Absolut FALSCH ist die oft benutzte Aussage, dass ein Sudoku mit wenigen Ausgangszahlen schwieriger ist als ein Sudoku mit vielen Ausgangszahlen. Viele Zeitungen, Zeitschriften und Bücher, die Sudokus anbieten, gehen von dieser unsinnigen Annahme aus, oft z.B. bei 33-36 Ausgangszahlen mit der Bezeichnung "einfach" oder "leicht", 29-32 Ausgangszahlen mit der Bezeichnung "mittel" und 25-28 Ausgangszahlen mit der Bezeichnung "schwer". Aber es gibt sehr viele Sudokus mit 50 oder mehr Ausgangszahlen, die wirklich schwierig sind. Natürlich sind Sudokus mit 64 oder mehr gegebenen Zahlen im Allgemeinen leicht lösbar.
Alle 25 Sudokus aus dem Kapitel "Sehr einfache (leichte) und sehr schwierige (schwere) Standard-Sudokus" haben 17 bis 27 Ausgangszahlen, die wirklich schwierigen haben 23 bis 25 Ausgangszahlen.
Es kommt also nur auf die spezielle Verteilung der gegebenen Zahlen an, ob ein Sudoku leicht oder schwierig ist. Das kann man aber einem Sudoku nicht ansehen.
Eines der wenigen bekannten Programme, bei denen die Schwierigkeit eines Sudokus bestimmt wird, ist der "Sudoku Explainer von Nicolas Juillerat" von 2006/2007. Er gibt eine Punktzahl für den Lösungsschritt mit der maximalen Schwierigkeit aus - zwischen 1.0 (Hidden Single) und 11.9 (Contradiction Forcing oder Region Forcing).
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Einen ganz anderen Ansatz zeigt die Software "Standard-Sudoku Solver". Hier wird jeder Lösungsschritt bewertet, und die Summe aller dieser Einzelbewertungen (Punkte) ergibt eine Gesamtzahl, die als "Schwierigkeit" bezeichnet wird - mit 4.5 bis zu fast 1000 Punkten (bei der Option 2001 oder NUR BEWERTUNG und bei 17 bis 32 Ausgangszahlen). Denn ein Sudoku mit vielen recht schwierigen Lösungsschritten ist bestimmt schwieriger als eines mit nur einem maximalen Schwierigkeitsgrad. Bei diesem Programm werden in bestimmten Fällen auch Zusatzpunkte addiert oder subtrahiert, wenn es sehr wenige oder sehr viele mögliche Lösungsschritte gibt, und wenn nach den ersten einfachen Lösungsschritten die Kandidatenlisten erstellt werden müssen. Natürlich gibt es keine absolute Regel, bei welchem Schritt-Typ (z.B.: Einzige Position einer Zahl, Einzelzahl-Kette, Ausschluss-Rechteck oder Widerspruchs-Kette) wieviel Punkte zur Bewertung genommen werden sollten (im Bereich von 0 bis 36 Punkten), aber es ist eine Sache der Erfahrung - und letztlich auch des Geschmacks. Nach jahrelangen Überlegungen und Sudoku-Lösungen wurde hier ein sehr fein abgestuftes System erarbeitet - Einzelheiten siehe "Anhang".
Zusätzlich zu der Punkte-Summe wird auch die Wurzel aller Punkte zum Quadrat (Euklidische Norm) ausgegeben; das ist als Kompromiss zur einfachen Maximum-Bewertung zu verstehen, die aber auch angegeben wird (mit den meisten Maximum-Werten zwischen 17 und 19, selten über 30).
