Standard-Sudoku Solver

Auflistung aller Einzelschritte inklusive genauer Erklärungen und Punkte-Bewertung - mit Goldenen Ketten inkl. (W)XYZ-Wing, Einzelzahl-Gitter, Einzelzahl-Ketten und Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten, Ausschluss-Ketten, Widerspruchs-Ketten, Folgerungs-Ketten und Alternativ-Ketten

Standard-Sudoku,   Stand: 25. Januar 2025   Alternative: Version ohne Bowman's Bingo;   Vorhergehende Version (Oktober 2024 mit Extra-Punkten)   Ingolf Giese

===> Farb-Sudoku Solver <===

===> Diagonal-Sudoku/X-Sudoku Solver <===

===> Farbdiagonal-Sudoku <===

Als Beispiel für eine Mobil-Version (für Smartphone, Tablet u.s.w.):

===> Standard-Sudoku - Mobil-Version <===

===> Standard-Sudoku Print <===   Webseite zum Anzeigen und Drucken von jeweils 4 neu zufällig ausgewählten Standard-Sudokus eines angebbaren Schwierigkeitsgrades - jetzt mit neuer Optik und der Möglichkeit, ein Sudoku über dessen Nummer nachträglich online rechnen zu lassen - damit auch als Beispiel-Sammlung benutzbar

NEU: Sudoku Online: Statt Bleistift und Radiergummi (jetzt auch mit Buchstaben statt Zahlen) - Alle auch als Mobil-Version vorhanden:

===> Online-Standard-Sudoku <===

===> Online-Farb-Sudoku <===

===> Online-Diagonal-Sudoku <===

===> Online-Farbdiagonal-Sudoku <===

Inhalts-/Stichwort-Verzeichnis

1. Prinzipen zur Lösung von Sudokus
2. Punktevergabe und Reihenfolge der Abarbeitung/Ermittlung für alle Ausdünnmethoden
3. Programm-Neuigkeiten                                                                                           <===
4. Falsche Annahme: Wenig Ausgangszahlen = Hohe Schwierigkeit                        <===
5. Direkte Sudoku-Lösungsmethoden
   1. Einzige Position einer Zahl (Hidden Single)
   2. Einzig mögliche Zahl (Naked Single)
   3. Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test (Direct Pointing)
   4. Offensichtliche 2-Tupel (Doppel) (Direct Hidden Pair)
   5. Ausdünnung mit einem alleine auftretendem Kandidaten
   6. Ausdünnung mit einem einzig möglichen Kandidaten (einstelliger Rest)
6. Methoden zur Ausdünnung der Reste (Kandidatenlisten)
   1. Zeilen-/Spalten-Test und Box-Test
      1. Zeilen-/Spalten-Test der Reste innerhalb einer Box (Block/Line Interaction, Pointing)
      2. Box-Test der Reste in einer Zeile oder Spalte (Line/Block Interaction, Claiming)
   2. N-Tupel und Entferntes Doppel
      1. N-Tupel (Naked Pair, Hidden Pair, Naked Triple, Hidden Triple, Naked Quadruple, Hidden Quadruple)
      2. NEU: Entferntes Doppel im Block (Chute Remote Pairs)
   3. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain) inkl. XYZ-Wing und WXYZ-Wing
      1. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain)
      2. XYZ-Wing
      3. WXYZ-Wing
   4. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish), Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain) und Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten
      1. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish)
      2. Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain)
      3. NEU: Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten
   5. Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles) und Ausschluss-Ketten (Unique Loops)
      1. Übersicht Ausschluss-Rechtecke
      2. Ausschluss-Rechtecke
      3. Quasi-Ausschluss-Rechtecke
      4. 6er-Ausschluss-Ketten
      5. 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten
      6. 8er-Ausschluss-Ketten
      7. 10er-, 12er-Ausschluss-Ketten
   6. Widerspruchs-Ketten und -Netze
      1. Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten (Discontinuous und Continuous Nice Loops)
      2. Bowman's Bingo
   7. Letzter Lösungsweg: Trial&Error
   8. Sehr einfache (leichte) und sehr schwierige (schwere) Standard-Sudokus

    

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   Prinzipen zur Lösung von Sudokus

   (Standard-)Sudoku-Grundregel: Es müssen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jeder Box (3x3-Kästchen) alle Zahlen von 1 bis 9 genau einmal vorkommen. Ein Sudoku muss nicht symmetrisch sein - in Zeitungen, Zeitschriften und Rätselheften findet man diese häufig, was aber nur ein hübsches Beiwerk ist. Ein "richtiges" Sudoku sollte auf jeden Fall eindeutig gelöst werden können. Standard-Sudokus müssen mindestens 17 Ausgangszahlen haben, sonst sind sie nicht lösbar (Beweis von 2012, Gary McGuire und Kollegen); interessant sind eigentlich nur Sudokus mit 17 bis maximal 32 oder auch noch bis 40 Ausgangszahlen. Zur Gesamtsumme aller Sudoku-Rätsel siehe "Abschätzung der Gesamtsumme aller eindeutig lösbaren Sudoku-Rätsel". Neben den Standard-Sudokus gibt es zwei natürliche Erweiterungen: Diagonal-Sudokus und Farb-Sudokus (und die selten zu findende Mischform der Farbdiagonal-Sudokus).

   Eine große Zahl der hier bekannten Standard-Sudokus (bisher über 120000 von etwa 1500000 Sudokus - 55000 weitere haben genau 17 Ausgangszahlen und sind damit nicht reduzierbar) wurden mittels Reduzierung analysiert - d.h. es wurden bei jedem Sudoku alle daraus abgeleiteten Sudokus untersucht, denen eine der Ausgangszahlen weggenommen wurde; ist mindestens eines dieser reduzierten Sudokus lösbar, wurde das gleiche Verfahren auf eines dieser Sudokus angewandt, wodurch die Anzahl der notwendigen Ausgangszahlen immer mehr verkleinert wurde, bis kein lösbares Sudoku mehr erzeugt werden konnte (wobei natürlich extrem viele verschiedene Wege durchlaufen werden können). Etwa 12.5 % der untersuchten Sudokus konnten nicht reduziert (also verkleinert) werden, und es waren alle untersuchten Sudokus mit mehr als 33 Ausgangszahlen reduzierbar: Es wurde dabei bisher kein einziges Standard-Sudoku gefunden, das mehr Ausgangszahlen benötigt! Einzelheiten siehe auch unter "Notwendige Ausgangszahlen i.A. nur von 17 bis 31, extrem selten bis 40".

   Beispiel eines der Standard-Sudokus mit 30 notwendigen Ausgangszahlen mit 6 Ausdünnschritten: 000002030200007500400360071078000005004000100100080090000821600002700004017046300

   Beispiel eines der Standard-Sudokus mit 31 notwendigen Ausgangszahlen mit 15 Ausdünnschritten: 008201030200780000007006802901000000406079003070800609009600300000000004014030208

   Beispiel eines der extrem wenigen Standard-Sudokus mit 32 notwendigen Ausgangszahlen mit 11 Ausdünnschritten: 027048060468301070300000000084100600210800009003000000800600590070000000600285730

   Beispiel eines der bisher nur 4 Standard-Sudokus mit 33 notwendigen Ausgangszahlen mit 11 Ausdünnschritten: 020048060468301070300700000084100600216800009000000000830600590070000000609280730

   Beispiel eines der beiden Standard-Sudokus mit 40 notwendigen Ausgangszahlen (siehe Mladen Dobrichev) mit 125 Punkten mit 13 Ausdünnschritten: 000000000012034567034506182001058206008600001020007050003705028080060700207083615

   Es sind auch 34 oder mehr (und inzwischen bis 40) notwendige Ausgangszahlen in Standard-Sudokus möglich - aber es wurden hier bis jetzt bei mehr als 120000 Sudokus nur 15 Sudokus mit 30 notwendigen Ausgangszahlen und nur 2 mit 31 notwendigen Ausgangszahlen gefunden. Die Fragestellung der maximalen notwendigen Anzahl von Ausgangszahlen wurde bisher selten untersucht: Die meisten existierenden Sudokus haben unnötig viele Ausgangszahlen - meist unter der irrigen Ansicht, dass eine kleinere Anzahl ein schwierigeres Sudoku ergibt (ein typischer Irrtum bei allen Sudokus aus vielen Zeitungen und Zeitschriften): Etwa 81 % aller hier bekannten (etwa 57000) Sudokus mit 17 Ausgangszahlen sind einfach lösbar, während von den etwa 110000 Sudokus mit 25 Ausgangszahlen nur etwa 30 % einfach lösbar sind, sie also im Allgemeinen viel schwieriger sind! Außerdem weiß jeder Sudoku-Löser, dass man auch bei einem schwierigen Sudoku oft am Anfang sehr leicht mehrere Zahlen finden kann, ehe es wirklich schwierig wird. Näheres siehe auch unter "Zur Schwierigkeit/Bewertung eines Sudokus" und unter "Analyse der 49158 Sudokus von Gordon Royle mit 17 Ausgangszahlen".

   Die gleichen Reduzierungs-Untersuchungen wie für Standard-Sudokus wurden auch für die hier bekannten etwa 31000 Diagonal-Sudokus und 21000 Farb-Sudokus gemacht. Bei den Diagonal-Sudokus scheint 12 die kleinste Ausgangsanzahl zu sein. Bei den Farb-Sudokus ist sogar 11 (!) die wahrscheinlich kleinste Ausgangsanzahl. Bei allen drei Sudoku-Typen (Standard-, Diagonal-, Farb-Sudoku) waren die Anzahlen der Ausgangszahlen der reduzierten Sudokus recht gut normalverteilt (typische Gaußsche Glockenkurve). Bei Standard-Sudokus lagen alle notwendigen Ausgangszahlen im Bereich 17 bis 30 mit dem Mittelwert 23.9 (woraus der obere Wert aus Symmetriegründen mit 30.8 nahe 31 liegt). Dabei kamen die Ausgangszahlen 23 bis 25 bei jeweils etwa 20 bis 32 % aller reduzierten Sudokus vor, und die Rand-Ausgangszahlen 17 bis 19 und 29 bis 31 lagen weit unter jeweils 1 % der Häufigkeit.
   Bei Diagonal-Sudokus lagen alle Ausgangszahlen der reduzierten Sudokus im (erstaunlich kleinen und schiefen) Bereich 12 bis 22 mit dem Mittelwert 17.9 - woraus man aus Symmetriegründen auch auf ein Diagonal-Sudoku mit maximal notweniger Ausgangszahl von 23 schließen könnte (es wurden aber nur 18 Sudokus mit 22 notwendigen Ausgangszahlen gefunden). Die Ausgangszahlen 17 bis 19 der reduzierten Diagonal-Sudokus bildeten hier jeweils etwa 23, 35 und 24 % aller Fälle, die Rand-Ausgangszahlen 12 bis 14 und 21 bis 22 lagen ebenfalls jeweils weit unter 1 %.
   Bei Farb-Sudokus im (erstaunlich großen und auch schiefen) Bereich 11 bis 27 war der Mittelwert 17.5, dabei hatten die Ausgangszahlen 17 und 18 jeweils etwa 30 bzw. 27 % Häufigkeit; die selten (0.25 %) auftretenden Ausgangszahlen 25 bis 27 fielen (trotz der weit unter 1 % liegenden Häufigkeit) aber doch etwas aus der Normalverteilung heraus.

   Vorgehensweise: Die Zeilen und Spalten werden hier von oben links an mit 1 bis 9 durchnummeriert, die Boxen werden mit OL (oben links), OM (oben Mitte), OR (oben rechts), ML (Mitte links), MM (Mitte Mitte), ..., bis UR (unten rechts) bezeichnet. Die benutzten (direkten) Lösungsmethoden werden oft kurz mit mit A bis F bezeichnet, die zusätzliche Ziffer danach bezeichnet eine Untergruppe, dabei steht z.B. 1 für Zeile oder 3 für Box. Die Abarbeitung geht zeilenweise von links oben bis nach rechts unten und bei den Zahlen von 1 bis 9.
   Neu gefundene Zahlen werden mit ">zahl<" in der Tabelle in verschiedenen Farben (je nach Lösungstyp) ausgegeben. Beim Ausdünnen werden die streichbaren Zahlen mit "[zahl]" in blau dargestellt; die zu dieser Lösung benutzten Zahlen werden rot dargestellt und oft auch mit Indizes versehen.
   Wurden bei einem Sudoku die Ausschluss-Rechteck- bzw. Ausschluss-Ketten-Methoden oder die Trial&Error-Methode benutzt, sollte man die Eindeutigkeit der Lösung überprüfen ("Teste Lösbarkeit vom Original aus"). Ein extremes Beispiel ist das Standard-Sudoku
   050070090400000008000020000003010800000000000009060100000080000200000009060050000.
   Dieses wird in etwa 0.3 Sekunden "gelöst", aber es hat in Wahrheit 14297616 Lösungen mit bis zu 34 Levels (in etwa 5 1/4 Stunden ermittelt) - ist also kein Sudoku, da es nicht eindeutig lösbar ist !!

   Dieses Programm benutzt 6 Lösungsmethoden(-gruppen) mit verschiedener Punkte-Gewichtung, und ebenfalls 6 Gruppen von Analysemethoden(-gruppen) für die Ausdünnung (ebenfalls mit unterschiedlichen Punkten gewichtet). Die Lösungsmethoden zum Auffinden einer einsetzbaren Zahl und die Ausdünnmethoden zum Auffinden eines streichbaren Kandidaten können nicht-synchron oder synchron gerechnet werden. Bei der nicht-synchronen Rechnung wird nach dem ersten gefundenen Auffinden einer Zahl bzw. eines Kandidaten das Ergebnis (mit der geringsten Punktzahl bzw. der maximalen Zahl von Streichungen) ausgegeben, d.h. es hängt stark von der vorgegebenen Reihenfolge der Programmschritte ab, wobei natürlich versucht wurde, eine Reihenfolge zu finden, die der Vorgehensweise eines Menschen angepasst ist. Bei der synchronen Rechnung werden (im Allgemeinen bis zu mit einer Option ausgewählten Komplexität der Methoden) alle gleichzeitig gefundenen Ergebnisse dargestellt (ohne dass diese dabei schon Einfluss auf das Vorgehen haben), was den Vorteil hat, dass man alle Möglichkeiten auf einmal sieht (zur Überprüfung, ob man alle Fälle selbst auch gesehen hat) und auch erkennt, wie viele es davon gibt; allerdings liegt die Punkte-Bewertung im synchronen Fall oft um einiges höher als im nicht-synchronen Fall, weil viele der gefundenen Lösungsschritte bzw. Ausdünnschritte eventuell gar nicht zur Bestimmung des Sudokus notwendig sind. Die Punkte-Bewertung ist also abhängig von der gewählten Lösungs-Strategie (siehe Dokumentation). Wurden im nicht-synchronen Fall eine oder mehrere Zahlen eingesetzt bzw. ein oder mehrere Kandidaten gestrichen bzw. wurden im synchronen Fall alle gefundenen Zahlen eingesetzt bzw. alle gefundenen Kandidaten gestrichen, beginnt die weitere Abarbeitung wieder mit der einfachsten Methode. Für die allgemeine Bewertung eines Sudokus sollte daher i.A. die halb-synchrone Version (z.B. Option 2000) oder die pseudo-synchrone Version (z.B. Option 2001) benutzt werden.

   Bei der Lösung und der Bewertung wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Kandidaten (Reste) zu lösen, da beim Arbeiten mit Hand dies zuerst einmal der natürliche Weg ist - im Gegensatz zu den sonst üblichen, im Internet zu findenden Sudoku-Solvern (z.B. HoDoKu, SudokuExplainer, Sudoku Solver by Andrew Stuart), die sofort alle möglichen Kandidaten für alle Zellen aufschreiben! Es kommen also zuerst nur die direkten Methoden A, B, C und D (C und D optional) zum Einsatz. Erst dann, wenn man damit nicht weiter kommt, werden für jede Zelle alle Zahlen aufgeschrieben, die dafür in Frage kommen: die Kandidaten, die hier als Ganzes oft Rest genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen) geschrieben werden - und das ist per Hand einiges an Arbeit (dafür gibt es auch Extra-Punkte). Danach versucht man, diese Reste (Kandidatenlisten) so lange auszudünnen, also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Zelle kommt (Lösungsmethoden E und F). Dieses Ausdünnen (Kandidaten-Reduzierung) wird hier mit den wichtigsten 6 Methoden versucht, die weiter unten erklärt werden.

