discontinuous und Continuous Nice Loops bzw. AIC = Alternate Interference Chain): Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten: Man geht von einem möglichen Kandidaten einer Zelle aus und versucht, durch logische Schlussfolgerungen am Ende der Kette (in der Ausgangszelle) entweder zu einem Widerspruch zu kommen oder die Annahme zu bestätigen. Dann kann man je nach Typ der Ketten und der Schlussfolgerungen bestimmte Kandidaten löschen oder bestätigen.

      Alternativ-Ketten: Man geht von einer Zelle mit 2 Kandidaten (Paar) aus und sucht entweder von jedem Kandidaten aus jeweils eine Kette: Führen beide (unterschiedlichen) Ketten zu genau einer Setzung in einer anderen Zelle, muss diese Setzung richtig sein (Setzende Alternativ-Ketten). Oder man findet von einem Kandidaten aus auf 2 verschiedenen Ketten zu 2 verschiedenen Setzungen in einer anderen Zelle; dann muss der ausgehende Kandidat (Kettenanfang) falsch sein (Reduzierende Alternativ-Ketten). Prinzipiell kann das Verfahren auch auf Ausgangszellen mit mehr als 2 Kandidaten angewendet werden.

      Alle Schlussfolgerungen müssen dabei vor Beginn der Kettensuche aus dem aktuellen Sudoku hervorgehen, d.h. eine Schlussfolgerung, die erst während des Durchlaufs der Kette entsteht, ist nicht erlaubt, da dies eher eine Trial&Error-Methode wäre.

      Es gibt drei Arten von Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten und zwei Arten von Alternativ-Ketten:

      1. Einfache Widerspruchs-Kette (Discontinuous Nice Loop, Typ 1): Die Annahme, ein Kandidat ist gesetzt, führt zu einem Widerspruch: Der Kandidat kann gelöscht werden. Das ist der weitaus häufigste Fall (etwa 83 % aller Fälle). Dabei kann der Widerspruch erst in der Ausgangszelle, aber meistens (in 98 % dieser Fälle) schon vorher gefunden werden, wenn der Kandidat in der gleichen Zeile/Spalte/Box zwei Mal auftreten würde.
      2. Setzende Widerspruchs-Kette (Discontinuous Nice Loop, Typ 2): Die Annahme, ein Kandidat ist nicht gesetzt, führt zu einem Widerspruch: Daher muss der Kandidat richtig sein. Wird in knapp 5 % aller Fälle gefunden, hat aber den Vorteil, dass man gleiche eine Zelle setzen kann.
      3. Geschlossene Folgerungs-Kette (Continuous Nice Loop): Der Annahme, ein Kandidat ist gesetzt, wird nach einigen Schritten zurück in der Ausgangszelle nicht widersprochen. Die Kette ist geschlossen und kann an jeder Stelle begonnen werden, auch in umgekehrter Richtung. Um auf dem Weg der Kette Kandidaten streichen zu können, muss man - und nur bei den Geschlossenen Folgerungs-Ketten - den Verbindungstyp (starke oder schwache Verbindung - strong oder weak link; Zeichen "=" oder "-") berücksichtigen. Diese Kettenart wird nur in etwa 1 % aller Fälle gefunden, ist aber interessant, weil man oft viele Kandidaten streichen kann.
      4. Reduzierende Alternativ-Ketten: Ein Ausgangs-Kandidat führt zu zwei verschiedenen Setzungen in einer anderen Zelle: Daher muss der Ausgangs-Kandidat falsch sein. Wird in etwa 5 % aller Fälle gefunden.
      5. Setzende Alternativ-Ketten: Beide Ausgangs-Kandidaten führen zu einem Kandidaten einer anderen Zelle: Daher muss dieser Kandidat richtig sein. Wird in etwa 6 % aller Fälle gefunden.

      Der von Paul Stephens (http://www.paulspages.co.uk/sudokuxp/howtosolve/niceloops.htm) erwähnte Typ 3 der Widerspruchs-Ketten ist kein wirklich anderer Typ, da er immer auf den Typ 1 zurückgeführt werden kann.  

