Kein Zusammenhang Anzahl Ausgangszahlen und Schwierigkeit eines Sudokus

Auch: Zur Schwierigkeit/Bewertung eines Sudokus

Stand: 5. Mai 2020   -   Ingolf Giese   -   Letzte Änderung: 9. Mai 2025

Absolut FALSCH ist die oft benutzte Aussage, dass ein Sudoku mit wenigen Ausgangszahlen schwieriger ist als ein Sudoku mit vielen Ausgangszahlen. Viele Zeitungen, Zeitschriften und Bücher, die Sudokus anbieten, gehen von dieser unsinnigen Annahme aus, oft z.B. bei 33-36 Ausgangszahlen mit der Bezeichnung "einfach" oder "leicht", 29-32 Ausgangszahlen mit der Bezeichnung "mittel" und 25-28 Ausgangszahlen mit der Bezeichnung "schwer". Aber es gibt sehr viele Sudokus mit 50 oder mehr Ausgangszahlen, die wirklich schwierig sind. Natürlich sind Sudokus mit 64 oder mehr gegebenen Zahlen im Allgemeinen leicht lösbar.

Fast alle Sudokus aus dem Kapitel "Sehr einfache (leichte) und sehr schwierige (schwere) Standard-Sudokus" haben 17 bis 28 Ausgangszahlen, die wirklich schwierigen haben oft 23 bis 25 Ausgangszahlen.

Es kommt also nur auf die spezielle Verteilung der gegebenen Zahlen an, ob ein Sudoku leicht oder schwierig ist. Das kann man aber einem Sudoku nicht ansehen.

Eines der wenigen bekannten Programme, bei denen die Schwierigkeit eines Sudokus bestimmt wird, ist der "Sudoku Explainer von Nicolas Juillerat" von 2006/2007. Er gibt eine Punktzahl für den Lösungsschritt mit der maximalen Schwierigkeit aus - zwischen 1.0 (Hidden Single) und 11.9 (Contradiction Forcing oder Region Forcing).

Einen ganz anderen Ansatz zeigt die Software "Standard-Sudoku Solver". Hier wird jeder Lösungsschritt bewertet, und die Summe aller dieser Einzelbewertungen (Punkte) ergibt eine Gesamtzahl, die als "Schwierigkeit" bezeichnet wird - mit 0 bis etwa 1000 Punkten (bei der Option 2001 oder NUR BEWERTUNG und bei 17 bis 32 Ausgangszahlen). Denn ein Sudoku mit vielen recht schwierigen Lösungsschritten ist bestimmt schwieriger als eines mit nur einem maximalen Schwierigkeitsgrad. Bei diesem Programm werden Zusatzpunkte addiert, wenn nach den ersten einfachen Lösungsschritten die Kandidatenlisten erstellt werden müssen. Natürlich gibt es keine absolute Regel, bei welchem Schritt-Typ (z.B.: Einzige Position einer Zahl, Einzelzahl-Kette, Ausschluss-Rechteck oder Widerspruchs-Kette) wieviel Punkte zur Bewertung genommen werden sollten (im Bereich von 0 bis 36 Punkten), aber es ist eine Sache der Erfahrung - und letztlich auch des Geschmacks. Nach jahrelangen Überlegungen und Sudoku-Lösungen wurde hier ein sehr fein abgestuftes System erarbeitet - Einzelheiten siehe "Punktevergabe".

Zusätzlich zu der Punkte-Summe wird auch die Wurzel aller Punkte zum Quadrat (Euklidische Norm) ausgegeben; das ist als Kompromiss zur einfachen Maximum-Bewertung zu verstehen, die aber auch angegeben wird (mit den meisten Maximum-Werten zwischen 17 und 19, selten über 30).

Beispiele verschiedener Sudoku-Arten bei gleichen Ausgangszahlen, aber sehr unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden:

Standard-Sudokus mit interessanten Beispielen:

Sehr einfach lösbar mit 10 Punkten bei 20 Ausgangszahlen: 100008000400000007000600023000001080070004000030000006800000010000700040560300000
Extrem schwierig lösbar mit 776 Punkten bei ebenfalls 20 Ausgangszahlen: 001600000080009200300000040600300010000000000090005008040000005007100060000008900

Sehr einfach lösbar mit 3 Punkten bei 23 Ausgangszahlen: 070000804000010005000543000003000617020000000000060000800004000205807000040000260
Extrem schwierig lösbar mit 956 Punkten bei ebenfalls 23 Ausgangszahlen: 080010020600500900000008000060080010700100400005002006020040090300700500000009000

Extrem einfach lösbar mit 3 Punkten bei 31 Ausgangszahlen: 000300000009800075000600980070000000090082041128007069060700804000290100003040027
Extrem schwierig lösbar mit 608 Punkten bei ebenfalls 31 Ausgangszahlen: 040007062008600000006400190100290040000178250020040001002000610000004520500700080

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 34 Ausgangszahlen: 000000000009007308780900020903000100840173500610208730108052093000001050200000810
Sehr schwierig lösbar mit 456 Punkten bei ebenfalls 34 Ausgangszahlen: 081020030260305080000008002057002060802070001040000270320900050070200014010050820

