Rechts ein typisches Beispiel für ein Standard-Sudoku mit 25 Ausgangszahlen (die meisten Sudokus haben zwischen 24 und 27 Ausgangszahlen); die oft benutzte Symmetrie ist nicht notwendig und nur ein optisches Merkmal:
Das Standard-Sudoku besteht aus einem quadratischen Gitterfeld mit drei Einheiten: 9 Zeilen, 9 Spalten und 9 Boxen (jede Box in 3×3 Felder unterteilt), insgesamt also 81 Felder. In einige dieser Felder sind schon zu Beginn Zahlen des Bereichs 1 bis 9 eingetragen (Ausgangszahlen oder Vorgaben). Die Aufgabe besteht darin, die leeren Felder des Rätsels so zu füllen, dass in jeder der Zeilen, Spalten und Boxen jede Zahl des Bereiches 1 bis 9 genau einmal vorkommt.
Drei waagrechte oder senkrechte Boxen heißen Blöcke. Bei einem Sudoku können sowohl alle Blöcke als auch die Zeilen bzw. Spalten eines Zeilen- bzw. Spaltenblocks beliebig vertauscht werden; außerdem können auch die Zahlen permutiert werden. Die dabei entstehenden Sudokus sind gleichartig und von gleicher Schwierigkeit.
Während des Lösungsprozesses stehen in jedem Feld oft mehrere den Regeln konforme Zahlen als Kandidaten zur Verfügung, die man notiert und dann schrittweise eliminiert ("Ausdünnen"). Da jede Lösungszahl immer den drei Einheiten zugleich angehört, bewirkt sie in diesen direkte Ausschlüsse. Solche Sperren entstehen zusätzlich durch logische Schlüsse aus besonderen Anordnungen von Kandidaten, z.B. bei zwei gleichen Paaren (2-Tupel).
Rechts ein typisches Beispiel für ein Standard-Sudoku mit 25 Ausgangszahlen (die meisten Sudokus haben zwischen 24 und 27 Ausgangszahlen); die oft benutzte Symmetrie ist nicht notwendig und nur ein optisches Merkmal:
Im linken Bild ist das Ausgangs-Sudoku dargestellt. Im rechten Bild sieht man den Stand nach 12 Lösungsschritten, bei denen mit den einfachen Methoden "Einzige Position einer Zahl" (grün markiert) und "Einzige Zahl an einer Position" (blau markiert) 12 Zahlen ohne aufwändiges Eintragen von Kandidaten bestimmt werden können.
Man sieht schnell, dass in Zeile 1 die "9" nur in Spalte 9 gesetzt werden kann, da im oberen Block eine "9" schon in den Zeilen 2 und 3 vorkommt ("Einzige Position einer Zahl in einem Block"). Gleiches gilt für die "1" in Zeile 7 und Spalte 6, da dort im mittleren senkrechten Block wegen der "1" in den Spalten 4 und 5 keine andere Stelle frei ist.
Nur etwas schwieriger ist zu sehen, dass in Zeile 4 die "5" nur in Spalte 4 gesetzt werden kann, da in allen anderen Spalten die "5" schon an anderen Stellen gesetzt ist ("Einzige Position einer Zahl in einer Zeile bzw. Spalte").
Mehr Aufwand benötigt man, um die "9" in Zeile 9 und Spalte 5 zu setzen, weil man von dort alle anderen Zahlen sehen kann ("Einzige Zahl an einer Position"). Danach gilt das auch für die "6" links von der gerade gesetzten "9".
Sind alle einfachen Methoden ausgeschöpft, ist es notwendig, dass alle möglichen Kandidaten in allen noch freien Feldern eingetragen werden. Das können manchmal insgesamt 300 oder mehr Kandidaten sein.[15][17][23][24][25]
Danach muss man die Anzahl der Kandidaten schrittweise verkleinern - das sogenannte Ausdünnen. Dazu gibt es weit über 40 bekannte Methoden mit oft vielen Untertypen. Hier werden die ausschlaggebenden Kandidaten rot markiert, die daraufhin streichbaren Kandidaten werden in blau und in eckigen Klammern dargestellt.
Die einfachsten und auch häufigsten Ausdünn-Methoden sind der Zeilen-/Spalten-Test und der Box-Test (meistens über 20 % Anteil).
Zeilen-/Spalten-Test (innerhalb einer Box): Kommt innerhalb einer Zeile bzw. Spalte einer Box ein Kandidat nur in diesen Feldern vor, kann man diesen Kandidaten aus den anderen Feldern dieser Zeile bzw. Spalte außerhalb der betrachteten Box streichen.