      Prinzipiell gehört auch die Ausdünnmethode "Bowman's Bingo" in diese Gruppe, aber es sind keine Ketten, sondern ein Netz von Folgerungen ("Forcing Nets"). Man unterstellt einem Kandidaten einer (beliebigen) Zelle, dass er gesetzt ist und versucht durch einfachste Methoden (im Prinzip die Methoden E und F) die Folgerungen daraus zu bestimmen. Stößt man dabei auf einen Widerspruch, kann dieser Kandidat gestrichen werden. Diese Methode ist zwar nahe einem Trial&Error-Verfahren, aber noch benutzbar. Es sind allerdings im Allgemeinen etwa 20 und mehr Folgerungen nachzuvollziehen, ehe man auf einen Widerspruch stößt, oft reichen aber auch 5 bis 10 Schritte aus (Begrenzung auf 24 Folgerungen). Andrew Stuart beschreibt das Verfahren als letzten Ausweg vor Trial&Error ("SudokuWiki"). Es ist sinnvoll, bei einer Zelle mit vielen Kandidaten zu starten (Zellen mit 3, 4 und 5 Kandidaten als erstem Schritt und Zellen mit 2, 3 und 4 Kandidaten als zweitem Schritt waren in mehr als 75 % der 18000 Testfälle erfolgreich, Zellen mit 8 und 9 Kandidaten waren extrem selten; bei anfangs 3 bis 6 Kandidaten waren es über 81 %).

      Allgemeine Vorgehensweise: Man betrachtet einen (von mehreren) Kandidaten einer Zelle und unterstellt, dass dieser zur Lösung gehört. Zum einen gilt dann, wenn einer der anderen Kandidaten dieser Zelle in einer von der betrachteten Zelle aus gesehenen Zeile, Spalte oder Box nur noch ein Mal vorhanden ist, muss dieser andere Kandidat dann dort sein (starke Verbindung - strong link). Zum anderen gilt, dass, wenn der betrachtete Kandidat in einer Paar-Zelle in einer von der betrachteten Zelle aus gesehenen Zeile, Spalte oder Box vorkommt, muss daher dort der andere Kandidat des Paares stehen, auch wenn er noch an anderen Stellen der Zeile, Spalte oder Box vorkommt. Man kann auch annehmen, ein Kandidat sei in einer Zelle nicht gesetzt: Wenn dieser dann in einer anderen sichtbaren Zelle nur noch ein Mal vorkommt, muss er dort gesetzt sein (ebenfalls eine starke Verbindung). Es kann aber auch eine weitere Beziehung benutzt werden: Wenn ein Kandidat in einer Zelle angenommen wird, kann er in den anderen Zellen der gleichen Zeile, Spalte und Box nicht sein; dann kann man aber eventuell schließen, dass von einer dieser Zellen aus gesehen dieser Kandidat nur noch ein Mal vorkommt, also dort (in einer dritten Zelle) gesetzt werden kann.

      Das Nicht-Vorkommen des Kandidaten k wird hier durch "!k" dargestellt (in der Literatur manchmal "<>k").

      Bewertung: 13+N Punkte (mit Länge N) bei Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten ohne "!" innen, 15+N Punkte bei Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten mit "!" innen, 17+N Punkte (mit Maximallänge N) bei Alternativ-Ketten, maximal also 31 Punkte. Bei "Bowman's Bingo" werden 36 + Schrittzahl Punkte gewertet.

      Literatur:
      http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_chains.php#nl
      http://www.paulspages.co.uk/sudokuxp/howtosolve/niceloops.htm

      Beispiel einer Einfachen Widerspruchs-Kette:

      Nimmt man an, dass in Zeile 1 und Spalte 6 der Kandidat 3 richtig wäre, kann in der 6. Spalte der Kandidat 5 nur noch in Zeile 2 auftreten (Box!). Das bedeutet aber für den Kandidaten 8 in Zeile 2, dass dieser nur in Spalte 7 sein kann. Damit kann aber in Zeile 1 und Spalte 7 (wegen des Paares 38) nur eine 3 sein. Das ist aber ein Widerspruch, weil in einer Zeile nur eine 3 stehen kann. Der Kandidat 3 kann also in Zeile 1 und Spalte 6 nicht möglich sein. Also:


      68
      1

      25


      237
      4
      3 !3
      [3]581-A=E

      3
      384
      9

      67
      9
      3

      45


      17
      6
      5
      1582

      8
      183
      2

      47

      68
      7

      24


      123
      9

      138


      13
      5

      46

      1 2 3
      4 5 7
      6 8 9
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Schreibweise: (1:6)3 - (2:6)5 - (2:7)8 - (1:7)3 [- (1:6)!3]