Sehr einfach lösbar mit 17 Punkten bei 20 Ausgangszahlen: 100008000400000007000600023000001080070004000030000006800000010000700040560300000
Extrem schwierig lösbar mit 775 Punkten bei ebenfalls 20 Ausgangszahlen: 001600000080009200300000040600300010000000000090005008040000005007100060000008900
Sehr einfach lösbar mit 9 Punkten bei 23 Ausgangszahlen: 070000804000010005000543000003000617020000000000060000800004000205807000040000260
Extrem schwierig lösbar mit 988 Punkten bei ebenfalls 23 Ausgangszahlen: 080010020600500900000008000060080010700100400005002006020040090300700500000009000
Extrem einfach lösbar mit 5 Punkten bei 31 Ausgangszahlen: 000300000009800075000600980070000000090082041128007069060700804000290100003040027
Extrem schwierig lösbar mit 724 Punkten bei ebenfalls 31 Ausgangszahlen: 040007062008600000006400190100290040000178250020040001002000610000004520500700080
Extrem einfach lösbar mit 3.5 Punkten bei 34 Ausgangszahlen: 000000000009007308780900020903000100840173500610208730108052093000001050200000810
Sehr schwierig lösbar mit 474 Punkten bei ebenfalls 34 Ausgangszahlen: 081020030260305080000008002057002060802070001040000270320900050070200014010050820
Extrem einfach lösbar mit 2.5 Punkten bei 38 Ausgangszahlen: 027605940459070862000000000004309600803000709006807400000000000632040598081906230
Sehr schwierig lösbar mit 365 Punkten bei ebenfalls 38 Ausgangszahlen: 100200035203510400090034000007000053021370040830000107300400070002093004410758302
Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 43 Ausgangszahlen: 070200090200000600018060040083452100751090000602871030000916354069024807034785009
Recht schwierig lösbar mit 284 Punkten bei ebenfalls 43 Ausgangszahlen: 000768000007932400300451009001879200000613000863245917010580090030197000900320105
Sehr einfach lösbar mit 13.5 Punkten bei 19 Ausgangszahlen: 850002300000000080070000000000040003000500010000070006201080000000006020400001000
Extrem schwierig lösbar mit 676 Punkten bei ebenfalls 19 Ausgangszahlen: 000000040500008010000000000090070500820000300007000020002000600060009000781000000
Sehr einfach lösbar mit 11 Punkten bei 20 Ausgangszahlen: 500904000000005080073000006000020000000306000018000900032000000000000091009200000
Extrem schwierig lösbar mit 813 Punkten bei ebenfalls 20 Ausgangszahlen: 006000070000005000002000000700046090800000000460000000013500000047208000090070000
Sehr einfach lösbar mit 8 Punkten bei 23 Ausgangszahlen: 006003000430000070090000100000480000500700000000900000008000257059040000010807009
Extrem schwierig lösbar mit 599 Punkten bei ebenfalls 23 Ausgangszahlen: 000000841000004093000000050040000008080000070001003500008061700000092080000008002
Extrem einfach lösbar mit 5 Punkten bei 27 Ausgangszahlen: 000000000000072690060000000103090807820000100076050004000000000300001275050830406
Sehr schwierig lösbar mit 417.5 Punkten bei ebenfalls 27 Ausgangszahlen: 000000100000000000900000836008020009500000268094600310000004003426080790070006000
Extrem einfach lösbar mit 1 Punkt bei 39 Ausgangszahlen: 003250700075384921002100500060000002009700800300920070904671305130590467700000000
Recht schwierig lösbar mit 346 Punkten bei ebenfalls 39 Ausgangszahlen: 947003200235700040600542739870030000590000307300970000703004000400000073169387000
Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 42 Ausgangszahlen: 607009003830704010201008006012030700406091008080607100350406091029080607760902800
Recht schwierig lösbar mit 297 Punkten bei ebenfalls 42 Ausgangszahlen: 007000025020405070500027009619542738752030000348070502270010053090703280000200007
Extrem einfach lösbar mit 6.5 Punkten bei 23 Ausgangszahlen: 590010080006000009010700203000000800040200000030000000960300000080050000002849000
Sehr schwierig lösbar mit 511 Punkten bei ebenfalls 23 Ausgangszahlen: 000000100000960002004000006308500001050080700000003000900040000007010090000009617
Extrem einfach lösbar mit 4 Punkten bei 27 Ausgangszahlen: 020000034085003090040009060000000200019020000802004001000000000030001007006705423
Recht schwierig lösbar mit 248.5 Punkten bei ebenfalls 27 Ausgangszahlen: 000600000046000920500004610000000170600010000000000000283009541004052000060043700
Extrem einfach lösbar mit 3.5 Punkten bei 29 Ausgangszahlen: 800305400650104072001060508500601089400200300006000004100000200009000000080000007
Recht schwierig lösbar mit 176 Punkten bei ebenfalls 29 Ausgangszahlen: 710000520000003000000009080100932000060000030034000005300271008002000301401308002
Extrem einfach lösbar mit 3.5 Punkten bei 31 Ausgangszahlen: 000600170596740080200000904962000003000000000380496000750380200823960000000000000
Recht schwierig lösbar mit 159 Punkten bei ebenfalls 31 Ausgangszahlen: 710000520020003000040029080100932000060000030034000005300271008002000301401308000
Extrem einfach lösbar mit 1.5 Punkten bei 35 Ausgangszahlen: 020900500105230849090700300700005008000400601506000000801372096960500003200040080
Etwas schwierig lösbar mit 110 Punkten bei ebenfalls 35 Ausgangszahlen: 500071000200005001001000005000750100010000758057010004605027010100503027720190540
Extrem einfach lösbar mit 0 Punkten bei 38 Ausgangszahlen: 003006089456789120000100000200060000061007200897200000000640978640978002978000600
Etwas schwierig lösbar mit 85 Punkten bei ebenfalls 38 Ausgangszahlen: 000032409430769000920045603000983000000276194069514000090300000000600940000490350
Das Problem der Schwierigkeits-Beurteilung sieht man am besten an den sehr zahlreichen und ausführlich untersuchten Sudokus mit nur 17 Ausgangszahlen (dem Minimum) - von denen i.A. behauptet wird, dass sie sehr schwierig sind: Etwa 33 % der vorliegenden etwa 57000 Sudokus mit 17 Ausgangszahlen sind mit den sehr einfachen direkten Methoden lösbar; rechnet man zu den einfachen Methoden auch die offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und offensichtlichen 2-Tupel/Doppel hinzu, sind sogar über vier Fünftel (80 %) einfach - also ohne Ausdünnen - lösbar! Nur etwa 0.5 % sind mit diesem Programm bisher nicht lösbar und etwa 19 % mit bis zu 30 Ausdünnschritten lösbar (von denen auch nur knapp 0.2 % mehr als 240 Punkte haben, also wirklich schwierig sind)!
Man sieht auch, dass bei den meisten Sudokus mit wenigen Ausgangszahlen wenigstens einige Zahlen schnell gefunden werden können, ehe man ins Stocken kommt - und dann fängt die Schwierigkeit an, also erst bei einer höheren Anzahl von Zahlen. Bei allen hier vorhandenen wirklich schwierigen Sudokus mit mindestens 240 Punkten (knapp 17000) gibt es bei 75 % der Sudokus mindestens 6 einfache Schritte, ehe überhaupt der Ausdünnvorgang (bei dann zwischen 28 und 50 Zahlen) begonnen werden muss.