   Es gibt noch vielleicht 30 weitere Ausdünnmethoden (siehe z.B. https://www.sudokuwiki.org/sudoku.htm), die wenig zusätzliche Lösungen bringen (also bei weniger als 5-7 % der hier gespeicherten 1.5 Millionen Sudokus), aber im Allgemeinen ziemlich kompliziert sind (z.B. Long String Kite, 3D-Medusa, Finned Swordfish oder Aligned ALS Exclusion) bzw. nahe einem Trial&Error-Verfahren liegen (Almost Locked Sets Chain, Nishio Forcing Chain, Forcing Net). Nicht alle Sudokus können mit den hier programmierten (und wohl wichtigsten) Verfahren - die eigentlich auch gut verstehbar und erlernbar sind - gelöst werden, aber die hier nicht lösbaren Sudokus sind sowieso nur etwas für Spezialisten. Dieses Programm soll nicht ein Sudoku einfach lösen, sondern alle Lösungsschritte zum Nachvollziehen aufzeigen.

   Interessant ist dabei, dass es manchmal Standard-Sudokus gibt, die zwar mit diesem Programm lösbar sind, aber bei der Trial&Error-Methode längere Rechenzeiten erfordern. Natürlich spielt dabei eine Rolle, in welcher Reihenfolge der Trial&Error-Test ausgeführt wird, aber das Prinzip gibt es immer. Beispiel:
   Nach 65919 Versuchen mit bis zu 27 Level in 770 sec mit Trial&Error gefunden, aber mit nur 19 Punkten in etwa 0.25 sec direkt gelöst:
   000000000000001002003000040000000005002040006070008900000020030000050000710000600

   Und umgekehrt gibt es Standard-Sudokus, die mit diesem Programm bisher nicht gelöst werden konnten, aber bei gerade 2 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:
   Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach 1 sec, 8 Ausdünnschritten und bis dahin mit 188.5 Punkten (ohne Bowman's Bingo) endet, mit Bowman's Bingo nun aber bei 22 Ausdünnschritten und 298 Punkten gelöst wird:
   090500030000030007000000406700209005580000300009000060000010003307060000000400900

   Keinen einzigen Lösungsschritt findet das Programm ohne Bowman's Bingo im folgenden Beispiel, es kann aber bei gerade 4 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:
   Nach 4 Versuchen mit bis zu 2 Level in 0.2 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach knapp 1/2 sec mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) ohne Ergebnis aufgegeben, aber mit 3 Bowman's Bingo-Schritten und 313 Punkten gelöst wird:
   000000006009002070700010000040500003008030700200009010000060005060300900100000000

   Ebenso gibt es Standard-Sudokus, die nur aufwändig mit Widerspruchs-Ketten gelöst werden können, aber bei gerade 2 Versuchen per Trial&Error bestimmt werden, z.B.:
   Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber in 1 sec mit 164 Punkten in 15 Ausdünnschritten mit 2 Widerspruchs-Ketten lösbar:
   800009006000081000009204500572000400030000070004000328001403600000190000400800007

   Und gibt es Standard-Sudokus, die sogar mit der (recht umständlich zu benutzenden) Super-Software von Andrew Stuart "SudokuWiki" nicht gelöst werden können ("Run out of known strategies", trotz 38 eingebauter Lösungsverfahren), z.B.:
   Nach 2 Versuchen mit bis zu 1 Level in 0.1 sec mit Trial&Error gefunden, aber nach knapp 1/2 sec mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) ohne Ergebnis aufgegeben:
   000000002008000700030009040000901000040030010005604000069100030007000500200000008, mit 1 Mal Trial&Error bis Tiefe 10 bei 542 Punkten nun aber gelöst werden kann.
   Bei diesem Standard-Sudoku werden aber mit der Java-Software "Sudoku Explainer" bei 22 Ausgangszahlen 126 Ausdünnschritte - darunter 54 Mal unterschiedliche Forcing Chains (Cell Forcing Chains, Contradiction Forcing Chains, Double Forcing Chains, Nishio Forcing Chains und Region Forcing Chains) - benötigt.
   Ähnlich schwierig und auch bei SudokuWiki nicht lösbar, bei "Sudoku Explainer" werden bei 23 Ausgangszahlen 129 Ausdünnschritte - darunter 55 Mal unterschiedliche Forcing Chains - benötigt: Das ist das bekannte "AI Escargot" des finnischen Mathematikers Arto Inkala: 100007090030020008009600500005300900010080002600004000300000010040000007007000300, mit 1 Mal Trial&Error hier aber mit 440 Punkten gelöst werden kann.

   Bemerkungen zur Bewertung: Für jedes Sudoku wird am Ende die Summe aller Punkte jedes Einzelschrittes angegeben. Diese ist natürlich stark abhängig von der gewählten Option, da z.B. bei synchronen (und zum Teil auch bei halb-synchronen) Methoden viele Lösungsschritte (deren Punkte also mitgezählt werden) gemacht werden, die zur Lösungsfindung gar nicht notwendig gewesen wären. Daher wird zusätzlich eine textliche Bewertung (z.B. "Ziemlich einfach") ausgegeben. Ein Punktevergleich verschiedener Sudokus ist also nur bei gleicher Option sinnvoll, z.B. um zu sehen, welches Sudoku das Schwierigere ist. Das gleiche Sudoku mit verschiedenen Optionen zu rechnen, macht nur Sinn, wenn man z.B. sehen will, welche Schritte auch möglich gewesen wären (etwa bei synchronen Rechnungen). Empfohlen wird zur allgemeinen Bestimmung der Bewertung eines Sudokus die i.A. die halb-synchrone Version (z.B. Option 2000) oder die pseudo-synchrone Version (z.B. Option 2001).

   Normalerweise gibt es in einem Sudoku in einem bestimmten Zustand mehrere Möglichkeiten, Zahlen zu finden bzw. Kandidaten auszudünnen. Aber es kommt auch vor, dass es nur 1 oder 2 oder 3 Möglichkeiten gibt. Beispiele für sehr schwierige Sudokus findet man am Ende dieser Seite unter Sehr schwierige Sudokus.
   Neben der Angabe der Summe aller erreichten Punkte gibt es auch die sehr aussagekräftige 2-Norm oder Euklidische Norm, d.h. die Wurzel aus der Quadratsumme aller Punkte, bei der die höheren Punktwerte stärker zur Geltung kommen - das ist nicht so extrem wie die auch angeführte Maximum- oder Tschebyscheff-Norm, also das Maximum der Punktwerte, wie sie z.B. bei SudokuExplainer benutzt wird. Ein Sudoku mit z.B. einem komplizierten Schritt mit 9 Punkten ist bestimmt schwieriger als ein Sudoku mit 3 einfachen Schritte mit jeweils 3 Punkten, obwohl in beiden Fällen die Gesamtpunktzahl 9 ist - aber die Euklidische Norm ist 3 bzw. 5.2. Umgekehrt ist ein Sudoku mit z.B. 5 komplizierten Schritten mit jeweils 16 Punkten auch bestimmt schwieriger als ein Sudoku mit nur einem komplizierten Schritt mit 16 Punkten - hier ist die Euklidische Norm 35.8 bzw. 16 (PS: Nicht-ganze Zahlen werden hier - entsprechend der englisch-amerikanischen Schreibweise - mit Punkt geschrieben).

   Bemerkungen zum Paar-Begriff: Die Sudoku-Literatur ist da nicht ganz einheitlich. In diesem Programm wird als Paar eine Zelle mit zwei Kandidaten bezeichnet (eine Goldene Kette besteht z.B. aus der Verkettung von Paaren), eine Zelle mit drei Kandidaten wäre dann ein Trio usw.. Betrachtet man aber die Einheit von zwei verschiedenen Zellen, wird das hier als Doppel (2-Tupel) bezeichnet, bei drei Zellen ist das ein Tripel (3-Tupel) usw., auch wenn der Inhalt der Zellen ein Paar, Trio o.a. ist (es kann also ein Tripel sowohl aus Zellen mit Paaren als auch Trios bestehen).

    

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   Tabelle der Punktevergaben

   Punktevergabe für alle direkten Lösungsmethoden (Stufe 1):

   Einzige Position einer Zahl (A)
   	A1/A2: 0 bis 2 Punkte (bei 1-2, 3-4, 5-19 noch fehlenden Zahlen innerhalb Zeilen/Spalten, A3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-19 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Boxen
   Einzig mögliche Zahl (B)
   	B0: 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen
   Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test (C)
   	C1/C2: 0 bis 2 Punkte (bei 1-2, 3-4, 5-19 noch fehlenden Zahlen abzgl. Anzahl Begründungen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Begründungen belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, C3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-19 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Boxen; Dazu: Plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen + 2 * Anzahl der "UND FOLGEND"-Fälle
   	C0 (Einzig mögliche Zahl): 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Begründungen belegten Zellen); Dazu: Plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen + 2 * Anzahl der "UND FOLGEND"-Fälle
   	C7 (Zahl am Kreuzungspunkt): 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen in der jeweiligen Zeile und Spalte); Dazu: Plus 2 Punkte
   Offensichtliche 2-Tupel (Doppel) (D)
   	D1/D2: 0 bis 2 Punkte (bei 1-2, 3-4, 5-19 noch fehlenden Zahlen abzgl. 2 * Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, D3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-19 noch fehlenden Zahlen); Dazu: Plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel
   	D0 (Einzig mögliche Zahl): 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen); Dazu: Plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel
   	D7 (2 Paare von offensichtlichen 2-Tupeln in einer einzigen Zelle): 5 Punkte
   	D8 (2 Paare von offensichtlichen 2-Tupeln in drei Ecken eines Ausschluss-Rechtecks): 5 Punkte
   Ausdünnung mit einem alleine auftretendem Kandidaten (E)
   	E1/E2/E3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-4, 5-19 sichtbaren Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten/Boxen
   Ausdünnung mit einem einzig möglichen Kandidaten (einstelliger Rest) (F)
   	F0: 0 Punkte bei letzter Möglichkeit, 0 bis 1 Punkte (bei 1-4, 5-19 sichtbaren Zahlen) bei einziger Möglichkeit

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   Punktevergabe und Reihenfolge der Abarbeitung/Ermittlung für alle Ausdünnmethoden:

   Stufe	Methode	Punkte
   Bei Stufe 2 (Einfache Bestimmung) mit 2-5 Punkten
   	2-Tupel	2
   	Entferntes Doppel im Block	3
   	Zeilen-/Spalten-Tests	3
   	Box-Tests	3
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 1, 2, 5A-5B	4
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	5
   Dazu bei Stufe 3 (Mittlere Bestimmung) mit 5-8 Punkten
   	3-Tupel	5
   	Versteckte 2-Tupel	8
   	3er-Goldene Ketten	6
   	4er-Goldene Ketten	7
   	5er-Goldene Ketten	8
   	XYZ-Wing	7
   	2*2-Einzelzahl-Gitter	6
   	4er-(Geschlossene) Einzelzahl-Ketten	7
   	3er-Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten	7
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	8
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 4A-4C	7
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	8
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 1, 2, 5A-5B	7
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	8
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 1, 2, 5A-5C	7
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	8
   Dazu bei Stufe 4 (Hohe Bestimmung) mit 8-11 Punkten
   	4-Tupel	8
   	Versteckte 3-Tupel	11
   	6er-Goldene Ketten	9
   	7er-Goldene Ketten	10
   	8er-Goldene Ketten	11
   	WXYZ-Wing	10
   	Erweiterter WXYZ-Wing	11
   	3*3-Einzelzahl-Gitter (Swordfish)	9
   	6er-(Geschlossene) Einzelzahl-Ketten	9
   	8er-(Geschlossene) Einzelzahl-Ketten	11
   	5er-Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten	9
   	7er-Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten	11
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 3C (Quasi-4-Tupel)	11
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B	9
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B	11
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	10
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	11
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 4A-4C	10
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	11
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	11
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 4A-4C	10
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	11
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 1 Zusatzzahl Typ 1, 2, 5A-5C	10
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 1 Zusatzzahl Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	11
   	8er-Ausschluss-Ketten Typ 1, 2, 5A-5D	10
   	8er-Ausschluss-Ketten Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	11
   Dazu bei Stufe 5 (Komplexe Bestimmung) mit 11-14 Punkten
   	5-Tupel	11
   	9er-Goldene Ketten	12
   	10er-Goldene Ketten	13
   	11er-Goldene Ketten	14
   	4*4-Einzelzahl-Gitter (Jellyfish)	12
   	10er-(Geschlossene) Einzelzahl-Ketten	13
   	9er-Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten	13
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 3D (Quasi-5-Tupel)	14
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	12
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	14
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B	13
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 4A-4C	12
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 4A-4C	14
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	13
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	13
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3C (Quasi-4-Tupel)	14
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 3C (Quasi-4-Tupel)	14
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 2 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5C	12
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 3 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B	14
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 2 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	13
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 1 Zusatzzahl Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	14
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 1 Zusatzzahl Typ 4A-4C	13
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 1 Zusatzzahl Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	14
   	8er-Ausschluss-Ketten Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	14
   	8er-Ausschluss-Ketten Typ 4A-4C	13
   	8er-Ausschluss-Ketten Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	14
   	10er-Ausschluss-Ketten Typ 1, 2, 5A-5E	13
   	10er-Ausschluss-Ketten Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	14
   Dazu bei Stufe 6 (Weitestgehende Bestimmung) mit 14-17 Punkten
   	6-Tupel (theoretisch)	14
   	12er-Goldene Ketten	15
   	13er-Goldene Ketten	16
   	14er-Goldene Ketten	17
   	12er-(Geschlossene) Einzelzahl-Ketten	15
   	11er-Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten	15
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 3E (Quasi-6-Tupel)	17
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	15
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	17
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2 Zusatzzahlen Typ 3C (Quasi-4-Tupel)	16
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3D (Quasi-5-Tupel)	17
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 3 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	15
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 4A-4C	16
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 4 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	17
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 3D (Quasi-5-Tupel)	17
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 3 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	15
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 4 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	17
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 4 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5B	16
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 2 Zusatzzahlen Typ 4A-4C	15
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 2 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	16
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 2 Zusatzzahlen Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	16
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 1 Zusatzzahl Typ 3C (Quasi-4-Tupel)	17
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 3 Zusatzzahlen Typ 4A-4C	17
   	8er-Ausschluss-Ketten Typ 3C (Quasi-4-Tupel)	17
   	10er-Ausschluss-Ketten Typ 4A-4C	16
   	10er-Ausschluss-Ketten Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	17
   	10er-Ausschluss-Ketten Typ 3B (Quasi-3-Tupel)	17
   	12er-Ausschluss-Ketten Typ 1, 2, 5A-5E	16
   Dazu bei Stufe 7 (Allerweitestgehende Bestimmung) mit 17 bis 29 bzw. 16+2*BB bzw. 48*TE Punkten
   	7-Tupel (theoretisch)	17
   	15er-Goldene Ketten	18
   	16er-Goldene Ketten	19
   	Ausschluss-Rechtecke Typ 3F (Quasi-7-Tupel)	20
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 1 Zusatzzahl Typ 3E-3F (Quasi-6-7-Tupel)	20 bis 23
   	Quasi-Ausschluss-Rechtecke bei 2-4 Zusatzzahlen Typ 3C-3F (Quasi-4-7-Tupel)	19 bis 29
   	6er-Ausschluss-Ketten Typ 3E-3F (Quasi-6-7-Tupel)	20 bis 23
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 5-6 Zusatzzahlen Typ 3A (Quasi-2-Tupel)	19 bis 21
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 5-6 Zusatzzahlen Typ 1, 2, 5A-5E	18 bis 20
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 1 Zusatzzahl Typ 3D-3F (Quasi-5-7-Tupel)	20 bis 26
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 2-6 Zusatzzahlen Typ 3B-3F (Quasi-3-7-Tupel)	16 bis 29
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 4-6 Zusatzzahlen Typ 4A-4C	19 bis 23
   	6er-Quasi-Ausschluss-Ketten bei 3-6 Zusatzzahlen Typ 6, 7A-7C, 8A-8C	18 bis 24
   	8er-Ausschluss-Ketten Typ 3D-3F (Quasi-5-7-Tupel)	20 bis 26
   	10er-Ausschluss-Ketten Typ 3C-3F (Quasi-4-7-Tupel)	20 bis 29
   	Einfache Widerspruchs-Ketten bis Länge 14	17 bis 29
   	Geschlossene Folgerungs-Ketten bis Länge 14	17 bis 29
   	Setzende Widerspruchs-Ketten bis Länge 14	17 bis 29
   	Reduzierende Alternativ-Ketten bis Längen 8+8	21 bis 29
   	Setzende Alternativ-Ketten bis Längen 8+8	21 bis 29
   	Bowman's Bingo	16 + 2 * N (Schrittzahl), Max: 48
   	Trial&Error (Backtracking)	48 * N (Maximale Stufe)

   PS: Man sieht, dass die Ausschluss-Ketten das Programm recht kompliziert gemacht haben, insbesondere durch die unterschiedliche Punktevergabe. In der Stufe 7 sind insgesamt etwa 20 (von 120) Methoden(-gruppen) enthalten, aber diese Stufe ist sowieso kaum für menschliche Löser geeignet.