Beispiel: Die "8" kommt in der mittleren Box nur in Spalte 5 vor, nicht in Spalte 4 und 6. Also kann die "8" in allen Feldern der Spalte 5 außerhalb dieser Box gestrichen werden.
Box-Test (in einer Zeile oder Spalte): Kommt ein Kandidat innerhalb einer Zeile bzw. Spalte nur genau in einer Box vor, muss diese Zahl also innerhalb dieser Box in der gefundenen Zeile bzw. Spalte stehen. Daher kann der Kandidat aus den anderen Zeilen bzw. Spalten innerhalb dieser Box gestrichen werden.
Beispiel: Die "7" kommt in Zeile 3 nur in der rechten oberen Box vor; d.h. sie muss in dieser Box in der 3. Zeile sein, weshalb in allen anderen Feldern dieser Box die "7" gestrichen werden kann (hier 5 Mal !).
Hier sieht man in Spalte 7 auch schon das 3-Tupel (Tripel) "567" mit möglichen Streichungen in den Zeilen 1 und 2 dieser Spalte (siehe nachfolgende Erklärungen zu N-Tupeln).
Auch sehr häufig sind die direkten oder versteckten N-Tupel. Zu jedem gefundenen N-Tupel gehört ein verstecktes M-Tupel, das aber meistens seltener zu erkennen ist. Die Kandidaten des N-Tupels können dann aus den anderen Feldern gestrichen werden.
2-Tupel oder Doppel: In 2 Feldern einer Einheit kommen genau 2 gleiche Kandidaten vor. Hier kommen die beiden Zahlen "7" und "9" in der 2. Zeile in zwei Feldern alleine vor; damit können beide Zahlen in den anderen Feldern dieser Zeile gestrichen werden. Schwieriger zu erkennen ist hier gleichzeitig das verstecktes Doppel, wobei die beiden Zahlen "4" und "6" nur in 2 Feldern der 2. Zeile neben anderen Kandidaten vorkommen, weshalb die anderen Kandidaten dieser beiden Feldern gestrichen werden können (in diesem Beispiel sind das die gleichen Kandidaten wie beim direkten 2-Tupel).
3-Tupel oder Tripel: In der der mittleren Box des oberen Blocks sieht man 3 Felder, in denen insgesamt nur die Zahlen "5", "7" und "9" vorkommen. Diese Zahlen können damit in den anderen Feldern dieser Box gestrichen werden.
Seltener sind 4-Tupel (Quadrupel), und noch seltener 5-Tupel (Pentupel). 6-Tupel (Sextupel) sind immer verknüpft mit einem versteckten 2-Tupel oder mit einem versteckten 3-Tupel, 7-Tupel (Septupel) mit einem versteckten 2-Tupel.
Entferntes Doppel im Block: Die bei SudokuWiki ziemlich neu beschriebene Methode findet man auch recht häufig. Dabei kommen in 2 verschiedenen Zeilen oder Spalten eines Blocks zwei Felder mit genau 2 gleichen Kandidaten vor. Hier liegen im mittleren senkrechten Block in der 4. und 6. Spalte zwei Felder mit den Kandidaten "59" vor. Da in der 5. Spalte in der nicht betrachteten (unteren) Box nur die "5" vorkommt, kann sie in allen von den beiden Ausgangsfeldern aus gesehen Feldern gestrichen werden, also hier in Spalte 4 der oberen Box und in Spalte 6 der mittleren Box.
Falls in der nicht betrachteten Box (und Zeile bzw. Spalte) keiner der beiden Kandidaten vorkommt, kann man noch mehr streichen, und zwar beide Kandidaten in den Feldern der beiden Ausgangsboxen, die nicht in der Zeile bzw. Spalte mit den "Nicht-Kandidaten" liegen (das wäre hier die Spalte 5).
Die 3. häufigste Gruppe der einfachen Ausdünn-Methoden ist die der Goldenen Ketten oder XY-Ketten.
Hier bilden Felder mit jeweils zwei Kandidaten eine Kette, wenn einer der Kandidaten auch Kandidat des nachfolgenden Kettenglieds ist. Wenn die Zahl des ersten Feldes, die nicht im zweiten Feld vorkommt mit der Zahl des letzten Feldes, die nicht im vorletzten Feld vorkommt, übereinstimmt, dann kann man alle Kandidaten streichen, die sowohl von dem ersten als auch dem letzten Paar aus "gesehen" werden, also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen.