Ohne Ausdünnen lösbar (bei ca. 80 % der 17er-Sudokus):
Sehr einfach lösbar (22 Punkte): 000000000000000012000003004000000050004010000006007300000604800010020009050000000
Einfach lösbar (40.5 Punkte): 000000000000000012003045000000003006000700000040000500000100000006200078305000000
Schon etwas schwieriger lösbar (62 Punkte): 000000001000000002003004000000001350060000400700080000000060907000800000205000000
Relativ schwierig lösbar (90.5 Punkte): 000000001000002000003000040000030000005460000010000708000500060020000000180007000
Mit Ausdünnen lösbar (bei ca. 19 % der 17er-Sudokus):
Lösbar in 11 Ausdünnschritten (168 Punkte): 000000000000000012003045000000001460007000000020080000000030500210700000600000000
Lösbar in 23 Ausdünnschritten (287 Punkte): 000000000000001002034000050000000006000050300007042000000630800109000000200000000
Lösbar in 28 Ausdünnschritten (399 Punkte): 000000001000000023004005000000000060000007500120030000000120008000400000076000000
Lösbar in 28 Ausdünnschritten (438 Punkte): 000000000001002003040050060000000007000000102080400000000060080007000000203001000
Bisher ungelöst bei 17 Ausgangszahlen ohne einem Ausdünnschritt in etwa 1 sec (bis dahin 68 Punkte): 000000000000001002003004050000010000000020030065000400000300000070006001200000008
Immer noch ungelöst nach 12 Ausdünnschritten und etwa 6 sec (bis dahin 203 Punkte): 000000001000000020003045000000003400000006000120000007008000500500000600700100000
Immer noch ungelöst nach 22 Ausdünnschritten und etwa 12 sec (bis dahin 353 Punkte): 000000001000002003004056000000000260070000000810300000000170000006000050040000000
Umgekehrt gibt es viele Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die gar nicht so einfach lösbar sind. Hier ein paar Beispiele:
Etwas schwierig lösbar bei 48 Ausgangszahlen in 13 Ausdünnschritten (168 Punkte): 000001043040300012103245607000674301310020764764103200076430120421000030830012476
Etwas schwierig lösbar bei 52 (!) Ausgangszahlen in 17 Ausdünnschritten (188 Punkte): 754000230198237654623405070417000062582674000936021047245100700069702400071040020
Etwas schwierig lösbar bei 55 (!!) Ausgangszahlen in 15 Ausdünnschritten (147 Punkte): 003716004040895360060243000618954003732168459594372816300681040006429030400537600
Einfacher lösbar bei 58 Ausgangszahlen in 5 Ausdünnschritten (45 Punkte): 950140328023090001001230900639851274572964183184723569000019032290380410310472090
Einfacher lösbar bei 64 Ausgangszahlen in 2 Ausdünnschritten (23 Punkte): 245816397103024658068503412804007520057082940021405873009248165516009284482651739
Und es gibt viele Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die mit diesem Programm nicht lösbar sind, außer mit den Methoden Bowman's Bingo und Trial&Error. Hier ein paar Beispiele:
Bisher ungelöst bei 43 Ausgangszahlen nach 14 Ausdünnschritten (bis dahin 194 Punkte): 008240730230087000700390028000032405593470280402050003600023007320710000017064302
Bisher ungelöst bei 48 Ausgangszahlen nach nur 5 Ausdünnschritten (bis dahin 88 Punkte): 104296030200734000000158240041063572002071400706425310400382000020617004010549023
Bisher ungelöst bei 55 Ausgangszahlen nach nur 1 Ausdünnschritt (bis dahin 36 Punkte): 501023004400501032023046159012305406000402501045019023000158247184237965257004318
Bisher ungelöst bei 61 Ausgangszahlen nach nur 2 Ausdünnschritten (bis dahin 43 Punkte): 206051043045036012103204600309105426014602030062043100638519274951427368427368591
Einzige Position einer Zahl (A) | |
---|---|
A1/A2: 0 bis 2 Punkte (bei 1-2, 3-4, 5-9 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten, A3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-2, 3-9 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Boxen | |
Einzig mögliche Zahl (B) | |
B0: 3 bis 5 Punkte (bei 1-4, 5-8, 9-12 noch fehlenden Zahlen) | |
Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test (C) | |
C1/C2: 1 bis 2 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen abzgl. Anzahl Begründungen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Begründungen belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, C3: 1 Punkt innerhalb Boxen; plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen | |
C0 (Einzig mögliche Zahl): 3 bis 7 Punkte (bei 1-4, 5-8, 9-12, 13-16, 17-20 noch fehlenden Zahlen abzgl. Anzahl Begründungen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Begründungen belegten Zellen); plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen | |
C7 (Zahl am Kreuzungspunkt): 6 bis 10 Punkte (bei 1-5, 6-8, 9-11, 12-14, 15-17 noch fehlenden Zahlen in der jeweiligen Zeile und Spalte) | |
Offensichtliche 2-Tupel (Doppel) (D) | |
D1/D2: 2 bis 3 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen abzgl. 2 * Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, D3: 2 Punkte innerhalb Boxen; plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel | |
D0 (Einzig mögliche Zahl): 3 bis 6 Punkte (bei 1-5, 6-10, 11-15, 16-20 noch fehlenden Zahlen abzgl. 2 * Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen); plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel | |
D7 (2 Paare von offensichtlichen 2-Tupeln in einer einzigen Zelle): 5 Punkte | |
D8 (2 Paare von offensichtlichen 2-Tupeln in drei Ecken eines Ausschluss-Rechtecks): 5 Punkte | |
Ausdünnung mit einem alleine auftretendem Kandidaten (E) | |
E1/E2/E3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-3, 4-9 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten/Boxen | |
Ausdünnung mit einem einzig möglichen Kandidaten (einstelliger Rest) (F) | |
F0: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-9 noch fehlenden Zahlen) |
Stufe | Methode | Punkte |
---|---|---|
Bei Stufe 2 (Einfache Bestimmung) mit 2-5 Punkten | ||
2-Tupel | 2 | |
Zeilen-/Spalten-Tests | 3 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 1, 2, 5A-5B | 4 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 5 | |
Dazu bei Stufe 3 (Mittlere Bestimmung) mit 5-8 Punkten | ||
3-Tupel | 5 | |
Versteckte 2-Tupel | 8 | |
3er-Goldene Ketten | 6 | |
4er-Goldene Ketten | 7 | |
5er-Goldene Ketten | 8 | |
XYZ-Wing | 7 | |
2*2-Einzelzahl-Gitter (4er-Einzelzahl-Ketten als X-Wings) | 7 | |
4er-Einzelzahl-Ketten | 8 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 8 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 4A-4C | 7 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 8 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 1, 2, 5A-5B | 7 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 8 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 1, 2, 5A-5C | 7 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 8 | |
Dazu bei Stufe 4 (Hohe Bestimmung) mit 8-11 Punkten | ||
4-Tupel | 8 | |
Versteckte 3-Tupel | 11 | |
6er-Goldene Ketten | 9 | |
7er-Goldene Ketten | 10 | |
8er-Goldene Ketten | 11 | |
WXYZ-Wing | 10 | |
Erweiterter WXYZ-Wing | 11 | |
3*3-Einzelzahl-Gitter (Swordfish) | 10 | |
6er-Einzelzahl-Ketten | 11 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 3C (Quasi-4-Tupel) | 11 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B | 9 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B | 11 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 10 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 11 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 4A-4C | 10 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 11 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 11 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 4A-4C | 10 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 11 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 1 Zusatzzahl Typ 1, 2, 5A-5C | 10 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 1 Zusatzzahl Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 11 | |
8er-Ausschluss-Schleifen Typ 1, 2, 5A-5D | 10 | |
8er-Ausschluss-Schleifen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 11 | |
Dazu bei Stufe 5 (Komplexe Bestimmung) mit 11-14 Punkten | ||
5-Tupel | 11 | |
9er-Goldene Ketten | 12 | |
10er-Goldene Ketten | 13 | |
11er-Goldene Ketten | 14 | |
4*4-Einzelzahl-Gitter (Jellyfish) | 13 | |
8er-Einzelzahl-Ketten | 14 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 3D (Quasi-5-Tupel) | 14 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 12 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 14 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B | 13 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 4A-4C | 12 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 4A-4C | 14 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 13 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 13 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3C (Quasi-4-Tupel) | 14 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 3C (Quasi-4-Tupel) | 14 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 2 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5C | 12 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 3 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B | 14 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 2 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 13 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 1 Zusatzzahl Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 14 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 1 Zusatzzahl Typ 4A-4C | 13 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 1 Zusatzzahl Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 14 | |