    

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   Programm-Neuigkeiten

   • Ausgabe auch der Anzahl der Streichungen (April 2025).

   • 15 im Mittel häufigste Streichungen mit der maximalen Zahl an Streichungen bei:
     1. Zeilen-/Spalten-Test :   1.7,   max :   6
     2. Entferntes Doppel im Block :   2.0,   max :   18  (!)
     3. Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 :   2.1,   max :   5
     4. Geschlossene Einzelzahl-Kette :   2.4,   max :   7
     5. Box-Test :   2.6,   max :   6
     6. 2-Tupel (Doppel) :   3.0,   max :   19  (!!)
     7. 3*3-Zeilen-/Spalten-Einzelzahl-Gitter :   3.2,   max :   13
     8. Geschlossene Folgerungs-Kette :   3.3,   max :   19  (!!)
     9. Geschlossene Goldene Kette :   3.7,   max :   21  (!!!)
     10. 3-Tupel (Tripel) :   3.9,   max :   18  (!)
     11. 4-Tupel (Quadrupel) :   4.1,   max :   18  (!)
     12. Verstecktes 2-Tupel :   4.5,   max :   10
     13. 5-Tupel (Pentupel) :   5.3,   max :   13
     14. Verstecktes 3-Tupel :   5.4,   max :   11
     15. 4*4-Zeilen-/Spalten-Einzelzahl-Gitter :   7.6,   max :   15

   • Einführung der ziemlich neuen und oft auftretenden Methode "Entferntes Doppel im Block". Gefunden bei www.sudokuwiki.org - dort gerade erst Ende Januar 2025 zugefügt. Diese Methode ist leicht zu erkennen, da man nur in einem kleinen Bereich (waagrechter oder senkrechter Block) nach Paaren suchen muss (März 2025).

   • Aktuelle Häufigkeit nur der wirkenden Ausdünn-Methoden bei Rechnung von 335400 Standard-Sudokus mit Option 2001 - dabei sind die 10 häufigsten Methoden mit insgesamt 89 % vertreten - inklusive der neuen Methode der Entfernten Doppel (März 2025):
     1. 19.0 %    Zeilen-/Spalten-Test
     2. 14.1 %   (Geschlossene) Goldene Kette
     3. 12.0 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette
     4. 11.5 %    2-Tupel
     5. 10.2 %    Einfache Widerspruchs-Kette

     6.   6.9 %    Ausschluss-Rechteck
     7.   5.4 %    Box-Test
     8.   4.8 %    3-Tupel
     9.   3.3 %    XYZ-Wing/WXYZ-Wing/Erweiterter WXYZ-Wing
     10.   2.1 %    Entferntes Doppel im Block

     Fasst man zusammengehörenden Ausdünn-Methoden zusammen, ergibt sich für die 6 Methoden-Gruppen + 2 Sonder-Methoden:

     1. 24.4 %    Zeilen-/Spalten-/Box-Test
     2. 20.4 %    2- bis 5-Tupel/Versteckte 2- bis 7-Tupel und Entferntes Doppel im Block
     3. 17.4 %    (Geschlossene) Goldene Kette und XYZ-/(Erweiterter) WXYZ-Wing
     4. 12.9 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette, Einzelzahl-Gitter und -Kette
     5.   7.7 %    Alle Ausschluss-Ketten
     6. 13.3 %    Widerspruchs-/Alternativ-/Folgerungs-Kette

     7.   2.1 %    Bowman's Bingo
     8.   1.5 %    Trial&Error

   • Mehrere Änderungen bei der Punktevergabe: Veränderung (meist Verkleinerung) der Punkte bei den direkten Lösungsmethoden A bis F; Verbesserung der Ausgabe bei der Methode C7 (Februar 2025).

   • Mehrere Änderungen bei der Punktevergabe: Keine Extra-Punkte bei zu wenig oder zu vielen Alternativen; Verkleinerung der Extra-Punkte beim Aufschreiben aller Kandidaten (neuer Bereich 8 bis 30 - übliche Grenze eines Ausdünnschrittes), Verkleinerung der Punkte bei Bowman's Bingo (mit maximaler Schrittzahl 16) und Trial&Error; Anpassung der Bestimmung des Schwierigkeitsgrades. Beseitigen eines Fehlers (Abfrage auf "" statt auf 0) bei der Methode C7, die ab php-Version 8.1 nicht mehr funktionierte (Januar 2025).

   • Häufigkeit nur der wirkenden Ausdünn-Methoden bei Rechnung von 335400 Standard-Sudokus mit Option 2001 - dabei sind die 10 häufigsten Methoden mit insgesamt 91 % vertreten (Januar 2025):
     1. 19.3 %    Zeilen-/Spalten-Test
     2. 14.9 %   (Geschlossene) Goldene Kette
     3. 12.1 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette
     4. 11.4 %    2-Tupel
     5. 10.5 %    Einfache Widerspruchs-Kette

     6.   7.2 %    Ausschluss-Rechteck
     7.   5.6 %    Box-Test
     8.   4.9 %    3-Tupel
     9.   3.4 %    XYZ-Wing/WXYZ-Wing/Erweiterter WXYZ-Wing
     10.   1.6 %    4-Tupel

     Fasst man zusammengehörenden Ausdünn-Methoden zusammen, ergibt sich für die 6 Methoden-Gruppen + 2 Sonder-Methoden:

     1. 24.8 %    Zeilen-/Spalten-/Box-Test
     2. 18.4 %    2- bis 5-Tupel/Versteckte 2- bis 7-Tupel
     3. 18.3 %    (Geschlossene) Goldene Kette und XYZ-/(Erweiterter) WXYZ-Wing
     4. 13.1 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette, Einzelzahl-Gitter und -Kette
     5.   8.0 %    Alle Ausschluss-Ketten
     6. 13.7 %    Widerspruchs-/Alternativ-/Folgerungs-Kette

     7.   2.2 %    Bowman's Bingo
     8.   1.5 %    Trial&Error

   • Kleinere Änderungen und Verbesserungen, insbesondere bei Bowman's Bingo und Trial&Error (Oktober 2024).

   • Allgemeine kleinere Änderungen und Verbesserungen (Mai 2024).

   • Neu-Programmierung der Bowman's Bingo-Methode, die nun nur als Ausdünnmethode benutzt wird, nicht als einfache Trial&Error-Methode; dabei auch Beschränkung auf maximal 24 Schritte (Dezember 2023).

   • Verbesserte Definition und Neu-Programmierung der Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Damit konnte der Rechenaufwand um etwa 40 % gesenkt werden, die Gesamtrechenzeit eines Sudokus daher im Mittel um etwa 25 % reduziert werden. Es werden jetzt nur 2 Typen dieser Ketten unterschieden (November 2023).

   • Erweiterung der Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Es können auch innerhalb einer Kette Zeilen/Spalten/Boxen mit mehr als 2 Kandidaten benutzt werden; dadurch konnten alle Sudokus, die wegen der Reduzierung der Kettenlängen nicht mehr gelöst werden konnten, wieder gelöst. Außerdem konnten mehr als 1000 Sudokus, die hier bisher nicht gelöst werden konnten, mit den erweiterten Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten gelöst werden. Das ist insgesamt für eine neue Ausdünn-Methode ein sehr erstaunliches Ergebnis; die bisherigen Einzelzahl-Ketten/-Gitter haben kaum noch eine Bedeutung (Oktober 2023).

     Häufigkeit der Ausdünn-Methoden bei Rechnung von 268640 Standard-Sudokus, bei Option 2001 inklusive der zusätzlich möglichen (damit insgesamt etwa 9707000) Lösungsschritte; dabei sind die 10 häufigsten Methoden mit insgesamt 96.9 % (!) vertreten:

     1. 22.0 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Anteil der Erweiterten Ketten: Etwa 24 %)
     2. 18.3 %   (Geschlossene) Goldene Kette
     3. 15.9 %    Box-Test
     4. 11.6 %    Zeilen-/Spalten-Test
     5.   8.5 %    Einfache Widerspruchs-Kette
     6.   7.4 %    2-Tupel
     7.   6.4 %    Ausschluss-Rechteck
     8.   3.4 %    3-Tupel
     9.   2.7 %    XYZ-Wing/WXYZ-Wing/Erweiterter WXYZ-Wing
     10.   0.7 %    Setzende Alternativ-Kette

     Fasst man zusammengehörenden Ausdünn-Methoden zusammen, ergibt sich für die 6 Methoden-Gruppen:

     1. 27.5 %    Zeilen-/Spalten-/Box-Test
     2. 22.3 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette, Einzelzahl-Gitter und -Kette
     3. 21.0 %    (Geschlossene) Goldene Kette und XYZ-/(Erweiterter) WXYZ-Wing
     4. 11.8 %    2- bis 5-Tupel/Versteckte 2- bis 7-Tupel
     5. 10.3 %    Widerspruchs-/Alternativ-/Folgerungs-Kette
     6.   7.0 %    (Quasi-)Ausschluss-Rechteck und Ausschluss-Schleife (Kette)

   • Reduzierung der maximalen Kettenlänge von 14 auf 12; die Wirkung ist extrem klein: Von etwa 171200 Standard-Sudokus können nun 32 nicht ohne Bowman's Bingo gelöst werden (September 2023).

   • Einführung der sehr erfolgreichen neuen (bisher unbekannten?) Methode "Einzelzahl-Widerspruchs-Kette" für alle Sudoku-Typen, die ebenfalls vom Diagonal-Experten Holger Schrader gefunden wurde. Dabei nimmt man entlang einer Quasi-Einzelzahl-Kette mit jeweils starken Verbindungen an, dass dort eine bestimmte Zahl abwechselnd gesetzt bzw. nicht gesetzt ist und leitet daraus einen Widerspruch ab. Die Methode ist sehr effektiv und grob gerechnet 20 mal häufiger als z.B. eine normale Einzelzahl-Kette; außerdem konnten etwa 5 - 10 % der bisher hier nicht lösbaren Sudokus damit gelöst werden (August 2023).

     Häufigkeit der Ausdünn-Methoden bei Rechnung von 267650 Standard-Sudokus, bei Option 2001 inklusive der zusätzlich möglichen (damit insgesamt etwa 9566900) Lösungsschritte; dabei sind die 10 häufigsten Methoden mit insgesamt 96.1 % (!) vertreten:

     1. 1937700  =  20.25 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (mit 69.5 % Typ 3 bei Länge 3 und 24.2 % Typ 3 bei Länge 5)
     2. 1691000  =  17.7 %      (Geschlossene) Goldene Kette (mit 35.2 % Länge 4 und 27.9 % Länge 5)
     3. 1500300  =  15.7 %      Box-Test
     4. 1102100  =  11.5 %      Zeilen-/Spalten-Test
     5.   929900  =    9.7 %      Einfache Widerspruchs-Kette (mit 37.5 % Länge 5 und 32.5 % Länge 6)
     6.   670000  =    7.0 %      Ausschluss-Rechteck (mit 23.0 % Typ 4A, 16.3 % Typ 7B und 10.5 % Typ 1)
     7.   664900  =    6.95 %    2-Tupel
     8.   316400  =    3.3 %      3-Tupel
     9.   293300  =    3.1 %      XYZ-Wing/WXYZ-Wing/Erweiterter WXYZ-Wing
     10.     79100  =    0.9 %      (Geschlossene) Einzelzahl-Kette (mit 55.6 % Länge 4 und 38.4 % Länge 6)

     Fasst man zusammengehörenden Ausdünn-Methoden zusammen, ergibt sich für die 6 Methoden-Gruppen:

     1. 2602400  =  27.2 %      Zeilen-/Spalten-/Box-Test
     2. 2032500  =  21.25 %    Einzelzahl-Widerspruchs-Kette, Einzelzahl-Gitter und -Kette
     3. 1984200  =  20.75 %    (Geschlossene) Goldene Kette und XYZ-/(Erweiterter) WXYZ-Wing
     4. 1128000  =  11.8 %      Widerspruchs-/Alternativ-/Folgerungs-Kette
     5. 1080700  =  11.3 %      2- bis 5-Tupel/Versteckte 2- bis 7-Tupel
     6.   739100  =    7.7 %      (Quasi-)Ausschluss-Rechteck und Ausschluss-Schleife (Kette)

   • Einführung der Methode "Diagonal-Zange" für Diagonal- und Farbdiagonal-Sudokus, die vom Diagonal-Experten Holger Schrader gefunden wurde. Dabei wird der mittlere Kandidat (der auf einer Diagonalen liegt) gelöscht, wenn von dort aus innerhalb einer Zeile oder Spalte genau zwei Reste mit diesem Kandidaten gesehen werden. Die Methode ist auch erweiterbar auf zwei Diagonalen (der Kandidat in der Sudoku-Mitte kann gestrichen werden, wenn in einer Zeile oder Spalte dieser Kandidat sowohl auf beiden Diagonalen als auch auf der unterhalb/neben der Sudoku-Mitte liegenden Spalte/Zeile liegt), aber abgewandelt auch als "Farb-Zange" auf Farb- und Farbdiagonal-Sudokus (Juli/August 2023).

   • Um hier nicht alle denkbaren (und bei Lösung mit Hand kaum benutzbaren) vielleicht 30 weiteren Lösungsmethoden programmieren zu müssen, wurden die Methoden "Bowman's Bingo" und "Trial&Error" eingebaut. Verbesserung der Methode "Bowman's Bingo" (Quasi-Widerspruchs-Kette, Quasi-Forcing Net), Einführung der Methode "Trial&Error", die einer N-fachen Methode "Bowman's Bingo" entspricht und i.A. immer zum Ziel führt (bei etwa 18 % der extrem schwierigen Sudokus notwendig) (April/Juni 2023).

   • Einführung der Methode "Bowman's Bingo" für Sudokus, die bisher nicht gelöst werden konnten (Farbmarkirung: türkis); genaue Beschreibung siehe bei "SudokuWiki" (November 2021).

   • Einige Änderungen und Vereinfachungen bei der Ausgabe der Ausdünn-Ergebnisse (Juni 2021).

   • Programmierung der neuen Variante Farbdiagonal-Sudoku - eine Mischung aus Farb-Sudoku und Diagonal-Sudoku (Juni 2021).

   • Einführung einer neuen direkten Methode (C7) "Ist in einer Box eine Zahl nur innerhalb einer Zeile und auch einer Spalte möglich, so muss diese am Kreuzungspunkt liegen" (nach Stefan Heine).
     Zusätzliche Eingabemöglichkeit mit Buchstaben (A bis I und a bis i) statt Zahlen (1 bis 9) - bei Buchstaben-Eingabe auch Ausgabe der Lösung mit (Groß-)Buchstaben.
     Damit sind auch quasi-lesbare Sudokus möglich, z.B. das Farb-Sudoku ACHGOTT.......DA.....HABE...............ICH........DIE......FEIGE........DABEI..., wobei der Punkt und die Buchstaben nach I (hier O und T) für das Nicht-Besetzt-Symbol 0 stehen. (Juni 2021)

   • Anpassung aller Änderungen bei den Standard-Sudokus auf Diagonal-Sudokus/X-Sudokus und Farb-Sudokus durch Zusammenfassen aller drei Quell-Programme zu einem Programm von nun knapp 30000 Zeilen (Januar 2020).

     Fast alle Beispiele sind aber weiterhin für Standard-Sudokus, wenn nichts Anderes gesagt wird.

   • Einige Verbesserungen bei der D-Methode, Verringerung der Extra-Punkte und andere kleinere Punktzahlen-Änderungen. Neuer Spezial-Button "8 VARIANTEN": Dabei werden zu einem Sudoku 7 weitere Varianten (durch Drehung, Vertauschung u.s.w.) gerechnet und am Ende alle ermittelten Punkte inklusive dem Minimum ausgegeben (was natürlich zu etwa 8-facher Rechenzeit führt) - dadurch bessere Information über den Schwierigkeitsgrad eines Sudokus (insbesondere über das gefundene Minimum) möglich; Aufruf in der Kommandozeile mit der Option 8VAR (Dezember 2019).

   • Neuer Spezial-Button: "NUR BEWERTUNG" (entspricht Option 2001) mit stark verkürzter Ausgabe (September 2019).

     Aufruf in der Kommandozeile mit der Option NBEW statt z.B. 2001:
     curl -o curl.html https://www.sarahandrobin.com/ingo/sudoku/sudoku_solver_loop_std_synchron.php?008050000090000400600003000000002050007018600380090071070480000003009825000000040_0_NBEW

     PS: Die Kommandozeilen-Tools cURL und Wget (älter) sind zum Herunterladen von Websites, um diese offline zu lesen bzw. zu analysieren. Sie sind i.A. bei Unix/Linux/MacOS-Systemen vorhanden, für Windows-Systeme ist curl seit Windows 10 vorhanden.