Hier sind das die Felder mit den Kandidaten "57" - "78" - "81" - "14" - "49" - "95", wobei die "5" am Anfang und am Ende vorkommt. Hier können alle vom Anfangsglied und Endglied aus gesehenen Kandidaten "5" gestrichen werden.
Falls sich die beiden Enden sehen, liegt eine Geschlossenen Goldene Kette vor, bei der von jedem Glied der Kette aus Kandidaten gelöscht werden können, was zu sehr vielen Streichungen führen kann.
Eine Goldene Kette der Länge 2 ist identisch mit einem 2-Tupel (Doppel).
XYZ- oder WXYZ-Wing: Eine Erweiterung der Goldenen Kette der Länge 3 ist der XYZ-Wing, bei dem das mittlere Feld 3 Kandidaten besitzt. Man kann diese Methode auch als ein 3-Tupel (Tripel) mit einem Knick auffassen. Eine Verallgemeinerung des XYZ-Wings ist der WXYZ-Wing, bei dem 4 Felder insgesamt 4 verschiedene Kandidaten besitzen. Man kann diese Methode auch als ein 4-Tupel (Quadrupel) mit einem Knick auffassen.
Beim Erweiterten WXYZ-Wing müssen sich 3 der 4 Kandidaten alle gegenseitig sehen, während ein Kandidat in einem Feld, hier die "7", eine der anderen "7" eines der Felder, hier in Zeile 4 und Spalte 8, nicht sieht. Dann können die "7" in allen anderen Feldern, die von den "7" des Erweiterten WXYZ-Wings sichtbar sind, gestrichen werden (Römische Ziffern als Indizes).
Ähnlich häufig findet man Einzelzahl-Ketten bzw. -Gitter, wobei ein Kandidat der verbindende der Kette bzw. des Gitters ist.
Bei einem Einzelzahl-Gitter gibt 2, 3 oder 4 Zeilen und Spalten, in denen dieser Kandidat vorhanden ist, aber entweder in allen diesen Zeilen oder allen diesen Spalten nicht in anderen Feldern vorkommt. Hier sieht man in den drei Zeilen 6, 7 und 9 und in den drei Spalten 2, 5 und 7 das Einzelzahl-Gitter mit der verbindenden Zahl "3". In allen 3 Spalten ist die "3" aber nur in den betrachteten Feldern vorhanden. Daher können alle Kandidaten "3" in den drei Zeilen des Gitters außerhalb der Gitterfelder gestrichen werden, hier 5 Streichungen. Gleichzeitig gibt es auch ein 3*3-Zeilen-Einzelzahl-Gitter in den Zeilen 3, 5 und 8 mit den Spalten 1, 3 und 4.
Eine Einzelzahl-Kette ist ähnlich wie eine Goldene Kette aufgebaut, aber hier mit nur einem verbindenden Kandidaten. Man sieht für eine bestimmte Zahl in den Kandidaten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt. Hat man mehrere solcher sogenannten starken Verbindungen gefunden, lassen sich diese eventuell so zu einer Einzelzahl-Kette verbinden, dass jeweils ein Anfang oder Ende in der gleichen Zeile, Spalte oder Box wie eine andere starke Verbindung liegen. Wenn sowohl vom Anfang als auch vom Ende dieser Kette ein oder mehrere Felder "gesehen" werden, kann die bestimmte Zahl aus diesen Feldern gestrichen werden. In wenigen Fällen findet man auch eine Geschlossene Einzelzahl-Kette mit mehr Streichungen.
Eine Sonderform ist dabei die Einzelzahl-Widerspruchs-Kette. Hier sieht man ebenfalls für eine bestimmte Zahl in den Kandidaten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal oder auch mehr als zwei Mal vorkommt. Hat man mehrere solcher Fälle gefunden, lassen sich diese eventuell zu einer Kette verbinden. Nach einer schwachen Verbindung muss aber direkt eine starke Verbindung folgen. Dann nimmt man an, dass im ersten Glied und den anderen ungeraden Stellen der Kette die Zahl gesetzt ist, in den anderen aber nicht. Das führt dann oft zu Widersprüchen, etwa dass in einer Zeile, Spalte oder Box keine solche Zahl mehr auftreten kann oder diese Zahl mehr als einmal auftritt, weshalb daher die Zahl in allen ungeraden Kettengliedern ab der ersten bis vor der ersten schwachen Verbindung gestrichen werden kann.