      Das folgende Beispiel zeigt eine Einfache Widerspruchs-Kette, die direkt in der Ausgangszelle endet:


      1349
      5 2
      12[5]91-A=E

      13


      248

      24568

      468

      7

      1358

      13589

      134
      1
      152
      6

      7
      5
      4583
      9


      18
      2

      38
      7
      8
      9
      295

      1
      2
      254
      3

      4

      56

      569

      2

      39

      34

      6
      1
      7


      89

      458

      58
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Annahme: Kandidat 5 in Zeile 1 und Spalte 2, das führt zu einer 1 in der Zeile darunter. Damit muss in Zeile 2 und Spalte 5 die 5 stehen, also die 2 in der Zeile darunter. Damit bleibt für das Paar in Zeile 3 und Spalte 3 nur noch der Kandidat 9 übrig, was zu dem Kandidaten 2 in der Ausgangszelle führt. Das ist aber ein Widerspruch.

      Schreibweise: (1:2)5 - (2:2)1 - (2:5)5 - (3:5)2 - (3:3)9 - (1:2)2 [- (1:2)!5]

      Beispiel einer Setzenden Widerspruchs-Kette:


      269
      5

      2689

      7
      7892
      1
      3

      4

      269
      !7 7
      [6]7[9]1-A=E
      4
      344
      1

      289

      6

      279
      8
      24893


      29
      5
      3
      3795

      34
      7

      269

      5

      29

      249

      1
      8

      369


      269
      3

      269

      1
      5

      269

      8
      7
      4
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Es wird in Zeile 1 und Spalte 9 angenommen, dass dort keine 7 stehen kann. Dann muss die 7 in der gleichen Zeile in Spalte 4 stehen, was die 8 dieser Box nur noch in Zeile 2 und Spalte 6 zulässt. Das bedeutet weiter, dass die 4 dieser Zeile in Spalte 1 stehen muss, woraus aber folgt, dass in dieser Zeile die 3 nur in Spalte 9 sein kann. Das heißt aber, dass der Kandidat 7 nun in der Ausgangszelle stehen muss (Box!). Das ist ein Widerspruch zu der ursprünglichen Annahme, die also falsch ist. Die 7 muss also in Zeile 1 und Spalte 9 stehen. Also können die anderen Kandidaten der Startzelle, also 6 und 9, gestrichen werden.

      Schreibweise: (1:9)!7 - (1:4)7 - (2:6)8 - (2:1)4 - (2:9)3 - (1:9)7

      Beispiel einer Geschlossenen Folgerungs-Kette:

      1 1
      135671

      [1]2567

      236


      4567[9]
      !9
      2593

      3467


      467
      8
      9
      192
      4

      12567

      26


      5679
      8

      679


      19

      256
      3

      3567
      8
      9

      1

      235

      346


      467

      256

      457

      3
      13[6][9]5

      1469
      7


      569
      9
      3[5]94
      8

      2

      56

      45

      38

      246

      2368


      567

      35
      1


      3467
      9

      457
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Man nimmt an, in Zeile 1 und Spalte 1 ist der Kandidat 1 gesetzt. Das führt zu einer 9 in Spalte 9 dieser Zeile und dann dazu, das in Zeile 1 und Spalte 5 keine 9 stehen kann. Die 9 dieser Spalte muss dann in der Zeile 4 stehen (andere Werte in dieser Spalte entsprechend unterstellt). Damit muss die 3 der Zeile 4 in Spalte 1 stehen, was zu einer 1 in der Startzelle führt (andere Werte in dieser Spalte entsprechend unterstellt). Das ist also kein Widerspruch.

      Hier können nun 5 Kandidaten gestrichen werden: Ist auf dem Weg eine Zelle in beiden Richtungen mit einer starken Verbindung (strong link, Zeichen "=") mit unterschiedlichen Kandidaten verbunden, kann man die restlichen Kandidaten in dieser Zelle streichen: Hier wird die Zelle in Zeile 4 und Spalte 5 mit dem Kandidaten 9 stark erreicht und geht stark weiter mit Kandidat 3 (Teilweg: (1:5)... = (4:5)9 = (4:1)3), also kann die 5 gestrichen werden. Ähnlich wird die Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 mit dem Kandidaten 3 stark erreicht und geht stark weiter mit Kandidat 1 (Teilweg: (4:5)... = (4:1)3 = (1:1)1), also können die Kandidaten 6 und 9 gestrichen werden. Wird eine Zelle mit einer schwachen Verbindung (weak link, Zeichen "-") verlassen, kann dieser Kandidat aus den anderen (nicht betrachteten) Zellen der entsprechenden Zeile bzw. Spalte bzw. Box (in Richtung des Links) gestrichen werden (Teilwege: (1:1)1 - (1:9)... mit Streichung der 1 in Zeile 1, und (1:9)9 - (1:5)... mit Streichung der 9 ebenfalls in Zeile 1). Die Begründung für dieses Vorgehen folgt aus der Betrachtung der Umkehrung der Folgerungs-Kette; siehe auch die angegebene Literatur.