   • Änderung der Suchreihenfolge im nicht echt-synchronen Fall: Wenn eine Zahl gefunden wurde, fange die nächste Suche mit dieser Zahl an - das entspricht mehr dem Vorgehen eines menschlichen Lösers (November 2017).

     Beispiel mit vier Zahlen 6 als erste Treffer (statt vorher in Schritt 1, 2, 9 und 10): 000001020609004807000080003006000008004605200500000600900070000102800306030500000

   • Beschränkung aller Ketten von 16 auf Länge 14 zur Rechenzeitverkürzung. Nun insgesamt etwa 300 (hoffentlich) sinnvolle Sudoku-Beispiele (Oktober 2017).

   • Einbau der WXYZ-Wing-Methode als Weiterentwicklung des XYZ-Wing; taucht sehr häufig in der erweiterten Form auf. Verbesserung und Erweiterung der Dokumentation (September 2017).

     Beispiel mit beiden Typen von WXYZ-Wings (Schritt 4 und 8): 000035700000700018080000000059000000710003609060020800000060040004900000070100500

   • Die 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten wurden verbessert, um bis zu 5 Zusatzzahlen zu ermöglichen. Bei der Einzeldarstellung wird jetzt auch die Farb-Information mit übertragen (Juli/August 2017).

   • Weitere Veränderungen, um die Bewertung eines Sudokus zu verbessern (April/Mai 2017):

     Beim Ausdünnen werden nun im nicht-synchronen Fall statt der ersten gefundenen Lösung alle diejenigen einer Stufe mit der größten Anzahl von Streichungen (falls nicht mehr als 3 Punkte vom Punkteminimum entfernt) und davon mit die kleinsten Punktzahl ausgegeben ("halb-synchroner Fall"). Im pseudo-synchronen Fall wird nur der erste dieser Ausdünnschritte benutzt.

     Im nicht-synchronen Fall werden bei den direkten Methoden A bis F alle Lösungsschritte mit minimaler Punktzahl benutzt. Vorteil: Liefert dadurch eine immer gleiche Punktzahl auch bei gedrehten oder gespiegelten oder Blockzeilen-/Blockspalten-/Zahlen-vertauschten Sudokus. Im pseudo-synchronen Fall bleibt es bei nur einem Schritt.

     Bei den Folgerungs-Ketten wird, wenn bisher keine Lösung gefunden wurde, ein zweiter Durchlauf mit mehr und längeren Ketten versucht.

   • (Wieder-)Einführung der Ausgabe mit Alternativen auch bei den Direkten Methoden A-D, wenn sie an gleicher Position sind.
     Einbau der offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Test-Variante C0 ähnlich B0/D0 (7 bis 1 Punkt); Einbau der offensichtlichen 2-Tupel-Variante D5 bei zwei Paaren von offensichtlichen und gleichen 2-Tupeln in drei Ecken eines (Ausschluss-)Rechtecks (5 Punkte) (Dezember 2016).

     Zur Bewertung: Die Punktzahl ist abhängig von der Reihenfolge der Lösungsmethoden und auch von der Abarbeitungs-Reihenfolge links oben nach rechts unten, der Reihenfolge Zeile/Spalte/Box und der Zahlen 1 bis 9. Um eine "bessere" Bewertung zu erreichen, ist es notwendig, ein Sudoku auf mehrere Arten zu rechnen: z.B. durch Drehung oder Spiegelung der Tabelle, durch konforme Vertauschung von Block-Reihen und Block-Spalten oder durch Vertauschung der Zahlen (z.B. 1→8, 2→5, usw.). Der kleinste Wert der Punktzahlen aller berechneten Sudokus sollte der "richtigen" Bewertung dann sehr nahe kommen. Sinnvolle Optionen: halb-synchron mit 2000 und pseudo-synchron mit 2001 (also mit allen offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupeln), da die synchronen Versionen beim Ausdünnen oft Kandidaten löschen, die für den Lösungsweg gar nicht notwendig sind (trotzdem weiß man auch beim asynchronen Rechnen vorher nie, welche Schritte wirklich für die Lösung notwendig sind - dazu müsste man die Reihenfolge und Art der Ausdünnschritte variieren). Aber in drei Viertel aller Fälle sind die Abweichungen durch die Variationen klein (oft nur 3-5 Punkte), insbesondere bei relativ einfachen Sudokus.

     Im halb-synchronen Verfahren liefern (inzwischen) alle Varianten die gleiche Punktzahl, weil immer alle Schritte mit gleicher kleinster Punktzahl benutzt und bewertet werden. Die Punktzahlen liegen aber etwas höher (i.A. 10 % bis 15 %) als im pseudo-synchronen Verfahren, da nicht immer alle Schritte zur Lösungsfindung notwendig sind.

     Einfaches Beispiel im halb-synchronen Verfahren - Option 2000 (Alle folgenden Variations-Rechnungen mit jeweils 100 Varianten gerechnet!):
     Original mit 17 Punkten: 800000003009000000040706090005904100000000000003002700090108070002000400700000005
     Alle Varianten (prinzipiell) ebenso mit 17 Punkten, z.B. Drehung um 90 Grad: 700000008009000400020305090001009700000000000008204600040701000007000900500000003

     Beispiel im pseudo-synchronen Verfahren - Option 2001:
     Original mit 15 Punkten: 800000003009000000040706090005904100000000000003002700090108070002000400700000005
     Nach zwei Drehungen mit 14 Punkten: 500000007004000200070801090007200300000000000001409500090607040000000900300000008

     Seltenes Beispiel: Original und alle 100 Varianten mit gleicher Punktzahl von 19 Punkten: 008900200000370500950200000607800005040000000000003910000050090700400080000000001
     Zahlenvertauschung 1↔9, 2↔8, 3↔7, u.s.w. mit 19 Punkten: 002100800000730500150800000403200005060000000000007190000050010300600020000000009

     Anderes seltenes Beispiel: Original und alle 100 Varianten mit gleicher Punktzahl von 58 Punkten: 000000010000165900800002700300000060004080590020000000502700009007953000460000000

     Normal-Beispiel: Original mit 10 Punkten: 080000104009000800007005002000020001090410070300070000500600000001000700604000030
     Zahlenvertauschung 1↔7, 2↔5, 3↔1, u.s.w. mit 9 Punkten: 030000702004000300008006005000050007040270080100080000600900000007000800902000010
     Zahlenvertauschung 1↔9, 2↔8, 3↔7, u.s.w. mit 9 Punkten: 020000906001000200003005008000080009010690030700030000500400000009000300406000070

     Seltenes Beispiel mit Ausdünnen und sehr großer Differenz zwischen niedrigstem und höchstem Wert (116 Punkte bei 12 verschiedenen Punktzahlen):
     Original mit 213 Punkten: 003000080050700003700120000010000006638000400070008002000001050500840000060900007
     Zeilengruppen vertauschen: 1. Blockspalte nach hinten und dann Drehung mit 173 Punkten: 980000170040000200001800000000040000005000008700206030050060700600731050000080003
     Zeilengruppen waagrecht und dann senkrecht vertauschen mit 289 Punkten: 001050000840000500900007060000080003700003050120000700000006010000400638008002070

     Am Ende einer Sudoku-Rechnung (vor dem Link "Neustart") werden dazu Rechnungen mit verschiedenen Variationen des eingegebenen Sudokus angeboten.

   • Neue zusätzliche Methoden zu den Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten: Setzende und Reduzierende Alternativ-Ketten, d.h. wenn von einer (Paar-)Zelle entweder von beiden Kandidaten aus auf damit zwei verschiedenen Wegen/Ketten an einer anderen Stelle eine eindeutige Zahl gesetzt werden kann oder wenn von einem Kandidaten aus ein Widerspruch an einer anderen Stelle das Streichen dieses Kandidaten gefolgert werden kann. Häufigkeit: Etwa 2 % der bisher nicht gelösten Sudokus werden damit gelöst (November 2016).

     Beispiel mit 1 Setzenden Alternativ-Ketten: 100056009050700023700003000031000050090000200800000010000010000500902600004038000
     Beispiel mit 1 Reduzierenden Alternativ-Ketten: 000010045096050003000000008500000060061425000807960000005007000073001000000000200
     Beispiel mit beiden Typen von Alternativ-Ketten: 000001200010020030400700000200010600030407020008050009000009004080030050006800000

     Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten (Nice Loops)

   • Änderungen an den Ausschluss-Ketten: Typ 7B ist nun Typ 4C, da er in diese Gruppe (nur eine HK-Regel) gehört; ein neuer Typ 7B wurde gefunden und eingebaut; die Reihenfolge der Abarbeitung wurde geändert; die Bewertungen wurden zum Teil etwas erhöht; Optimierung bei den Widerspruchs-/Folgerungs-Ketten (Mai/Juni 2016).

   • Erweiterung des Konzeptes der Widerspruchs-Ketten (Discontinuous Nice Loops): Einbau von Geschlossenen (Durchgehenden) Folgerungs-Ketten (Continuous Nice Loops) und verbesserte/erweiterte Version durch Neuprogrammierung (jetzt etwa doppelt so schnell). Leider können damit aber insgesamt nur etwa 6.5 % der bisher nicht lösbaren Sudokus jetzt gelöst werden; Geschlossenen Folgerungs-Ketten sind auch recht selten, aber man kann mit ihnen oft viele Kandidaten streichen. Die Unterscheidung Einfache und Erweiterte Widerspruchs-Kette wird nicht mehr dargestellt, aber bei der Bewertung berücksichtigt (März/April 2016).

     Hier ein paar Beispiele:
     Mit Einfacher Widerspruchs-Kette (ohne "!" innen): 000000000000001002003040050000000000000200601054000030000030047200800000600000000
     Mit Geschlossener Folgerungs-Kette (ohne "!" innen): 000050780406080100009000060200000007500010000900002310005600000610000004002900000
     Mit Einfacher Widerspruchs-Kette (mit "!" innen, in etwa 2.5 sec): 007200000000080100916000000400050600060070030000008004000063000230800500009400001
     Mit Geschlossener Folgerungs-Kette (mit "!" innen): 000000000000001002003040050000000001000003040006070000000050380090000000120600000
     Mit allen Ketten-Typen (Schritte 9 bis 31): 000000000407380000000052040000074500000530280060090070008400701703000006006000090

     Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten (Nice Loops)

   • Versuchsweise sind die Ausgabetexte bei den Ausdünnmethoden nun anklickbar: Der grüne Ausdünntyp-Text führt zu einem externen Link der Dokumentation, bei der synchronen Ausgabe geht wie bisher der (rechte) blaue Text auf eine externe Einzeldarstellung des Sudokus. Kommentare und Anregungen dazu bitte an I.Gieseposteo.de senden (Januar/Februar 2016).

   • Verbesserung der Ausgabe im nicht-synchronen Fall bei den offensichtlichen 2-Tupeln (Doppel) (Oktober 2015). Verbesserung der Ausgabe in allen Fällen bei den offensichtlichen 2-Tupeln (Doppel) (November 2015). Einbau der direkten Eingabe einer 81 Zeichen langen Sudoku-Zeichenkette - statt über die URL nach einem Fragezeichen zu gehen, z.B. für die Eingabe von Sudokus aus dem Internet wie bei Stefan Heine mit http://www.ps-heine.de/maximal; verbesserte Optik für das Drucken von Sudokus mit Sudoku Print; zusätzliche Möglichkeit, ein ausgedrucktes Sudoku über dessen Nummer nachträglich online rechnen zu lassen; Anpassung der Auflistung der Kandidaten bei einer Goldenen Kette an die logische Reihenfolge entsprechend der Dokumentation - Dank an Edgar K. (Dezember 2015). Verbesserung der Ausgabe in allen Fällen bei den offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests: Darstellung möglicher Positionen der Zahl z mit (z) (Januar 2016).
   • Bemerkungen zur Schwierigkeit/Bewertung eines Sudokus:

     Der oft angenommene Zusammenhang zwischen "Anzahl Ausgangszahlen" und "Schwierigkeit des Sudokus" (wenig Ausgangszahlen = hohe Schwierigkeit) ist prinzipiell FALSCH. Das Problem der Schwierigkeits-Beurteilung sieht man am besten an den sehr zahlreichen und ausführlich untersuchten Sudokus mit nur 17 Ausgangszahlen (dem Minimum) [insbesondere von Gordon Royle, der 49158 Sudokus dokumentiert hat] - von denen i.A. behauptet wird, dass sie sehr schwierig sind: Etwa 33 % der vorliegenden etwa 57000 Sudokus mit 17 Ausgangszahlen sind mit den sehr einfachen direkten Methoden (A und B) lösbar; rechnet man zu den einfachen Methoden auch die offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und offensichtlichen 2-Tupel/Doppel (C und D) hinzu, sind sogar über vier Fünftel (80 %) einfach - also ohne Ausdünnen - lösbar! Nur etwa 0.5 % sind mit diesem Programm bisher nicht lösbar und etwa 19 % mit bis zu 30 Ausdünnschritten lösbar (von denen auch nur knapp 0.2 % mehr als 240 Punkte haben, also wirklich schwierig sind)!

     Man sieht auch, dass bei den meisten Sudokus mit wenigen Ausgangszahlen wenigstens einige Zahlen schnell gefunden werden können, ehe man ins Stocken kommt - und dann fängt die Schwierigkeit an, also erst bei einer höheren Anzahl von Zahlen. Bei allen hier vorhandenen wirklich schwierigen Sudokus mit mindestens 240 Punkten (knapp 17000) gibt es bei 75 % der Sudokus mindestens 6 einfache Schritte, ehe überhaupt der Ausdünnvorgang (bei dann zwischen 28 und 50 Zahlen) begonnen werden muss.

     Nur die Konstellation der Ausgangszahlen (an welchen Stellen welche Zahlen stehen) ist für den Schwierigkeitsgrad eines Sudokus verantwortlich, also nicht die Anzahl der Ausgangszahlen, wie man es in den meisten Zeitungen, Zeitschriften und Bücher aber findet (Zwei der wenigen Ausnahmen: "200 Sudoku im praktischen Abreißblock" von Eberhard Krüger und "Sudoku maximal" von Stefan Heine)! Die "wirkliche" Schwierigkeit kann nur durch ein Programm nachträglich ermittelt werden, da sie kaum vorher bei der Konstruktion des Sudokus festlegbar ist.