8er-Ausschluss-Schleifen Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 14 | |
8er-Ausschluss-Schleifen Typ 4A-4C | 13 | |
8er-Ausschluss-Schleifen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 14 | |
10er-Ausschluss-Schleifen Typ 1, 2, 5A-5E | 13 | |
10er-Ausschluss-Schleifen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 14 | |
Dazu bei Stufe 6 (Weitestgehende Bestimmung) mit 14-17 Punkten | ||
6-Tupel (theoretisch) | 14 | |
12er-Goldene Ketten | 15 | |
13er-Goldene Ketten | 16 | |
14er-Goldene Ketten | 17 | |
10er-Einzelzahl-Ketten | 17 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 3E (Quasi-6-Tupel) | 17 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 15 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 17 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 3C (Quasi-4-Tupel) | 16 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3D (Quasi-5-Tupel) | 17 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 15 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 4A-4C | 16 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 17 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 3D (Quasi-5-Tupel) | 17 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 3 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 15 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 4 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 17 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 4 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B | 16 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 2 Zusatzzahlen Typ 4A-4C | 15 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 2 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 16 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 2 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 16 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 1 Zusatzzahl Typ 3C (Quasi-4-Tupel) | 17 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 3 Zusatzzahlen Typ 4A-4C | 17 | |
8er-Ausschluss-Schleifen Typ 3C (Quasi-4-Tupel) | 17 | |
10er-Ausschluss-Schleifen Typ 4A-4C | 16 | |
10er-Ausschluss-Schleifen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 17 | |
10er-Ausschluss-Schleifen Typ 3B (Quasi-3-Tupel) | 17 | |
12er-Ausschluss-Schleifen Typ 1, 2, 5A-5E | 16 | |
12er-Ausschluss-Schleifen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 17 | |
Dazu bei Stufe 7 (Allerweitestgehende Bestimmung) mit 17 bis 36 bzw. 72 Punkten | ||
7-Tupel (theoretisch) | 17 | |
12er- und 14er-Einzelzahl-Ketten | 20 bis 23 | |
Ausschluss-Rechtecke Typ 3F (Quasi-7-Tupel) | 20 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3E-3F (Quasi-6-7-Tupel) | 20 bis 23 | |
Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2-4 Zusatzzahlen Typ 3C-3F (Quasi-4-7-Tupel) | 19 bis 29 | |
6er-Ausschluss-Schleifen Typ 3E-3F (Quasi-6-7-Tupel) | 20 bis 23 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 5-6 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel) | 19 bis 21 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 5-6 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5E | 18 bis 20 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 1 Zusatzzahl Typ 3D-3F (Quasi-5-7-Tupel) | 20 bis 26 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 2-6 Zusatzzahlen Typ 3B-3F (Quasi-3-7-Tupel) | 16 bis 36 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 4-6 Zusatzzahlen Typ 4A-4C | 19 bis 23 | |
6er-Quasi-Ausschluss-Schleifen bei 3-6 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 18 bis 24 | |
8er-Ausschluss-Schleifen Typ 3D-3F (Quasi-5-7-Tupel) | 20 bis 26 | |
10er-Ausschluss-Schleifen Typ 3C-3F (Quasi-4-7-Tupel) | 20 bis 29 | |
12er-Ausschluss-Schleifen Typ 3B-3F (Quasi-3-7-Tupel) | 20 bis 32 | |
12er-Ausschluss-Schleifen Typ 4A-4C | 19 | |
12er-Ausschluss-Schleifen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C | 20 | |
14er-Ausschluss-Schleifen alle Typen | 19 bis 35 | |
Alle Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten bis Länge 14 | 17 bis 31 | |
Bowman's Bingo | 72 | |
Trial&Error | N mal 72 |