      Schreibweise: (1:1)1 - (1:9)9 - (1:5)!9 = (4:5)9 = (4:1)3 = (1:1)1 oder z.B.: (4:1)3 = (1:1)1 - (1:9)9 - (1:5)!9 = (4:5)9 = (4:1)3
      Umkehrung: (1:1)!1 = (4:1)1 = (4:5)3 = (1:5)9 - (1:9)1 - (1:1)!1 oder z.B.: (4:1)1 = (4:5)3 = (1:5)9 - (1:9)1 - (1:1)!1 = (4:1)1

      Umkehrung der Geschlossenen Folgerungs-Kette:

      !1
      135671

      [1]2567

      236


      4567[9]
      9
      2594

      3467


      467
      8
      1
      195
      4

      12567

      26


      5679
      8

      679


      19

      256
      3

      3567
      8
      9

      1

      235

      346


      467

      256

      457

      1
      13[6][9]2

      1469
      7


      569
      3
      3[5]93
      8

      2

      56

      45

      38

      246

      2368


      567

      35
      1


      3467
      9

      457
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Man sieht, dass die Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 entweder 3 oder 1 sein muss, und die Zelle in Zeile 4 und Spalte 5 entweder 9 oder 3 sein muss; also können die jeweils anderen Kandidaten gestrichen werden. Weiter sieht man, dass die Kandidaten 1 und 9 in Zeile 1 entweder in Spalte 1 und 9 oder aber in Spalte 9 und 5 stehen müssen; also können diese Kandidaten aus den nicht betrachteten Zellen der Zeile 1 gestrichen werden.

       
      Setzende Alternativ-Ketten


      17

      1238

      3678


      247
      5

      246


      1267

      278
      9
      4

      125

      67±1-A


      279
      8

      269


      1267

      257
      3

      57

      2568-2
      9

      1

      27
      3

      4

      6[7]-3+4-E

      58

      9

      56
      4

      8
      1
      7

      3

      256

      25
      2

      358

      378+2


      345
      6

      45

      9

      4578+3
      1
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Startet man mit dem Kandidaten 6 in Zeile 2 und Spalte 3, kann in Zeile 3 und Spalte 2 keine 6 stehen; daher kann die 6 dieser Zeile nur in Spalte 8 stehen. Startet man andererseits in Zeile 2 und Spalte 3 mit der 7, kann diese in Zeile 5 und Spalte 3 nicht stehen, muss also in Zeile 5 und Spalte 8 sein; daraus folgt, dass in Zeile 3 und Spalte 8 keine 7, also ebenfalls eine 6 stehen muss. Damit folgt aus beiden Alternativ-Ketten, dass in Zeile 5 und Spalte 8 der Kandidat 6 gesetzt werden kann.

      Schreibweise: (2:3)6 - (3:2)!6 - (3:8)6 (mit den negativen Indizes markiert)   und   (2:3)7 - (5:3)!7 - (5:8)7 - (3:8)6 (mit den positiven Indizes markiert)

       
      Reduzierende Alternativ-Ketten


      89-4+4-E
      4
      5

      2
      7

      38


      389-3
      1
      6
      3

      128

      128

      6
      9
      5


      28
      4
      7

      269
      7

      26


      34

      48
      1

      5

      29

      38


      128+3
      6

      178+2

      5
      3

      24


      19-2

      7[9]±1-A

      14
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Geht man von dem Kandidaten 9 in Zeile 4 und Spalte 8 aus, gibt es zwei unterschiedliche Ketten: Wegen der 9 dort muss links davon eine 1 stehen, damit muss die 9 darüber in Zeile 1 stehen (entsprechende Fortsetzung der anderen Zellen dieser Spalte unterstellt), was dann zu einer 8 in Zeile 1 und Spalte 1 führt. Andererseits folgt auch aus der 9 in Zeile 4 und Spalte 8, dass in der Zeile 4 und Spalte 3 eine 7 stehen muss, und damit eine 8 in der ersten Spalte links davon, das aber jetzt zu einer 9 in Zeile 1 und Spalte 1 führt. Das ist ein Widerspruch, weswegen man den Ausgangskandidaten 9 streichen kann.