     Einige - sehr unterschiedlich schwierige - Beispiele bei 17 Ausgangszahlen:

     Ohne Ausdünnen lösbar:
     Super einfach lösbar (9 Punkte): 000000001000002000003000045000006050000070000280000000000800200009040000100000760
     Ähnlich einfach lösbar (11 Punkte): 000000000000000012000003004000000050004010000006007300000604800010020009050000000
     Ziemlich einfach lösbar (20 Punkte): 000000001000001002034000000000000030000050600700002000000800090006309000400000005
     Noch einfach lösbar (32 Punkte): 000000000000001002003000040000030000005460000070000801000040000020500060180000000
     Etwas schwierig lösbar (38 Punkte): 205000000000600900000000300010000057600803000000000040890000000000074000000050000
     Recht schwierig lösbar (44 Punkte): 000000001000002000003000040000030000005460000010000708000500060020000000180007000

     Mit Ausdünnen lösbar:
     Einfach lösbar in 1 Ausdünnschritt - Goldene Kette (19 Punkte): 000000000000000012000034000000000000000100560023000007000000208009000003504009000
     Lösbar in 4 Ausdünnschritten (61 Punkte): 000000000000000012000034005000000300006100000070200000000820007005000000403000600
     Lösbar in 11 Ausdünnschritten (144 Punkte): 000000000000000012003045000000001460007000000020080000000030500210700000600000000
     Lösbar in 22 Ausdünnschritten (194 Punkte): 000000001000000023004005000000004600010000000270030000000210000008090000050000800
     Lösbar in 24 Ausdünnschritten (291 Punkte): 000000001000000023004005000000006500030010000070000000000030002006080000905200000
     Lösbar in 30 Ausdünnschritten (417 Punkte, in etwa 4 sec): 000000000002003001050060040000007000000102000400000080060080000000000007001000203

     Mit Bowman's Bingo bzw. Trial&Error lösbar:
     Mit 1 Mal Bowman's Bingo gelöst mit 100 Punkten: 007400500600002000000000000000710800200000100300000000500000030040900000000000026
     Mit 2 Mal Bowman's Bingo gelöst mit 212 Punkten: 700680000500000030000000001004800600030200000010000000260000800000003070000000000
     Mit 4 Mal Bowman's Bingo gelöst mit 399 Punkten: 040000000000020005009000700200000003000007000008900400000600900520030000000000080
     Mit Trial&Error gelöst mit 246 Punkten: 600302000040000080000000000702600000000000054300000000080150000000080200000000700
     Mit Trial&Error gelöst mit 785 Punkten: 602050000000003040000000000430008000010000200000000700500270000000000081000600000
     Mit Trial&Error gelöst mit 1086 Punkten: 000000000000001002003004050000003000016000700700000008000060300000090400200700000

     Umgekehrt gibt es viele Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die gar nicht so einfach lösbar sind. Hier ein paar Beispiele:

     Etwas schwierig lösbar bei 48 Ausgangszahlen in 15 Ausdünnschritten (130 Punkte): 000001043040300012103245607000674301310020764764103200076430120421000030830012476
     Etwas schwierig lösbar bei 52 (!!) Ausgangszahlen in 17 Ausdünnschritten (181 Punkte): 754000230198237654623405070417000062582674000936021047245100700069702400071040020
     Etwas schwierig lösbar bei 55 (!!) Ausgangszahlen in 15 Ausdünnschritten (126 Punkte): 003716004040895360060243000618954003732168459594372816300681040006429030400537600
     Einfacher lösbar bei 58 Ausgangszahlen in 5 Ausdünnschritten (59 Punkte): 950140328023090001001230900639851274572964183184723569000019032290380410310472090

     Und es gibt viele Sudokus mit mehr als 36 Ausgangszahlen (der üblichen Grenze), die mit diesem Programm (ohne Bowman's Bingo) nicht lösbar sind. Hier ein paar Beispiele:
     Bisher ungelöst bei 51 Ausgangszahlen nach nur 4 Ausdünnschritten (bis dahin 50 Punkte), mit 2 Mal Bowman's Bingo gelöst mit 247 Punkten: 105480009040901000900070104218549600593768412467123895059014020624097001001000940
     Bisher ungelöst bei 57 Ausgangszahlen nach nur 3 Ausdünnschritt (bis dahin 34 Punkte), mit Bowman's Bingo gelöst mit 95 Punkten: 020456709456090102709200546205060490074905260960024357590002674642579813007640925
     Bisher ungelöst bei 42 Ausgangszahlen nach 6 Ausdünnschritten (bis dahin 59 Punkte), mit Trial&Error gelöst mit 264 Punkten: 300968001002715306061003090200109003030076010100832007013097060009604130600301009
     Bisher ungelöst bei 46 Ausgangszahlen nach 5 Ausdünnschritten (bis dahin 88 Punkte), mit Trial&Error gelöst mit 196 Punkten: 574000021908000407106407009649532178810040035350801046780904000495000700260000094

   • PS: Nach 10 Jahren kann man wahrscheinlich ruhigen Gewissens die Beschäftigung mit der Sudoku-Software als im Wesentlichen beendet betrachten. Laut Internet Archive wurde dieses Programm zwischen 24. September 2005 und 19. April 2012 (der Rechner www-aix.gsi.de wurde Ende 2012 stillgelegt) in verschiedenen Stadien 78 Mal gespeichert. Wen es interessiert: Hier ist dieses erste Programm zum Vergleich. Das aktuelle Programm ist etwa 110 Mal so groß und hat etwa 55 Mal so viele Zeilen wie das erste Programm :-)

     PS: Langfristig wird es dieses Programm nur noch auf dem Rechner https://www.sarahandrobin.com/ingo/ geben (Juli 2015).

   • Optimierung bzw. Neu-Programmierung mehrerer Verfahren (u.a. Einzelzahl-Gitter, Ausschluss-Ketten) und Herabsetzung des Maximums für zu untersuchende Ketten; die Laufzeit des Programms wurde dadurch oft (insbesondere bei komplexeren Sudokus) um den Faktor 2 bis 3 besser. Gleichzeitig können nun auch (die selten auftretenden) 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten mehr als 1 Zusatzzahl haben, aber weiterhin ohne Vermeidbaren 6er-Ausschluss-Ketten (April/Mai 2015).

   • Einbau der XYZ-Wing-Methode als Erweiterung der 3er-Goldenen Kette, die sehr oft gefunden werden kann. Einbau (neben 2*2-Einzelzahl-Gittern) von 3*3- und 4*4-Einzelzahl-Gittern, allgemein Swordfish und Jellyfish genannt. Diese Verallgemeinerung des Urtyps X-Wing (2*2-Einzelzahl-Gitter) ermöglicht es, gleich mehrere Kandidaten (13 wurden häufig beobachtet) streichen zu können, was sie so interessant macht - sie werden nun alle vor den Einzelzahl-Ketten bestimmt; sie sind aber leider nicht sehr häufig anzutreffen. (Februar/März 2015).

     Beispiel mit einem XYZ-Wing: 000000002000178030807090000000082910030000024200600000765000000080007060300000045

     Beispiel mit einem 2*2-Einzelzahl-Gitter (mit 1 streichbaren Kandidaten): 000000000012000340050206070004080500000103000009050700060509080021000460000000000

     Beispiel mit einem 3*3-Einzelzahl-Gitter (mit 5 streichbaren Kandidaten): 102000300000009050900030006000500010005020400010006000600070002080900000004000803

     Beispiel mit einem 4*4-Einzelzahl-Gitter (mit 8 streichbaren Kandidaten): 000000000001203400024506370068000250000000000093000180076401530002805600000000000

     Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Goldene Kette inkl. (W)XYZ-Wing und Einzelzahl-Gitter und -Ketten

   • Einbau von Einfachen und Erweiterten bzw. Setzenden Widerspruchs-Ketten (Discontinuous Nice Loops/Alternating Inference Chains). Dadurch können etwa 61 % der bisher nicht lösbaren Sudokus gelöst werden (von den hier vorhandenen 319000 nicht-trivialen Standard-Sudokus können nun 83 % gelöst werden). Die Suche erfolgt erst, wenn keine anderen Lösungsschritte gefunden wurden (Januar/Februar 2015).

     Das Vorgehen bei den bisher eingebauten Ausdünnmethoden geht immer in zwei Schritten: Zuerst wird ein Muster, z.B. ein N-Tupel, eine Goldene oder Einzelzahl-Kette oder (zum Teil) auch eine Ausschluss-Kette, gesucht. Dieses Muster existiert für sich alleine, ohne erst einmal eine Wirkung haben zu müssen. Erst im nachfolgenden Schritt wird überprüft, ob man damit einen oder mehrere Kandidaten streichen kann - was nicht immer der Fall ist - und diese Kandidaten liegen im Allgemeinen außerhalb der gefundenen Muster. Das Vorgehen bei den Widerspruchs-Ketten ist vollkommen anders: Man nimmt an, dass ein gewählter Kandidat richtig (oder nicht richtig) ist und versucht nun, durch eine Verkettung von (allerdings logisch aufgebauten und unabhängigen) Schlüssen, daraus einen Widerspruch abzuleiten. Das sind also keine zwei unabhängigen Schritte und erinnert damit eher an ein Trial&Error-Verfahren. Noch mehr in diese Richtung gehen weitergehende Ketten-Verfahren wie die aus mehreren Ketten kombinierten Verfahren wie "Contradiction Forcing Chain" oder "Region Forcing Chain" (Begriffe nach Sudoku Explainer). Sie sind für menschliche Löser wenig geeignet und wohl nur dazu da, alle Sudokus per Programm lösen zu können.

     Beispiel mit 2 Einfachen bzw. Erweiterten Widerspruchs-Ketten (Länge 5): 000060030000007001000930006070001004305000907800070060054000000900006000001000820

     Beispiel mit 15 wirkenden von über 300 Widerspruchs-Ketten (Länge bis 9, Schritte 11 bis 23), in 1 Sekunde: 000000000000000012003004000000003005006000400070020001000050000200010000804000300

     Einzelheiten siehe den entsprechenden Teil der Dokumentation: Widerspruchs-Ketten

   • Die Webseite zum Drucken von jeweils 4 neu zufällig ausgewählten Sudokus eines angebbaren Schwierigkeitsgrades wurde für alle drei Sudoku-Arten (Standard-Sudoku, Diagonal-Sudoku, Farb-Sudoku) verbessert bzw. neu eingeführt. Dabei kann man den Typ der Sudokus (entsprechend der Typen bei der Optionsangabe) und die minimale und maximale Punktzahl (beim nicht-synchronen Verfahren berechnet) angeben (Dez. 2014).
   • Mehr durch Zufall wurden etwa 4000 (von etwa 1 Million) erstaunliche Sudokus gefunden, die sowohl als Standard-Sudokus und auch als Diagonal-Sudokus bzw. Farb-Sudokus bzw. Farbdiagonal-Sudokus lösbar waren; etwa 240 davon waren in den drei Varianten Diagonal-, Farb-, Farbdiagonal-Sudokus lösbar, etwa 225 in allen 4 Varianten. In den meisten Fällen ergab es die gleiche Lösung, nur in der Variante mit Diagonal- und Farb-Sudokus gab es auch jeweils unterschiedliche Lösungen (Dez. 2014). Inzwischen sind es über 12500 Sudokus (von knapp 1.8 Millionen, also 0.7 % mehrfach - bzgl. Sudoku-Typ - lösbare Sudokus).

     Hier ein paar Beispiele:

     Gleiche Lösung in allen vier Sudoku-Varianten:

           Standard-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000
           Diagonal-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000
           Farb-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000
           Farbdiagonal-Sudoku: 460090500057230004000700000009350200603001000000000000000020080140509000090000000

     Gleiche Lösung in nur drei Sudoku-Varianten (die Standard-Variante hat dabei 30619 Lösungen!):

           Diagonal-Sudoku: 000490062000000017130005000000000070360700490000000000600000900800000000002300700
           Farb-Sudoku: 000490062000000017130005000000000070360700490000000000600000900800000000002300700
           Farbdiagonal-Sudoku: 000490062000000017130005000000000070360700490000000000600000900800000000002300700

     Gleiche Lösung in nur jeweils zwei Sudoku-Varianten:

           Standard-Sudoku: 600045007802006500000000300000070250003000180050000000000600020000802009000019000
           Diagonal-Sudoku: 600045007802006500000000300000070250003000180050000000000600020000802009000019000

           Standard-Sudoku: 006008900000007100072050000180000000009000400000000063000030852001900000000205000
           Farb-Sudoku: 006008900000007100072050000180000000009000400000000063000030852001900000000205000

           Diagonal-Sudoku: 000000000004906800080107090035000460000000000021000730090704020007309600000000000
           Farbdiagonal-Sudoku: 000000000004906800080107090035000460000000000021000730090704020007309600000000000

     Unterschiedliche Lösungen wurden bisher nur in den Varianten Diagonal- und Farb-Sudoku beobachtet (etwa 260 Sudokus). Beispiel mit sehr hoher Punktzahl-Differenz:

           Diagonal-Sudoku: 105 Punkte 000004010320000000005007080000056000007000003000020004008000900000000070001000000
           Farb-Sudoku: 1251 Punkte 800040000000003001000007000000000760500010000200000900002000090040000000080100070

     Unterschiedliche Lösung in den zwei Sudoku-Varianten Diagonal- und Farb-Sudoku, hier mit mehr Punkten als Diagonal-Sudoku:

           Diagonal-Sudoku: 637 Punkte 700002003000067184000000000000020008800000000046500000000000500000000000104000079
           Farb-Sudoku: 166 Punkte 700002003000067184000000000000020008800000000046500000000000500000000000104000079

     Die Anzahl der Unterschiede in den Lösungen ist oft um die 50 Zeichen!

   • Die älteren Programm-Neuigkeiten findet man unter: Ältere Programm-Neuigkeiten

    

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   Sechs direkte Sudoku-Lösungsmethoden - Standard-Sudokus (A bis F)

    
   1. Einfachste Methode: Einzige Position einer Zahl: Direkte Dreier-Methode oder eindeutige Stelle (Hidden Single): Bestimme die fehlende dritte Zahl in drei zusammen (nebeneinander oder untereinander) liegenden Boxen. D.h.: Findet man in zwei von drei zusammen liegenden Boxen eine bestimmte Zahl (die dann in zwei verschiedenen Zeilen bzw. Spalten liegen), sucht man in der dritten Box in der bisher nicht betrachteten Zeile bzw. Spalte nach einem eindeutigen Ort, an dem diese Zahl nur stehen kann (einfachster Typ A3). In vielen Fällen findet man auch beim Durchsuchen von ganzen (über alle Boxen gehenden) Zeilen bzw. Spalten (A1 bzw. A2) eine einzige Stelle, an der eine bestimmte Zahl nur stehen kann; da man dabei aber mehr Zellen ansehen muss, hat dieser Fall (A3) eine höhere Punktzahl.

      Bewertung A1/A2: 0 bis 2 Punkte (bei 1-2, 3-4, 5-19 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten, A3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-19 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Boxen; Farbmarkierung: Grün

      Beispiel für den einfachen Fall (A3):
      In der dritten Box (OR) kann die Zahl 7 nur in der dritten Zeile sein; damit bleibt die letzte Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).
      PS: Der Übersichtlichkeit wegen wurden viele Zellen nicht ausgefüllt, da deren Inhalt ohne Bedeutung ist; ebenso fehlen im Allgemeinen die letzten Zeilen der Beispiel-Sudokus.

      7 7 1 4 5 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

      Beispiel für den komplexeren Fall (A1/A2):
      Es kann auch in den Zeilen (A1) bzw. Spalten (A2) nachgesehen werden, ob eine Stelle für eine bestimmte Zahl frei ist. In diesem abgewandelten Beispiel kann die Zahl 7 wieder nur in der dritten Zeile der rechten Box (OR) liegen. Da aber in der 8. Spalte in der darunter liegenden Box (MR) schon eine 7 steht, bleibt wieder nur die letzte Spalte (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig (A1).

      7 7 1 4 7 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

      
      

      Beispiele mit vielen A-Fällen

      63 A-Fälle aus 64 Schritten (mit 13 Punkten): 000000001000000023000045000000000004002010000060000500000006000103000000700502800

      64 A-Fälle (mit 17 Punkten): 000000000000001002034000050000000530000067040100002000000408000260000000300000000

         

   2. Einzig mögliche Zahl: Einzige noch fehlende Zahl an einem bestimmtem Ort (Naked Single): Man untersucht für einen Ort, welche der 9 Zahlen dort stehen könnten, wobei die Sudoku-Regeln berücksichtigt werden müssen. Bleibt nur eine Zahl übrig, hat man die Lösung für diese Stelle gefunden (B0). Das klingt zwar einfach, ist aber nicht so leicht zu erkennen (wenn man nicht alle Kandidaten schon aufgeschrieben hat) und man daher sehr viele Nachbarzellen ansehen muss (was eine hohe Punktzahl rechtfertigt).

   Bewertung B0: 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen außer der untersuchten Zelle); Farbmarkierung: Blau

   Beispiel: Die einzige Zahl an der Position Zeile 3 und Spalte 4 (mit kleinem x markiert) kann nur die Zahl 7 sein, weil alle anderen Zahlen schon in gleicher Zeile (1, 4, 8, 9), in gleicher Spalte (2, 5), bzw. in gleicher Box (1, 2, 3, 6) vorhanden sind.

   2 6 3 8 1 4 9 5 7 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   

   Beispiele mit vielen B-Fällen

   8 B-Fälle (mit 14 Punkten): 000000000000102340000706850041000520000000000038000470027601000016305000000000000

   16 B-Fälle aus 58 Schritten (mit 40 Punkten): 002006000300470000000305000080700003000000040006000009000820065901000020500001700

   Beispiel ohne offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel:

   28 B-Fälle aus 58 Schritten (mit 44 Punkten): 005800700000200000400001009670000940000000000028000015800700002000509000001004600

      

   3. Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test (Direct Pointing): Abwandlung der einfachsten Methode (A): Bestimme den Ort einer bestimmten Zahl z ohne genaue Kenntnis des Ortes dieser Zahl an den anderen Stellen: Hier nutzt man aus, dass dort die Position dieser Zahl zwar noch nicht genau bekannt ist, aber auf eine Zeile oder Spalte einer Box beschränkt werden kann (Darstellung mit "(z)"). Dann folgt der Ort für diese Zahl analog der oben beschriebenen Methode A (Kennung C1/C2/C3 analog A1/A2/A3). Die Methode C3 ist oft schneller (einfacher) zu sehen als die A1- und A2-Methoden (einzige Position in einer Zeile oder Spalte), wenn es nur eine einzige Begründung gibt.