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 38 Ausgangszahlen: 027605940459070862000000000004309600803000709006807400000000000632040598081906230
Sehr schwierig lösbar mit 344 Punkten bei ebenfalls 38 Ausgangszahlen: 100200035203510400090034000007000053021370040830000107300400070002093004410758302

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 43 Ausgangszahlen: 070200090200000600018060040083452100751090000602871030000916354069024807034785009
Recht schwierig lösbar mit 279 Punkten bei ebenfalls 43 Ausgangszahlen: 000768000007932400300451009001879200000613000863245917010580090030197000900320105

Auch bei Diagonal-Sudokus gibt es interessante Beispiele mit sehr unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden:

Sehr einfach lösbar mit 9 Punkten bei 19 Ausgangszahlen: 850002300000000080070000000000040003000500010000070006201080000000006020400001000
Extrem schwierig lösbar mit 524 Punkten bei ebenfalls 19 Ausgangszahlen: 000000040500008010000000000090070500820000300007000020002000600060009000781000000

Sehr einfach lösbar mit 5 Punkten bei 20 Ausgangszahlen: 500904000000005080073000006000020000000306000018000900032000000000000091009200000
Extrem schwierig lösbar mit 543 Punkten bei ebenfalls 20 Ausgangszahlen: 006000070000005000002000000700046090800000000460000000013500000047208000090070000

Sehr einfach lösbar mit 1 Punkt bei 23 Ausgangszahlen: 006003000430000070090000100000480000500700000000900000008000257059040000010807009
Extrem schwierig lösbar mit 488 Punkten bei ebenfalls 23 Ausgangszahlen: 000000841000004093000000050040000008080000070001003500008061700000092080000008002

Extrem einfach lösbar mit 1 Punkt bei 27 Ausgangszahlen: 000000000000072690060000000103090807820000100076050004000000000300001275050830406
Sehr schwierig lösbar mit 208 Punkten bei ebenfalls 27 Ausgangszahlen: 000000100000000000900000836008020009500000268094600310000004003426080790070006000

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 39 Ausgangszahlen: 003250700075384921002100500060000002009700800300920070904671305130590467700000000
Recht schwierig lösbar mit 319 Punkten bei ebenfalls 39 Ausgangszahlen: 947003200235700040600542739870030000590000307300970000703004000400000073169387000

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 42 Ausgangszahlen: 607009003830704010201008006012030700406091008080607100350406091029080607760902800
Recht schwierig lösbar mit 242 Punkten bei ebenfalls 42 Ausgangszahlen: 007000025020405070500027009619542738752030000348070502270010053090703280000200007

Und auch bei Farb-Sudokus gibt es interessante Beispiele:

Extrem einfach lösbar mit 1 Punkt bei 23 Ausgangszahlen: 590010080006000009010700203000000800040200000030000000960300000080050000002849000
Sehr schwierig lösbar mit 454 Punkten bei ebenfalls 23 Ausgangszahlen: 000000100000960002004000006308500001050080700000003000900040000007010090000009617

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 27 Ausgangszahlen: 020000034085003090040009060000000200019020000802004001000000000030001007006705423
Recht schwierig lösbar mit 212 Punkten bei ebenfalls 27 Ausgangszahlen: 000600000046000920500004610000000170600010000000000000283009541004052000060043700

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 29 Ausgangszahlen: 800305400650104072001060508500601089400200300006000004100000200009000000080000007
Recht schwierig lösbar mit 168 Punkten bei ebenfalls 29 Ausgangszahlen: 710000520000003000000009080100932000060000030034000005300271008002000301401308002

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 31 Ausgangszahlen: 000600170596740080200000904962000003000000000380496000750380200823960000000000000
Recht schwierig lösbar mit 151 Punkten bei ebenfalls 31 Ausgangszahlen: 710000520020003000040029080100932000060000030034000005300271008002000301401308000

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 35 Ausgangszahlen: 020900500105230849090700300700005008000400601506000000801372096960500003200040080
Etwas schwierig lösbar mit 100 Punkten bei ebenfalls 35 Ausgangszahlen: 500071000200005001001000005000750100010000758057010004605027010100503027720190540

Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 38 Ausgangszahlen: 003006089456789120000100000200060000061007200897200000000640978640978002978000600
Etwas schwierig lösbar mit 64 Punkten bei ebenfalls 38 Ausgangszahlen: 000032409430769000920045603000983000000276194069514000090300000000600940000490350

Analyse der Sudokus mit 17 Ausgangszahlen, gesammelt von Gordon Royle:

Das Problem der Schwierigkeits-Beurteilung sieht man am besten an den sehr zahlreichen und ausführlich untersuchten Sudokus mit nur 17 Ausgangszahlen (dem Minimum) - von denen oft behauptet wird, dass sie sehr schwierig sind: 44.5 % der 49158 Sudokus mit 17 Ausgangszahlen sind mit den sehr einfachen direkten Methoden lösbar; rechnet man zu den einfachen Methoden auch die offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und offensichtlichen 2-Tupel/Doppel hinzu, sind sogar über vier Fünftel (82.4 %) einfach - also ohne Ausdünnen - lösbar! Nur etwa 0.1 % sind mit diesem Programm bisher nicht lösbar und etwa 17.5 % sind mit bis zu 32 Ausdünnschritten lösbar (von denen auch nur 1.0 % mehr als 120 Punkte haben, also wirklich schwierig sind)!