      Schreibweise: (4:8)9 - (4:7)1 - (1:7)9 - (1:1)8 (mit den negativen Indizes markiert)   und   (4:8)9 - (4:3)7 - (4:1)8 - (1:1)9 (mit den positiven Indizes markiert)

       
      Das folgende Beispiel zeigt keine Widerspruchs-Kette im oben definierten Sinn, obwohl es Programme gibt, die damit arbeiten (dann z.B. Generalized Forcing Chain genannt) - es ist eher ein Bowman's Bingo:

      7
      2796
      4
      2
      2788-E


      2679

      269

      169

      3
      5

      168
      3

      189
      8
      787


      45679

      4569

      1569

      2

      68

      1678
      2
      2571-A
      5
      1252
      6


      27
      3
      8

      1
      173
      4
      9

      9
      2795
      3
      5


      24689

      2469

      269

      7
      47894
      1

      2478
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Man nimmt an, der Kandidat 2 in Zeile 3 und Spalte 1 wäre richtig. Dann muss die 5 daneben in Spalte 2 liegen und danach der Kandidat 1 in Spalte 7. Die 7 in der Zeile darunter kann auch noch aus den Anfangsbedingungen geschlossen werden (entsprechende Fortsetzung der anderen Zellen dieser Spalte unterstellt). Dass aber daraufhin der Kandidat 9 in Zeile 4 und Spalte 1 stehen muss, lässt sich nur dann ableiten, wenn man auch davon ausgeht, dass am Anfang in der gleichen Spalte die 2 als Ausgangskandidat gesetzt wurde, somit für die Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 nur noch die 9 übrig bleibt. Dies folgt aber nicht aus den Anfangsbedingungen. Das gleiche gilt für den nachfolgenden Schluss, dass in Zeile 1 und Spalte 1 eine 7 stehen muss (2 und 9 sind in dieser Spalte schon vergeben). Der nachfolgende Schritt, die 8 in Zeile 2 und Spalte 3, ist wieder richtig geschlossen, aber die dem Ausgangspunkt widersprechende 2 in Zeile 1 und Spalte 3 ist ebenfalls nicht aus dem Schritt "Zeile 2 und Spalte 1 = 8", sondern nur mit dem vorhergehenden Schritt zusammen schließbar.

       
      Beispiel für einen einfach zu findenden Widerspruch mit Bowman's Bingo:

      2
      232

      124

      15


      347

      1457
      9

      6
      8
      7
      273
      7

      12456

      1356


      3456
      8

      14


      12359

      12349

      239
      9

      14568

      13568

      2

      14567

      147


      1357

      1347
      ?
      37

      1

      269

      369

      8

      269
      5

      4
      7
      236794
      3
      236795
      3
      2381
      7

      3689


      46

      12469

      124


      2389
      5

      3689
      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Man setzt Zahl 3 in Zeile 4 und Spalte 1, damit dann Zahl 2 in Zeile 1 und Spalte 1, und folglich Zahl 7 in Zeile 1 und Spalte 9, daraufhin Zahl 7 in Zeile 4 und Spalte 8, und damit Zahl 3 in Zeile 4 und Spalte 9 (wie immer die fehlenden Zeilen entsprechend gesetzt). Dann folgt: "Kein Kandidat übrig in Zeile 3 und Spalte 9". Man sieht hier, dass es sinnvoll sein kann, bei einer Zelle mit vielen Kandidaten zu starten, von der aus auch eine Zelle mit nur 2 Kandidaten sichtbar ist.

       
      Dieses Beispiel zeigt ebenfalls keine Widerspruchs-Kette im oben definierten Sinn - aber mittels Bowman's Bingo auch einen einfach zu findenden Widerspruch:

      2
      295
      5
      25793
      8

      6
      4
      9
      392

      7
      2374
      1
      3
      2571
      6
      ?
      25
      1

      8

      235
      7

      4

      23
      9
      4

      2579
      3


      259

      25
      1

      8
      6

      257

      ... ... ...
      ... ... ...
      ... ... ...