   Bewertung C1/C2: 0 bis 2 Punkte (bei 1-2, 3-4, 5-19 noch fehlenden Zahlen abzgl. Anzahl Begründungen - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Begründungen belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, C3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-19 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Boxen. Dazu: Plus 2 * Anzahl der notwendigen Begründungen (hier nur bis zu 2 Begründungen) + 2 * Anzahl der "UND FOLGEND"-Fälle. Dabei mit 8 Punkten höchste erreichbare Punktzahl der direkten Lösungsmethoden; Farbmarkierung: Rot

   Beispiel für den einfachen Fall (C3):
   Im einfachen Fall weiß man, dass in der rechten Box (OR) die Zahl 6 nur in der zweiten Zeile sein kann, da die erste Zeile nicht in Frage kommt (wegen der 6 in Spalte 9) - die genaue Position der Zahl 6 in der mittleren Zeile dieser Box ist aber noch unbekannt. Hier ist sogar auch die Position dieser Zahl in der mittleren Box OM noch unbekannt. Trotzdem kann man daraus schließen, dass in der ersten Box (OL) die 6 nur in der dritten Zeile sein kann; in dieser Zeile bleibt dann nur die zweite Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).

   5 4 7 2 8 8 2  (6)   (6)    2 3 5 4 9 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   Beispiel mit 4 folgernden Begründungen (C3):
   Offensichtlich gilt für Zahl 4: In Box 3#2 (UM) kann sie nur in Spalte 5 sein => Daraus folgt, dass sie in Box 2#2 (MM) nur in Zeile 5 möglich und deshalb in Box 2#3 (MR) nur in Spalte 9 möglich ist => Daraus folgt dann, dass Zahl 4 in Box 1#3 (OR) nur in Spalte 7 möglich ist. Damit bleibt als einzig möglicher Ort für die Zahl 4 in Box 3#3 (UR) nur Spalte 8 und somit nur Zeile 8 übrig (mit kleinem x markiert).

   4 5 2 7 1 7 6 8   (4)   2     2 9 8   (4)   3   7   9 1 7 3 8 2   5     (4)   5 2  (4)     (4)  7 8 6 7 2 5 1   9     (4)   8 5 9    (4)  2   7 1 1 2 9 6    (4)  7   3 5 7 4 5 1 9 2

   Beispiel für den komplexeren Fall (C1/C2):
   Wegen der Zahl 7 in der rechten mittleren Box (MR) kann in der davor liegenden Box (MM) die 7 nicht in Zeile 5 stehen. Damit bleiben als mögliche Orte für die 7 in dieser Box nur die beiden Positionen in der Spalte 5 übrig (mit (7) angezeigt).
   Nun kann man ähnlich wie im einfachen Fall folgern, dass die Zahl 7 in der 3. Zeile nicht in Box OL stehen kann (in dieser Box ist schon eine 7), auch nicht in Box OM wegen der 7 irgendwo in Spalte 5 von Box MM (mit (7) markiert), aber auch nicht in Spalte 8 der Box OR (wegen der 7 in Box MR), und somit bleibt in Zeile 3 nur die Spalte 9 (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig (C1).

   7 2 1 4 3     (7)   2   7 5     (7)   8   ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Variante C0:
   Die einzig mögliche Zahl entsprechend der B0-Methode kann manchmal gefunden werden ohne genaue Ortskenntnis von anderen Zahlen entsprechend offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests.

   Bewertung C0: 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen außer der untersuchten Zelle abzgl. Anzahl Begründungen); Dazu: Plus 2 * Anzahl der offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests + 2 * Anzahl der "UND FOLGEND"-Fälle.

   Beispiel für diese Variante:
   In Box 1#2 (OM) muss die Zahl 6 in Zeile 1 liegen; daher kann in Zeile 1 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) nur die Zahl 2 sein.

   (6)     (6)   1   4   9   8   4 8 5 2 6 3 7 7 1 5 8 9 3 8 5 9 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Variante C7:
   Ist in einer Box eine Zahl nur innerhalb einer Zeile und einer Spalte möglich, so muss diese am Kreuzungspunkt liegen.

   Bewertung C7: 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen außer der untersuchten Zelle); Dazu: Plus 2 Punkte

   Beispiel für diese Variante:
   In Box 1#3 (OM) muss die Zahl 9 in Zeile 3 und Spalte 7 liegen (mit kleinem x markiert); denn die Zahl 9 kann in Zeile 3 nur in dieser Box sein (denn Spalte 4 ist durch die 9 in Zeile 7 belegt) und in Spalte 7 auch nur in dieser Box sein (denn Zeile 9 ist durch die 9 in Spalte 2 belegt).

   8 6 4 5 4 5 1 2 2 1 3 4 5 8 9 1 5 7 6 4 6 4 5 8 1 5 7 1 4 8 6 2 3 5 9 4 4 6 5 1 1 9 2 4 5

   
   

   Beispiele mit vielen C-Fällen

   C0-Fall (von 5 C-Fällen): 000080010500000200600000000017000008000200600000000000030000087200406000000500000

   4 C0-Fälle: 060020010901050004000801000006000700740000096002000800000703000300080002010040050

   C1-Beispiel mit "UND FOLGEND" mit 6 von 15 Punkten: 000000000090472100070063000004000600080030790007008040020009050003500001500020000

   C2-Beispiel mit "UND FOLGEND" mit 7 von 28 Punkten: 000000001000002000003000045000030200001500000060000070000180000400000000720000600

   C1- und C2-Beispiel mit "UND FOLGEND" mit 2 Mal 8 von 82 Punkten: 503809600000000000008034700700400000010062305000000000006000040920600870150900000

   C3-Beispiel mit "UND FOLGEND" mit 6 von 34 Punkten: 000000000000001002003000040000000005000062001078030000000080030000900700120000000

   1 C7-Fall: 000000000000001002003000045000040030010000600200000000000078000004030800060000001

   2 C7-Fälle: 009071050800000020005800340004280000002000085000015000650007030700039000000500000

      

   4. Offensichtliche 2-Tupel (Doppel) (Direct Hidden Pair): In vielen Fällen sieht man zwei Zellen innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box, in denen genau zwei bestimmte Kandidaten vorkommen müssen, weil sie in allen anderen Zellen dieser Zeile, Spalte bzw. Box nicht vorkommen können. Diese werden hier offensichtliche 2-Tupel (Doppel) genannt und entsprechen häufig Versteckten 2-Tupeln. Da diese beiden Zellen nicht mit anderen Zahlen belegt werden können, ermöglicht dies dadurch das Auffinden anderer Zahlen, ohne dass die Kandidaten in allen Zellen aufgeschrieben werden müssen. Dabei gibt es zuerst die drei Methoden D1/D2/D3 analog A1/A2/A3, und drei Varianten D0, D7 und D8.

   Bewertung D1/D2: 0 bis 2 Punkte (bei 1-2, 3-4, 5-19 noch fehlenden Zahlen abzgl. 2* Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen) innerhalb Zeilen/Spalten, D3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-6, 7-19 noch fehlenden Zahlen) innerhalb Boxen. Dazu: Plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel; Farbmarkierung: Gelbgrün

   Beispiel für den einfachen Fall (D3):
   Wegen des offensichtlichen 2-Tupels 15 in der Box OM (1 und 5 gehen nicht in der mittleren Zeile und auch nicht in der mittleren Spalte) kann die einzige Zahl an der Position Zeile 2 und Spalte 6 (mit kleinem x markiert) nur die Zahl 7 sein bzw. die Zahl 7 dieser Box kann nur in Zeile 2 und Spalte 6 stehen (da sie nicht in Spalte 5 und nicht in Zeile 3 der Box OM sein kann).

   8 6 2 5 1 2   15     15   7 4 5 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Variante D0:
   Die einzig mögliche Zahl entsprechend der B0-Methode kann manchmal gefunden werden ohne genaue Ortskenntnis von zwei anderen Zahlen, die ein offensichtliches 2-Tupel (Doppel) bilden.

   Bewertung D0: 2 bis 0 Punkte (bei 1-9, 10-15, 16-20 sichtbaren Zahlen außer der untersuchten Zelle abzgl. 2 * Anzahl Doppel - genauer: abzgl. aller mit den notwendigen Doppeln belegten Zellen); Dazu: Plus 2 * Anzahl der notwendigen Doppel

   Beispiel für diese Variante:
   Durch das offensichtliche 2-Tupel 48 kann ausgeschlossen werden, dass die Zahlen von diesem 2-Tupel (4 und 8) an der betrachteten Stelle (mit kleinem x markiert) liegen; daher kann dort nur die Zahl 9 sein.

   6 7 1 2   48     48   7 5 1 8 2 5 4 7 5 3 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Variante D7:
   Kreuzen sich zwei offensichtliche, aber verschiedenen 2-Tupeln in einer einzigen Zelle, kann diese Zelle nur den gemeinsamen (in beiden Paaren der 2-Tupel vorkommenden) Kandidaten haben. Der Fall tritt nur im synchronen Fall auf.

   Bewertung D7: 5 Punkte, da 2 Doppel

   Beispiel für diese Variante:
   In der mittleren Zeile der linken Box (OL) können 1 und 7 nicht vorkommen; in der dritten Zeile können 4 und 7 nicht in der rechten Box (OR) liegen: Die einzige Zahl an der mit kleinem x markierten Stelle kann also nur die den beiden Doppeln gemeinsame Zahl 7 sein.

   8 3 17 6 4 2 1 6 7 6 5 17+47 3 8 47 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Variante D8:
   Beim Auftreten von zwei offensichtlichen und gleichen 2-Tupeln in drei Ecken eines Ausschluss-Rechtecks (in zwei Zeilen, zwei Spalten und zwei Boxen) kann die nicht besetzte Ecke eventuell einen einzigen möglichen Kandidaten haben, wobei die Kandidaten des 2-Tupels als sichtbar angesehen werden (ähnlich D0).

   Bewertung D8: 5 Punkte, da 2 Doppel

   Beispiel für diese Variante:
   Es gibt fast ein offensichtliches Ausschluss-Rechteck mit den Resten 29 in Zeile 1 und 6, und in Spalte 2 und 3, und in BOX OL und ML, wobei in Zeile 1 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) der Rest 239 möglich ist, d.h. von dieser Zelle aus können alle Zahlen außer 2, 3 und 9 gesehen werden. Wäre aber in dieser Zelle eine 2 oder eine 9, läge wegen der eindeutigen Lösbarkeit eines Sudokus ein Ausschluss-Problem vom einfachen Typ 1 vor (siehe unter Ausschluss-Rechtecke). Also kann nur die Zahl 3 der Wert für diese Zelle sein.

   29   4 5 6 1 9 8 4 3 1 2 4 7 8 8   29     29   4 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   

   Beispiele mit vielen D-Fällen

   17 D-Fälle (mit D0, D1-3 und D7): 000000000000001002003000040000000000000050360070002000000000007005630000020807001

   14 D-Fälle, darunter D8: 009462810400000005000850020001000030000009600607385000700040080908700040000000700

   1 D0-Fall mit "UND": 730002405040006018000405000897000600000000000000000541008307900270600030300800070

   3 D0-Fälle: 100605000000040001000300200560102400008400300401000000006000920090000603320000000

   8 D-Fälle (dabei D2 mit "UND" bei 6 Punkten): 000000000000001002003004050000000001005036000007000008000070000080000000210000490

   3 D7-Fälle: 000000000000000012003045000000003000000100607005000400000006500020000000710800000

   4 D8-Fälle: 005000820100094000300250000520001000000500048000400230000610007013000500260000400

      

   5. Vollständige Ausdünnung mit einem alleine auftretendem Kandidaten: Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten mehrere Reste (Kandidatenliste) so weit verkleinert, dass ein bestimmter Kandidat nur noch an einer einzigen Stelle innerhalb der Reste einer Zeile, einer Spalte oder einer Box vorkommt, ist diese Zahl Lösung für diese Stelle (Kennung E1/E2/E3 analog A1/A2/A3).

   Bewertung E1/E2/E3: 0 bis 1 Punkte (bei 1-4, 5-19 sichtbaren Zahlen) innerhalb Zeilen/Spalten/Boxen; Farbmarkierung: Lila

   Ausdünnung:
   Hier wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Reste (das sind die Kandidaten, also die möglichen Zahlen für die jeweilige Stelle) zu lösen (Methoden A, B, C und D). Kommt man damit nicht weiter, muss man für jede freie Stelle alle Zahlen aufschreiben, die für diese Stelle in Frage kommen (also die dafür überhaupt noch möglichen Zahlen): Das sind die Kandidaten für die jeweilige Stelle, die hier als Ganzes "Rest" genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen, unterhalb der Eingabefelder) geschrieben werden.
   Danach versucht man, diese Reste so lange "auszudünnen", also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Stelle kommt (Methoden E und F). Die Ausdünnmethoden I bis VI werden im nächsten Abschnitt ausführlich beschrieben.

   Beispiel für den Fall (E1):
   Nach der Ausdünnmethode II (N-Tupel, siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) hat man z.B. in der oberen rechten Box (OR) in Spalte 9 das Reste-Paar 79 zwei Mal (hier ohne genaue Begründung) gefunden. Die Zahlen 7 und 9 müssen also an diesen beiden Stellen auftreten. Damit können in allen anderen Resten (Kandidatenlisten) dieser Box die Zahlen 7 und 9 gestrichen werden (mit [zahl] markiert). Da nun in Zeile 1 nur noch an einer einzigen Stelle der Kandidat 7 (Zeile 1 und Spalte 4 - mit kleinem x markiert) auftritt, kann er dort gesetzt werden.

   2 6 4 157 9 15 15[7] 8 3 1579 1579 1579 2 3578 1358 6 4 79 3 8 1579 1357 6 4 15[7][9] 2 79 6 2 8 1 8 1 7 5 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

      

   6. Vollständige Ausdünnung mit einem einzig möglichen Kandidaten (einstelliger Rest): Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten einen Rest so weit verkleinert, dass er nur noch aus einer Zahl besteht, ist diese Zahl die Lösung für die betrachtete Stelle (Kennung F0 analog B0).

   Bewertung F0: 0 Punkte bei letzter Möglichkeit, 0 bis 1 Punkte (bei 1-4, 5-19 sichtbaren Zahlen) bei einziger Möglichkeit; Farbmarkierung: Braun

   Beispiel für F0:
   Nach der Ausdünnmethode I (Box-Test, siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) kommt die Zahl 9 innerhalb der zweiten Zeile nur in der ersten Box (OL) vor: Daher muss die 9 dort sein (auch wenn man die Position innerhalb der zweiten Zeile noch nicht weiß) - sie kann also nicht in der dritten Zeile dieser Box noch einmal vorkommen. Daher kann man aus den Resten dieser Zeile in der Box OL den Kandidaten 9 streichen.
   Damit bleibt an der Position Zeile 3 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) nur noch die 3 als Kandidat übrig. Also hat man einen eindeutigen Rest an dieser Stelle gefunden und kann die Zahl 3 dort setzen.

   5 246 36 9 8 7 1234 1234 1234 1 279 379 23 23 4 8 6 5 8 24[9] 3[9] 1 6 5 7 2349 2349 4 3 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    

   ---

    

   Sechs Methoden zur Ausdünnung der Reste (Kandidatenliste) (I bis VI)

   Der Begriff der Ausdünnung zur Verkürzung der Reste (Kandidatenliste) wurde im vorherigen Abschnitt unter Methode E schon kurz erläutert (Verkleinerung der Liste der für eine Zelle nur noch möglichen Kandidaten durch verschiedene Ausdünn-Methoden). Im Allgemeinen sind, um eine Lösung zu finden, immer mehrere Ausdünnschritte notwendig (im nicht-synchronen Fall oft 5 bis 20 Ausdünnschritte, aber es wurden auch schon 30 Ausdünnschritte direkt nacheinander, ehe eine Zahl gesetzt werden konnte, beobachtet!). Manche Schritte helfen dabei nicht zur Lösungsfindung, aber das weiß man vorher nicht.

   Beispiele für Sudokus, bei denen sehr viele verschiedene Ausdünn-Methoden benutzt werden:

   Ohne Bowman's Bingo (etwa 2.5 sec), 39 Ausdünnschritte: 000500000060001004005960001009000040001840705000002000002085103000000000070000600

   Mit Bowman's Bingo (etwa 6 sec), 25 Ausdünnschritte:: 200000500090400000106000007700300000080050000009001060070500300002030010400006809

   Das Aufschreiben der möglichen Kandidaten von Hand (!) ist aufwändig und fehleranfällig; dafür werden 25 % der Anzahl der Kandidaten als Extra-Punkte angerechnet.

   In den folgenden Beispielen werden oft nur Teile eines Sudokus mit entsprechenden Resten dargestellt, um das Ganze übersichtlicher zu machen; es sind Ausschnitte aus aktuellen Sudokus.

    
   1. Test der Kandidaten jeder Zelle (Reste) innerhalb einer Box und innerhalb einer Zeile/Spalte: Kommt innerhalb einer Zeile bzw. Spalte einer Box ein Kandidat in mehreren Feldern vor, kann man eventuell diesen Kandidaten in anderen Feldern streichen, entweder wenn dieser Kandidat in den anderen Feldern der betrachteten Box nicht vorkommt (dann kann er aus den anderen Feldern der Zeile bzw. Spalte gestrichen werden: Zeilen-/Spalten-Test) oder wenn dieser Kandidat in den anderen Feldern der betrachteten Zeile bzw. Spalte nicht mehr vorkommt (dann kann er aus den anderen Feldern der Box gestrichen werden: Box-Test).