Hier nimmt man an, dass die "1" in Zeile 4 und Spalte 5 gesetzt ist. Dann kann sie nicht in Zeile 4 und Spalte 1 gesetzt sein, muss also in Zeile 5 und Spalte 1 sein (Römische Ziffern als Indizes). Das ist aber ein Widerspruch, denn damit ist überall in Spalte 6 keine "1" möglich. Also kann die anfangs angenommene "1" gestrichen werden. Manchmal ist eine Einzelzahl-Widerspruchs-Kette auch gleichzeitig eine Einzelzahl-Kette, wobei noch mehr Kandidaten gestrichen werden können.
Wichtige Ausdünn-Methoden sind noch die Ausschluss-Rechtecke und Ausschluss-Ketten.
Ausschluss-Rechtecke: Hier betrachtet man 4 Felder, die in 2 Zeilen, 2 Spalten und in 2 Boxen liegen und dort neben anderen immer die zwei gleichen Hauptkandidaten haben. Da ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss, kann man dann bestimmte andere Kandidaten streichen. Bei dieser Methode gibt es etwa 20 Typen, von denen hier die 3 wichtigsten dargestellt werden.
Ausschluss-Rechteck Typ 1: Hier liegen in Zeile 1 und Zeile 8, Spalte 4 und Spalte 5, Box oben Mitte und Box unten Mitte 4 Felder, in denen "35" vorkommt, aber in der ersten dieser Felder auch noch die Kandidaten "4", "7" und "9". Wäre im ersten Feld eine "3" oder eine "5", ist das Sudoku mehrdeutig. Also können dort die "3" und die "5" gestrichen werden.
Ausschluss-Rechteck Typ 4A: Dabei haben zwei der Ausschluss-Rechteck-Felder zusätzliche Kandidaten, hier in Zeile 1 und Zeile 4, Spalte 7 und Spalte 9, rechte obere Box und rechte mittlere Box (Römische Ziffern als Indizes). Zwei Felder haben nur die Hauptkandidaten "19", die Felder in Spalte 7 haben aber noch "4", "7" und "8". In Zeile 4 ist aber die "9" nur in den beiden Ausschluss-Rechteck-Feldern vorhanden. Daher muss der andere Kandidat "1" im Feld in Zeile 1 mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden.
Ausschluss-Rechteck Typ 7B: Hier haben drei der Ausschluss-Rechteck-Felder zusätzliche Kandidaten, hier in Zeile 1 und Zeile 2, Spalte 2 und Spalte 8, linke obere Box und rechte obere Box (Großbuchstaben als Indizes). Wenn einer der beiden Hauptkandidaten, hier die "2", nur in den vier Feldern des Ausschluss-Rechtecks vorkommt, kann der andere Hauptkandidat, hier "1", im Feld, die dem Ausschluss-Rechteck-Feld mit nur den zwei Hauptkandidaten gegenüber liegt, gestrichen werden.
Quasi-Ausschluss-Rechtecke: Dies sind unvollständige Ausschluss-Rechtecke, z.B. wenn schon einige Felder eindeutig besetzt wurden, die aber temporär wieder eingesetzt werden, um ein Ausschluss-Verfahren zu ermöglichen.
Weitergehend gibt es auch Ausschluss-Ketten (und Quasi-Ausschluss-Ketten). Dabei betrachtet man 2*N Felder, die in N Zeilen, N Spalten und in N Boxen liegen und dort neben anderen immer die zwei gleichen Hauptkandidaten haben. Bis zu 10er-Ausschluss-Ketten (N = 5) wurden schon beobachtet.
Wenn man mit den oben erwähnten relativ einfachen Ausdünn-Methoden nicht weiter kommt, helfen eventuell auch allgemeine Widerspruchs-Ketten (man nimmt an, dass ein Kandidat gesetzt ist oder nicht gesetzt ist, und versucht dann durch Schlussfolgerungen, einen Widerspruch zu erzeugen) oder Alternativ-Ketten, bei denen man von einem Feld aus mit einem der Kandidaten über zwei Wege zu einem Zielfeld kommt, dort aber unterschiedliche Ergebnisse erzeugt oder von beiden Kandidaten im Anfangsfeld zu genau einem Kandidaten im Zielfeld kommt.[15]. Bei sehr schwierigen Sudokus wird man noch kompliziertere Ausdünn-Methoden von Exocet bis hin zu Bowman's Bingo anwenden müssen.[17]