Man sieht auch, dass bei den meisten Sudokus mit wenigen Ausgangszahlen wenigstens einige Zahlen schnell gefunden werden können, ehe man ins Stocken kommt - und dann fängt die Schwierigkeit an, also erst bei einer höheren Anzahl von noch nicht gefundenen Zahlen. Bei allen wirklich schwierigen Sudokus mit 17 Ausgangszahlen mit mehr als 120 Punkten (500 Sudokus) gibt es bei 82 % der Sudokus mindestens 6 einfache Schritte, ehe überhaupt der Ausdünnvorgang (bei dann zwischen 28 und 50 Zahlen) begonnen werden muss.

Einige - sehr unterschiedlich schwierige - Beispiele bei 17 Ausgangszahlen (bei Standard-Sudokus):

Ohne Ausdünnen lösbar (bei ca. 80 % der 17er-Sudokus):
Super einfach lösbar (9 Punkte): 000000001000002000003000045000006050000070000280000000000800200009040000100000760
Sehr einfach lösbar (11 Punkte): 000000000000000012000003004000000050004010000006007300000604800010020009050000000
Einfach lösbar (23 Punkte): 000000000000000012003045000000003006000700000040000500000100000006200078305000000
Schon etwas schwieriger lösbar (32 Punkte): 000000001000000002003004000000001350060000400700080000000060907000800000205000000
Auch schon schwieriger lösbar (44 Punkte): 000000001000002000003000040000030000005460000010000708000500060020000000180007000

Mit Ausdünnen lösbar (bei ca. 19 % der 17er-Sudokus):
Lösbar in 11 Ausdünnschritten (149 Punkte): 000000000000000012003045000000001460007000000020080000000030500210700000600000000
Lösbar in 24 Ausdünnschritten (253 Punkte): 000000001000000020003045000000003400000006000120000007008000500500000600700100000
Lösbar in 23 Ausdünnschritten (261 Punkte): 000000000000001002034000050000000006000050300007042000000630800109000000200000000
Lösbar in 32 Ausdünnschritten (400 Punkte): 000000001000000023004005000000000060000007500120030000000120008000400000076000000
Lösbar in 30 Ausdünnschritten (425 Punkte): 000000000001002003040050060000000007000000102080400000000060080007000000203001000

Bisher ungelöst bei 17 Ausgangszahlen ohne einem Ausdünnschritt in etwa 1 sec (bis dahin 45 Punkte), hier nur mit Trial&Error lösbar: 000000000000001002003004050000010000000020030065000400000300000070006001200000008
Ebenso ungelöst nach 24 Ausdünnschritten (bis dahin 378 Punkte), hier nur mit Trial&Error lösbar: 000000001000002003004056000000000260070000000810300000000170000006000050040000000

Umgekehrt gibt es viele Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die gar nicht so einfach lösbar sind. Hier ein paar Beispiele:

Etwas schwierig lösbar bei 48 Ausgangszahlen in 15 Ausdünnschritten (130 Punkte): 000001043040300012103245607000674301310020764764103200076430120421000030830012476
Etwas schwierig lösbar bei 52 (!) Ausgangszahlen in 17 Ausdünnschritten (191 Punkte): 754000230198237654623405070417000062582674000936021047245100700069702400071040020
Etwas schwierig lösbar bei 55 (!!) Ausgangszahlen in 15 Ausdünnschritten (138 Punkte): 003716004040895360060243000618954003732168459594372816300681040006429030400537600
Auch etwas schwierig lösbar bei 58 Ausgangszahlen in 8 Ausdünnschritten (59 Punkte): 950140328023090001001230900639851274572964183184723569000019032290380410310472090
Noch einfach lösbar bei 61 Ausgangszahlen in 4 Ausdünnschritten (38 Punkte): 206051043045036012103204600309105426014602030062043100638519274951427368427368591
Einfach lösbar bei 64 Ausgangszahlen in 2 Ausdünnschritten (19 Punkte): 245816397103024658068503412804007520057082940021405873009248165516009284482651739

Und es gibt Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die mit diesem Programm nur mit der Methode Bowman's Bingo gelöst werden. Hier ein paar Beispiele:
Gelöst mit 43 Ausgangszahlen und 266 Punkten: 008240730230087000700390028000032405593470280402050003600023007320710000017064302
Gelöst mit 48 Ausgangszahlen und 263 Punkten: 104296030200734000000158240041063572002071400706425310400382000020617004010549023
Gelöst mit 55 Ausgangszahlen und 94 Punkten: 501023004400501032023046159012305406000402501045019023000158247184237965257004318

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