      Man nimmt hier an, der Kandidat 3 in Zeile 1 und Spalte 9 wäre richtig. Dann muss in Spalte 6 die 9 sein. Ebenso folgt, dass der Kandidat 5 in dieser Zeile in Spalte 2 stehen muss, da die andere 5 durch das Setzen des Ausgangskandidaten 3 nicht mehr in Spalte 9 stehen kann. Darauf folgt das Setzen der (letzten) 7 in Spalte 7 und der 2 in Spalte 1. Damit bleibt für die Zelle in Zeile 2 und Spalte 2 kein Kandidat übrig, was aber ein Widerspruch ist. Dieses Beispiel zeigt ebenso, dass es sinnvoll sein kann, mit einem Kandidaten anzufangen, der viele Streichungen in den von dort aus sichtbaren Zellen ermöglicht.

      Beispiele mit Widerspruchs-Ketten

     


     

    Sehr einfache (leichte) und sehr schwierige (schwere) Standard-Sudokus

    Die Punktzahlen sind so einigermaßen den Schwierigkeitsgraden angepasst. Sie hängen aber auch, jedenfalls beim nicht-synchronen Ausdünnen, von der Reihenfolge im Programm ab - so ergibt eine andere Reihenfolge im Suchen von Mustern in den Resten etwas andere Werte. Im nicht-synchronen Fall wird nur der gefundene Ausdünnschritt mit der kleinsten Punktzahl gewertet, wobei noch Extra-Punkte hinzukommen, wenn es wenig Alternativen zu diesem Schritt gab. Im synchronen Fall werden aber alle Ausdünnschritte mitgezählt, egal, ob sie am Ende etwas bringen oder nicht. Aber das weiß man ja auch beim Lösen mit Hand vorher nicht...

    Im Folgenden wird mit "Normiert: x Punkte" die auf 17 Ausgangszahlen umgerechnete Punktzahl angegeben (Differenz je 1/2 Punkt), damit Sudokus mit unterschiedlichen Anzahlen der Ausgangszahlen überhaupt verglichen werden können.

    Es werden folgende Schwierigkeitsgrade angegeben (Prozentzahlen aus etwa 800000 Sudokus):

    1. "Hyper einfach": Punktzahl bis 7.5 - mit 15 %
    2. "Extrem einfach": Punktzahl bis 15 - mit 32 %
    3. "Sehr einfach": Punktzahl bis 30 - mit 17 %
    4. "Noch einfach": Punktzahl bis 60 - mit 12 %
    5. "Etwas schwierig": Punktzahl bis 120 - mit 12 %
    6. "Recht schwierig": Punktzahl bis 240 - mit 9 %
    7. "Sehr schwierig": Punktzahl bis 480 - mit 2 %
    8. "Extrem schwierig": Punktzahl bis 960 und darüber - mit 0.05 %

    Hier einige der wohl einfachsten und schwierigsten Sudokus, die mit diesem Programm gelöst werden können - alle im pseudo-synchronen Verfahren (mit Option 2001) gerechnet, wobei im Allgemeinen bis zu 50 Extra-Punkte gefunden wurden (Sortierung nach dem Normiert-Wert):

    Ohne Ausdünnen und ohne offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel:

    Ohne Ausdünnen mit offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel:

    Mit Ausdünnen (aber ohne Widerspruchs-Ketten):

    Mit Ausdünnen und mit Widerspruchs-Ketten:

    Extrem schwierige Sudokus mit Trial&Error-Schritten:

    Literatur (Allgemeine Lösungsstrategien)

    Ältere Programm-Neuigkeiten



    Neustart



    Ausgewählte (alte: von 2012) Standard-Sudoku-Beispiele

    Sinnvollere Beispiele unter:

    ===> Diagonal-Sudoku Print <===   Webseite zum Anzeigen und Drucken von jeweils 4 neu zufällig ausgewählten Diagonal-Sudokus eines angebbaren Schwierigkeitsgrades - jetzt mit neuer Optik und der Möglichkeit, ein Sudoku über dessen Nummer nachträglich online rechnen zu lassen - damit auch als Beispiel-Sammlung benutzbar


    ===> Standard-Sudoku Solver <===

    ===> Farb-Sudoku Solver <===

    ===> Farbdiagonal-Sudoku <===


    Als Beispiel für eine Mobil-Version (für Smartphone, Tablet u.s.w.):

    ===> Diagonal-Sudoku - Mobil-Version <===



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