      

   1. Zeilen-/Spalten-Test der Reste innerhalb einer Box (Block/Line Interaction, Pointing): Man sieht in den Resten nach, ob innerhalb einer Box eine Zahl vorkommt, die nur genau in einer Zeile bzw. Spalte dieser Box auftaucht - diese Zahl muss dann in dieser Zeile bzw. Spalte dieser Box stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist). Dann kann man in den anderen Resten dieser Zeile bzw. Spalte außerhalb der Box diese Zahl streichen.
   
   Bewertung: 3 Punkte.

   Beispiel:

   3 789 5 12789 12489 124789 1479 1479 6 178 4 1789 5 1389 6 1379 2 1379 6 79 2 1379 1349 13479 8 134579 134579 9 1 4 7 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist in den Resten der Box OL nur in der zweiten Zeile vorhanden (rot gefärbter Rest), nicht in den anderen Zeilen dieser Box. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile in den anderen beiden Boxen diese Zahl streichen (durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

   3 789 5 12789 12489 124789 1479 1479 6 (1)78 4 (1)789 5 [1]389 6 [1]379 2 [1]379 6 79 2 1379 1349 13479 8 134579 134579 9 1 4 7 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   

   Beispiele mit vielen Zeilen-/Spalten-Tests

   11 Zeilen-/Spalten-Tests: 302000040070085000000000000090060800000200030000100000000009507200400000100000000

   15 Zeilen-/Spalten-Tests: 000123000004000500060000070300008004100000002700900006080000090002000300000845000

   18 Zeilen-/Spalten-Tests: 700200000000600800900000500060090070030050020080010040004000006005003000000007001

      

   2. Box-Test der Reste in einer Zeile oder Spalte (Line/Block Interaction, Claiming): Man sieht in den Resten einer Box nach, ob innerhalb einer Zeile bzw. Spalte eine Zahl vorkommt, die nur genau in dieser Box auftaucht. Diese Zahl muss also innerhalb dieser Box in der gefundenen Zeile bzw. Spalte stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist), sie kann dann aber aus den Kandidaten der anderen Zeilen bzw. Spalten innerhalb dieser Box gestrichen werden.
   
   Bewertung: 3 Punkte.

   Beispiel:

   28 5 3 4 7 9 12 6 128 7 1289 12689 136 136 5 1239 12389 4 4 19 169 8 136 2 1359 7 1359 1 6 8 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist innerhalb der ersten Zeile nur in den Resten der rechten Box OR vorhanden (rot gefärbter Rest). Also kann man in den anderen Zeilen dieser Box diese Zahl aus den Resten streichen - das wird auch hier durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben. Damit bleibt übrig:

   28 5 3 4 7 9 (1)2 6 (1)28 7 1289 12689 136 136 5 [1]239 [1]2389 4 4 19 169 8 136 2 [1]359 7 [1]359 1 6 8 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   

   Beispiele mit vielen Box-Tests

   2 Box-Tests: 000000000000000012003045000000000403010000000600700000000100500004000800700260000

   6 Box-Tests: 000045020400300000002080600000016080700000100050730000540000870000508043070000000

   9 Box-Tests: 000000000000000012003045000000006300010000000720080090000270000004000500080000000

      

   1. N-Tupel (Naked Pair, Hidden Pair, Naked Triple, Hidden Triple, Naked Quadruple, Hidden Quadruple): Man sucht in einer Zeile, Spalte oder Box nach N-Tupel, also danach, dass bestimmte Kandidaten an nur wenigen Stellen auftreten: Genauer heißt das, dass man N verschiedene Zahlen und dazu N Felder innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box sucht, in denen diese N Kandidaten auftreten, diese Kandidaten aber nicht in den anderen Feldern der untersuchten Zeile, Spalte oder Box stehen. Wenn an den N Stellen alle oder ein Teil der N betrachteten Kandidaten stehen, können diese Kandidaten nur an diesen N Stellen auftreten (wobei die Verteilung noch unbekannt ist); diese Kandidaten können dann aber aus den anderen Feldern gestrichen werden. Sind an diesen N Stellen keine anderen Zahlen zu finden, ist das ein direktes N-Tupel.
      Liegen in den N Feldern nicht nur die N verschiedenen Kandidaten, sondern auch noch andere Zahlen, wobei die N Kandidaten aber nicht außerhalb dieser N Feldern (der gleichen Zeile, Spalte oder Box) sein dürfen, so hat man ein "Verstecktes N-Tupel".
   
   Es gibt 2-Tupel (Doppel), 3-Tupel (Tripel), 4-Tupel (Quadrupel), 5-Tupel (Pentupel), 6-Tupel (Sextupel) und 7-Tupel (Septupel) - 8-Tupel machen keinen Sinn, da dann die neunte Zahl eindeutig ist und somit direkt gefunden werden kann. Zu jedem gefundenen N-Tupel gehört ein entsprechendes Verstecktes M-Tupel (mit den M anderen Kandidaten), wobei N+M gleich der Anzahl der freien Felder innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box ist. Sind die N Kandidaten aus den anderen Resten gestrichen worden, wird aus dem Versteckten M-Tupel ein normales M-Tupel (im ersten Beispiel gibt es zu dem Doppel 79 das Versteckte Tripel 345).

   Bewertung: 2, 5, 8, 11 (und theoretisch 14 und 17) Punkte, also 3*N-4 Punkte (N ist die Länge des direktes N-Tupels), für ein Verstecktes M-Tupel gibt es 8, 11 (und theoretisch 14, 17 u.s.w.), also 3*M+2 Punkte - insgesamt zählt aber die kleinere Punktzahl.

   PS: Ein 2-Tupel (Doppel) - in der Sudoku-Literatur fälschlicherweise "Paar" geannt - besteht also aus 2 Paaren, ein 3-Tupel (Tripel) aus 3 Paaren oder Trios (Zelle mit 3 Kandidaten), u.s.w..

   Einfaches Beispiel mit 2-Tupel (Doppel):

   6 79 2 79 1 3479 8 34579 34579 189 4 179 5 3789 6 1379 2 1379 3 1789 5 2789 24789 2479 1479 1479 6 7 8 4 3 8 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Hier findet man z.B. in der ersten Zeile das 2-Tupel 79 (Doppel: 79, 79), als rot gefärbte Reste markiert - bzw. das Versteckte 3-Tupel 345 (Tripel: 34, 345, 345); die beiden Kandidaten 7 und 9 müssen also an den beiden Stellen des Doppels sein. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile diese beiden Zahlen streichen (wieder durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

   6 79 2 79 1 34[7][9] 8 345[7][9] 345[7][9] 189 4 179 5 3789 6 1379 2 1379 3 1789 5 2789 24789 2479 1479 1479 6 7 8 4 3 8 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   Kurzes Beispiel mit 3-Tupel (Tripel):
   Hier findet man in der Box OM (und in der 5. Spalte) das 3-Tupel 235 (Tripel: 235, 23, 25). Damit können in allen anderen Resten dieser Box (und in der 5. Spalte) die Kandidaten 2, 3 und 5 gestrichen werden.

   4 [2][3][5]7 235 9 1 1 6 23 8 5 3 1[2]4[5]7 25 1[2]4[5]7 7 4 ... ... ... ... 1 ... ... ... ...

   Beispiel mit einem Versteckten 3-Tupel (Tripel):
   Hier findet man in Zeile 1 in den Spalten 1, 2 und 9 das Versteckte 3-Tupel 349 (Tripel: 34789,3489,23689). Damit können in diesen Zellen die zusätzlichen Kandidaten 2, 6, 7 und 8 gestrichen werden. Dazu gehört das 6-Tupel (Sextupel) 125678 (58,5678,167,158,28,268). Da das 6-Tupel 14 Punkte wert ist, das Versteckte 3-Tupel aber 11 Punkte, wird der kleinere Wert 11 als Punktzahl benutzt. Daher sind Versteckte N-Tupel nur bis N = 3 sinnvoll.

   34[7][8]9 34[8]9 58 5678 167 158 28 268 [2]3[6][8]9 3578 38 1 2 67 9 4 568 3568 589 6 2 3 58 4 7 1 589 189 2 4 5789 179 158 6 3 78 368 5 7 68 346 238 1 9 248 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   Beispiel mit 4-Tupel (Quadrupel):

   Relativ häufig (in etwa 10% aller N-Tupel-Fälle) findet man noch 4-Tupel, aber 5-Tupel, 6-Tupel und 7-Tupel sind sowohl noch seltener (1-2 %) als auch schwieriger zu erkennen. Dann kann man aber eventuell leichter ein Verstecktes M-Tupel sehen. Liegt in einer Zeile, Spalte oder Box mit N+M Kandidaten ein N-Tupel vor, so gibt es immer auch ein Verstecktes M-Tupel. So gibt es im obigen Beispiel in der Box OM das (triviale) Versteckte 3-Tupel 147 (in 2357, 12457, 12457). Bei der Bewertung werden aber im Allgemeinen die direkten N-Tupel vorgezogen, da sie einfacher zu erkennen sind.

   235689 1 5689 4589 4789 3589 3467 2368 23468 23789 23789 4 189 6 1389 5 238 1238 3568 3568 568 2 147[8] 1[3][5][8] 1[3]4[6]7 368 9 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   In diesem Beispiel findet man in der 3. Zeile das 4-Tupel 3568 (Quadrupel: 3568, 3568, 568, 368). Damit können in allen anderen Resten dieser Zeile die Kandidaten 3, 5, 6 und 8 gestrichen werden.

    
   NEU: Entferntes Doppel im Block (Chute Remote Pairs von Andy Potvin). Man sucht in einem waagrechten (bzw. senkrechten) Block nach zwei Paaren (Zellen mit zwei gleichen Kandidaten) in zwei verschiedenen Zeilen (bzw. Spalten), die sich also nicht gegenseitig sehen.
   Dann betrachtet man die nicht benutzte Zeile (bzw. Spalte) in der nicht benutzten Box. Liegt dort nur einer der Kandidaten vor, kann er in den von den beiden Paar-Zellen aus sichtbaren Zellen gestrichen werden (Begründung siehe Beispiel).
   Sind dort aber beide Kandidaten vorhanden, kann nichts gestrichen werden.
   Ist keiner der Kandidaten dort vorhanden, können beide Kandidaten in den sichtbaren Zellen gestrichen werden; in diesem Fall können auch noch die entsprechenden Kandidaten in den Zeilen (bzw. Spalten), in denen die Paar-Zellen liegen, gestrichen werden (außer den Paar-Zellen selbst); siehe unten stehendes Beispiel.

   Bewertung: 3 Punkte.

   Quelle: SudokuWiki von Andrew Stuart: Chute_Remote_Pairs

    

   Einfaches Beispiel:

   359 2 6 7 35 8 1 59 4 58 1 4 6 9 2 58 7 3 3589 7 59 345 1 45 29 2589 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Hier findet man das Doppel 59 in Zeile 1/Box 3 (1:8)59 und in Zeile 3/Box 1 (3:3)59. In der nicht betrachteten Zeile 2 liegt in der nicht betrachteten (mittleren) Box 2 der Kandidat 9, aber nicht die 5, die also in dieser Zeile entweder in Box 1 oder Box 3 liegen muss. Wäre nun aber in der Zeile 1/Box 1 eine 9 wie in (1:1)359, dann kann in beiden entfernten Paaren keine 9 sein, dort muss dann eine 5 stehen. Da aber in der mittleren Zeile entweder in Box 1 oder in Box 3 eine 5 sein muss (hier in den Zellen (2:1)58 oder (2:7)58), führt das zum Widerspruch - das Gleiche gilt, wenn man annimmt, dass in Zeile 3/Box 3 eine 9 liegt wie in (3:7)29 oder (3:8)2589. Somit kann man die 9 in den von beiden entfernten Paaren aus sichtbaren Zellen in Zeile 1 (1:1)[9] und in Zeile 3 in (3:7)[9] und (3:8)[9] streichen. Damit bleibt übrig:

   35[9] 2 6 7 35 8 1 59 4 58 1 4 6 9 2 58 7 3 3589 7 59 345 1 45 2[9] 258[9] 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    

   Beispiel mit Bonus-Streichungen:

   134 2 34 1345 13569 13469 ... 134 5 6 7 8 1349 ... 7 8 9 13 2 136 ... 26 1 27 8 4 5 ... 469 4679 5 13 139 2 ... 49 3 8 6 19 7 ... 23469 469 234 1345 7 8 ... 5 479 347 2 13 134 ... 8 467 1 9 356 346 ...

   
   Das Entfernte Doppel im Block wird hier den möglichen Doppeln und Tripeln vorgezogen, da dadurch 7 Kandidaten auf einmal gestrichen werden können. Man findet im zweiten senkrechten Block das entfernte Doppel 13 in Spalte 4 bei (3:4)13 und in Spalte 5 bei (8:5)13. In der nicht betrachteten 6. Spalte liegt in der mittleren nicht betrachteten Box keiner der beiden Kandidaten. Damit kann man beide Kandidaten in den von den Paar-Zellen aus sichtbaren Zellen in Zeile 1 und Spalte 5 und in Zeile 7 und Spalte 4 streichen (blau markiert).

   Bonus-Streichungen: Darüber hinaus können diese Kandidaten auch in Zeile 1 und Spalte 4 gestrichen werden (grün markiert), obwohl diese Zelle (1:4) nicht von (8:5) aus gesehen wird: Denn wenn z.B. der Kandidat 1 in (1:4)[1] wäre - also in Spalte 4, muss die 1 in Spalte 5 in der mittleren Box liegen, da sie dort nicht in Spalte 6 ist. Daraus folgt wegen der jeweils gesetzten 1 insgesamt: Es muss der Kandidat 3 in beiden Paaren des Entfernten Doppels gesetzt sein, d.h., in der mittleren Box gibt es dann keine Zelle mit einer 3, was ein Widerspruch ist.
   Das gilt analog auch für den Kandidaten 3 in (1:4), aber auch für die 3 in (9:5)[3], die nicht von (1:4) aus gesehen wird: Denn ist dort die 3 gesetzt, muss in der mittleren Box die 3 in Spalte 4 liegen, was bedeutet, weil dann in allen Paaren des Entfernten Doppels eine 1 stehen muss, weshalb in dieser Box keine 1 sein kann, was also wieder ein Widerspruch ist.

   Allgemein heißt das: Alle in den (hier) Spalten liegenden Kandidaten des Entfernten Doppels können in den (hier) Spalten, in denen das betrachtete Doppel liegt, gestrichen werden - außer natürlich die des Doppels selbst; damit sind maximal 8 zusätzliche Streichungen möglich.

   134 2 34 [1][3]45 [1][3]569 13469 ... 134 5 6 7 8 1349 ... 7 8 9 13 2 136 ... 26 1 27 8 4 5 ... 469 4679 5 13 139 2 ... 49 3 8 6 19 7 ... 23469 469 234 [1][3]45 7 8 ... 5 479 347 2 13 134 ... 8 467 1 9 [3]56 346 ...

   
   

   Beispiele mit vielen N-Tupeln

   Beispiele mit 2-Tupeln:

   4 echte 2-Tupel: 000000000000000012003045000000003006020700000400000500000600000005000000800210007

   6 echte und 2 Versteckte 2-Tupel: 003000600060007080900080007000200030004010900050004000100020003020100040007000800

   Beispiele mit 3-Tupeln:

   4 echte 3-Tupel: 000057000006100000089000040200710300300800092000000000042030008000900060031000000

   3 echte und 5 Versteckte 3-Tupel: 400080003000000000002605900008700600300000005004009200006908500000000000800050004

   9 echte 3-Tupel: 800301002000000000001020900200000008006070100300000004005090600000000000400105003

   Beispiele mit 4-Tupeln:

   5 echte 4-Tupel: 020400000050000003009600100200000000000906001030008507004000002000000806008010035

   1 echtes und 10 Versteckte 4-Tupel: 001023004050600007800000000000500010020080090030007000000000006400006080600910200

   9 echte 4-Tupel: 000000102030004050006070000000300040001020700080005000000010900050800030209000000

   Beispiel mit 5-Tupeln:

   5 echte 5-Tupel: 100407080006009030700200050231000900005000401000000000000010000000008002890700000

   1 echtes und 5 Versteckte 5-Tupel: 020000009000009103000103405008600000000000070900530000005800000600000000074910200

   Beispiel mit 6-Tupeln:

   2 echte 6-Tupel: 020007009400009000080006010200000850000500002090230006000010067500800090000000000

   2 echte und 1 Verstecktes 6-Tupel: 000000000000102340000304250067000810000000000045000760073601000012703000000000000

   Beispiel mit 7-Tupeln:

   Echtes 7-Tupel: 000000000000000012003004000000005300010060000024000070000120006000800000007000400

   2 versteckte 7-Tupel: 000000000001203400053607810037000560000000000062000180076805230004102600000000000

   Beispiele mit Entfernten Doppeln im Block:

   Mit 5 Streichungen: 000010320500000760004000500006005000090004070200960050940200001007000000000400900

   Mit 2 normalen und 4 Bonus-Streichungen: 000000000000000012000034000000000000001200000005006400000700005040008600360100000

   5 Mal Auftreten: 000000002000001350090050000000010048003000020009080500000506000908020060402000930

   Mit 7 Bonus-Streichungen: 000000000000000012003045000000100000000200060007000004000870030020000000405000700

   Mit 8 Streichungen und zusätzlich 8 Bonus-Streichungen: 000000000400089000780030000205000070094502000000100000030040200002900400900600508

   Mit 10 Streichungen (inkl. Bonus): 040908020020035800000400900008009400000070030305800700004000300750000000800140000

   Mit 18 Streichungen (inkl. Bonus): 010002000000080000723041800030500210100400600060000408400000000000010760007003000

      

7. Goldene Kette (Golden Chain, XY-Chain, Double Implication Chain): Hier betrachtet man alle Zellen mit Paaren, und zwar sucht man jeweils zwei Paare, die in der gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen und genau einen gemeinsamen Kandidaten haben. Eine Goldene Kette ist dann eine zusammenhängende Folge von solchen Paaren, also von der Form ab, bc, cd, ..., xy, yz, za. Wenn die Zahl des ersten Paares, die nicht im zweiten Paar vorkommt (hier also a) mit der Zahl des letzten Paares, die nicht im vorletzten Paar vorkommt (hier also auch a), übereinstimmt, dann kann man alle Kandidaten a streichen, die sowohl von dem ersten als auch dem letzten Paar aus "gesehen" werden, also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen.

   Eine Goldene Kette der Länge 2 ist identisch mit einem 2-Tupel (Doppel): ab, ba. Goldene Ketten länger als 12 sind sehr selten (weit unter 0.1 %).

   Eine Goldene Kette kann geschlossen sein, wenn jede der betroffenen Zellen als Ausgangspunkt dienen kann - dadurch kann man mehr Kandidaten streichen.

   Eine Erweiterung der Goldenen Kette der Länge 3 ist der XYZ-Wing, bei dem die mittlere Zelle 3 Kandidaten besitzt. Man kann diese Methode auch als ein 3-Tupel (Tripel) mit einem Knick auffassen. Nähere Beschreibung siehe weiter unten.

   Eine Erweiterung des XYZ-Wings ist der WXYZ-Wing, bei dem 4 Zellen insgesamt 4 verschiedene Kandidaten besitzen. Man kann diese Methode auch als ein 4-Tupel (Quadrupel) mit einem Knick auffassen. Nähere Beschreibung ebenso siehe weiter unten.

   Bewertung: 6, 7, 8, 9, usw. bis 17 Punkte, also N+3 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 3 bis 14; längere Goldene Ketten sind zwar möglich, aber wenig sinnvoll, weil sie extrem selten auch wirkend sein wären). Der XYZ-Wing erhält 7 Punkte (statt 6 bei der 3er-Goldenen Kette); der WXYZ-Wing 10 Punkte (3 Punkte mehr als der XYZ-Wing), aber 11 Punkte, wenn es die erweiterte Form ist.

   Literatur:
   Download des Artikels von Eduyng Castan: http://www.coverpop.com/sfiles/Sudoku-GoldenChains.pdf (nicht mehr erreichbar)
   Ähnlicher Artikel von Mihail Iusut: http://www.scanraid.com/sudoku/Remote_Pairs_and_XY_Chains.pdf
   Beschreibung des WXYZ-Wings von Andrew Stuart: https://www.sudokuwiki.org/WXYZ_Wing

      

   Beispiel einer Goldenen Kette:

   8 271-A 6 4 9 5 372 23 1 1[2] 3 124 8 7 6 5 9 24 5 9 47 23 123 12 8 6 47 124-E 6 9 237 4 27 133 5 8 7 1[2] 8 5 23 9 4 13 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   Die gefundene Goldene Kette für die Zahl 2 ist: (1:2)27 - (1:7)73 - (4:7)31 - (4:1)12. Beachte, dass hier die Reihenfolge der Zahlen innerhalb eines Doppels dem Verkettungs-Prinzip angepasst ist: Also 73 statt der sonst aufsteigenden Reihenfolge 37 und 31 statt sonst 13. Das jeweilige Ende der Goldenen Kette ist also die Zahl 2, die daher in Zelle (2:1), also Zeile 2 und Spalte 1, und in Zelle (5:2), also Zeile 5 und Spalte 2, gestrichen werden kann.
   Identisch mit der gefundenen Goldenen Kette ist auch die in umgekehrter Reihenfolge: (4:1)21 - (4:7)13 - (1:7)37 - (1:2)72.

      

   Beispiel eines XYZ-Wings:

   2892 6 278[9] 291 38 1 3789 5 4 4 5 893 6 38 7 389 1 2 1 2789 3 29 4 5 789 6 789 289 289 289 3 1 6 4 7 5 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   Wenn in der mittleren Zelle ("Knickstelle") des XYZ-Wings (Zeile 1, Spalte 1) die 9 auftritt, kann sie in Zeile 1 und Spalte 3 (in der Box) gestrichen werden. Hat die mittlere Zelle aber den Wert 2, muss die 9 in der ersten Zelle des XYZ-Wings (Zeile 1, Spalte 4) stehen; umgekehrt gilt, wenn die mittlere Zelle den Wert 8 hat, muss die 9 in der dritten Zelle des XYZ-Wings (Zeile 2, Spalte 3) stehen. Auch in diesen beiden Fällen kann die 9 in von allen drei Stellen aus sichtbaren Zellen, hier nur Zeile 1 und Spalte 3, gestrichen werden. Ohne der 9 in Zeile 1 und Spalte 1 hätte man die 3er-Goldene Kette (1:4)92 - (1:1)28 - (2:3)89 mit der gleichen Folge, dass die 9 in Zeile 1 und Spalte 3 gestrichen werden kann.

   Hier sieht man auch, dass diese Methode auch auf 4 (dann WXYZ-Wing genannt) oder mehr Kandidaten ausgeweitet werden kann. Die WXYZ-Methode ist - insbesondere durch die erweiterte Version - 4 Mal häufiger als die XYZ-Methode, bei der die Erweiterung nichts bringt.

      

   Beispiel eines Standard-WXYZ-Wings, wobei diese aber relativ selten sind (3 % aller WXYZ-Wings):

   561 9 672 45673 4[6]78 3 1 2 468 1 267 4 267 9 2678 5 36 368 3 25 8 1 464 25 46 7 9 7 1 236 9 346 56 2346 8 456 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   Die Kandidaten in der "Knickstelle" sind 4567; wäre 4 richtig, folgt daraus eine 6 in Zeile 3 und Spalte 5; wäre 5 richtig, folgt aber eine 6 in Zeile 1 und Spalte 1; wäre 7 richtig, folgt eine 6 in Zeile 1 und Spalte 3. Und wäre 6 richtig, kann sowieso keine 6 in Zeile 1 und Spalte 5 sein. In allen Fällen ist eine 6 in Zeile 1 und Spalte 5 nicht möglich.

   Beispiel eines erweiterten WXYZ-Wings:

   Die Definition des erweiterten WXYZ-Wings besagt, dass genau einer der 4 Kandidaten des Wings nicht alle Vorkommen dieses Kandidaten im WXYZ-Wing sehen darf, während die anderen 3 Kandidaten sich alle gegenseitig sehen sollen.

   2349 3479 1 5 2379 6 29 38 89 23689 389 291 1 2392 4 2693 7 5 2369 3679 5 [3]78 2[3]79 [3]78 4 364 1 349 349 49 6 8 1 5 2 7 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   Die Kandidaten 2, 6 und 9 sehen sich alle gegenseitig (gleiche Zeile oder gleiche Box), Kandidat 3 liegt aber in verschiedenen Boxen in verschiedenen Zeilen. Damit können alle Kandidaten 3 der anderen Zellen, die von diesen (beiden) Kandidaten 3 aus gesehen werden, gelöscht werden. Bei dieser Variante können oft viele Kandidaten gestrichen werden.

   
   

   Beispiele mit vielen Goldenen Ketten/XYZ-Wings/WXYZ-Wings

   Beispiele mit Goldenen Ketten der Länge 3:

   Mit 3 Goldenen Ketten: 030008060000009203750000010000100000000002000690000740300000850500200100014900000

   Mit 4 Goldenen Ketten: 001800705900250003200300000060003009302000040780402630010000000007000080009000100

   Beispiele mit XYZ-Wings:

   Mit 1 XYZ-Wing mit 2 streichbaren Kandidaten: 000000700050000013780203000000067000000920040001000800300004906600000000002070005

   Mit 2 XYZ-Wings: 020006780000009003700020500034008601000040200000600008008000070500000410600001002

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 4:

   Mit 3 (von 8) Goldenen Ketten: 023000000000100007709060050000605000390000060018000000000801700000004390000300020

   Mit 8 Goldenen Ketten inklusive 2 geschlossenen Goldenen Ketten: 003000000400709001080100000030008000005060002960000050004000806000027043600000090

   Beispiele mit WXYZ-Wings:

   Mit 1 WXYZ-Wing mit 2 streichbaren Kandidaten: 000000000000000012003004000000000000000005403160070000000000305000100800070620000

   Mit 2 WXYZ-Wings mit 1 streichbaren Kandidaten: 000006000400089100089100500200097008000002000805000200300970000000001900040060072

   Mit 3 Erweiterten WXYZ-Wings: 003000780450000000009000000007905000060001200000000036000012008500830601008007300

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 5:

   Mit 5 (Offenen und Geschlossenen) Goldenen Ketten: 000040308080031025040000000050090010000750000970000006706000000094600102130008697

   Mit 12 (von 18) Goldenen Ketten: 000057680000180000009000040240000050300010000000540170502000300010000400000900700

   Mit 2 Geschlossenen Goldenen Ketten: 000000000000000012000034000000000300005000001067100000000870060340000080900000000

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 6:

   Mit 5 (von 14) Goldenen Ketten: 100050000000009003000020465030600050007000200010002000002001000570360090900070030

   Mit 6 (von 21) Goldenen Ketten, darunter 1 Geschlossenen Goldene Kette: 003000600400089200080602100000568003000000006090004002005000900000010070004700000

   Mit Goldenen Ketten bis Länge 7:

   Mit 2 (von 14) Goldenen Ketten: 000040030210000000860500000000000000007030600000000108000000040005000009000801000

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 8:

   Mit 3 (von 23) Goldenen Ketten: 650000030000000900008029010000007086500080000200600300700100000060000243400000005

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 9:

   Mit 1 (von 7) Goldenen Kette: 000000000000001002034000050000000006007000100008450000000700090060009000210000000

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 10:

   Mit 2 (von 8) Goldenen Ketten: 020400000450080030709100004030007408600500000095000000000600200000094807900000000

   Mit Goldenen Ketten bis Länge 11:

   Mit 4 (von 6) Goldenen Ketten: 000870900006054300508009006709000610010000700002000004060010530005907000001085400

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 12:

   Mit 2 (von 26) Goldenen Ketten: 820501004000600001000040000100706902007010003200050070703900008000000349060030000

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 13:

   Mit 2 (von 21) Goldenen Ketten: 000090006300010400000300109900061002010000045000504700050009800460050007208000010

   Beispiele mit Goldenen Ketten bis Länge 14:

   Mit 1 (von 22) Goldenen Kette: 530700006000008730906300080000005000001000025204000000000000900107003000060400810

   Mit Goldenen Ketten bis Länge 15:

   Mit 1 (von 20) Goldenen Kette: 210000038000000000600314007003407600080000040006109200300576001000000000970000064

   Mit Goldenen Ketten bis Länge 16:

   Mit 1 (von 11) Goldenen Kette: 000390670000000800260007005000050140000608000095070000700900084003000000086031000

   Beispiele mit vielen Goldenen Ketten:

   Mit 35 wirkenden von 50 Goldenen Ketten (maximal 15 lang) in etwa 2.5 sec, mit 10 Geschlossenen Goldenen Ketten bis Länge 12: 103050000050009000080000004000060008008000072000290310004072000000004050030000800

   24 Goldene Ketten (maximal 14 lang) - davon 21 Goldene Ketten in einem Ausdünnschritt: 023056000406009100000000000004600800010000006900370040002041005070000030000000902

   Lange Goldene Ketten der Länge 20 und 21 (!) aus früherer Software ohne Beschränkung, hier daher nur die Einzelergebnisse:
   Goldene Kette für Zahl 7 gefunden (Länge 20): (2:1)72 - (1:1)21 - (1:7)12 - (3:9)24 - (2:9)46 - (2:8)68 - (2:2)84 - (3:2)48 - (3:8)81 - (3:3)17 - (3:5)72 - (9:5)21 - (9:9)12 - (7:7)26 - (5:7)61 - (4:8)16 - (4:1)65 - (4:2)51 - (8:2)12 - (8:4)27
   Goldene Kette für Zahl 2 gefunden (Länge 21): (2:4)21 - (2:6)17 - (2:1)72 - (1:1)21 - (1:7)12 - (3:9)24 - (2:9)46 - (2:8)68 - (2:2)84 - (3:2)48 - (3:8)81 - (3:3)17 - (3:5)72 - (9:5)21 - (9:9)12 - (7:7)26 - (5:7)61 - (4:8)16 - (4:1)65 - (4:2)51 - (8:2)12

      

8. Einzelzahl-Gitter (X-Wing, Swordfish, Jellyfish), Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain, X-Chain Nice Loop) und die ganz neuen Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Erweiterung der einfachen X-Wing-Methode (4 Zellen in den Ecken eines Rechtecks mit einem gemeinsamen Kandidaten, 2*2-Einzelzahl-Gitter) in zwei Richtungen: Ermittlung von 3*3- und 4*4-Einzelzahl-Gittern, und Ausbau auf fast beliebige Formen: Eine Kette aus Resten, bei denen überall ein gemeinsamer Kandidat vorkommt (das verbindendes Element).

   Holger Schrader hat auch die neue Methode der Einzelzahl-Widerspruchs-Kette gefunden. Dabei nimmt man entlang einer Kette an, dass dort eine bestimmte Zahl abwechselnd gesetzt bzw. nicht gesetzt ist und leitet daraus einen Widerspruch ab. Diese Methode ist erstaunlicherweise etwa 10 Mal häufiger einsetzbar als normale Einzelzahl-Ketten; und wegen ihrer Kürze sind sie auch gut zu erkennen.

   Einzelzahl-Kette: Man sieht für eine bestimmte Zahl in den Kandidaten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt. Hat man mehrere solcher sogenannten starken Verbindungen (strong link) gefunden, lassen sich diese eventuell dadurch so zu einer Einzelzahl-Kette verbinden, dass jeweils ein Anfang oder Ende in der gleichen Zeile, Spalte oder Box wie eine andere starke Verbindung liegen; interessant ist hierbei, dass die anderen Kandidaten der jeweiligen Reste keine Rolle spielen, egal welche und wie viele es sind. Wenn sowohl vom Anfang einer so konstruierten Kette als auch vom Ende dieser Kette ein oder mehrere Felder "gesehen" werden, die also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen, kann die bestimmte Zahl aus diesen Feldern gestrichen werden. Es gilt: Entweder liegt die bestimmte Zahl am Anfang der Kette; ist das nicht der Fall, gilt folgender Schluss: Liegt diese Zahl nicht im ersten Feld der Kette, muss sie aber im zweiten Feld liegen, da dieses eine starke Verbindung ist; dann kann sie jedoch nicht im dritten Feld sein, muss somit im vierten Feld liegen, usw. - d.h. in jedem 2*K-ten Feld der Kette muss dann die bestimmte Zahl liegen, also auch - wegen der Geradzahligkeit der Kettenglieder - im letzten Feld am Ende der Kette.
   Eine Einzelzahl-Kette kann geschlossen sein, wenn jede der betroffenen Zellen als Ausgangspunkt dienen kann - dadurch kann man mehr Kandidaten streichen.  

   NEU: Einzelzahl-Widerspruchs-Kette: Hier sieht man ebenfalls für eine bestimmte Zahl in den Kandidaten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt (starke Verbindung) oder auch mehr als zwei Mal vorkommt (schwache Verbindung). Hat man mehrere solcher Fälle gefunden, lassen sich diese eventuell zu einer Kette verbinden. Nach einer schwachen Verbindung muss aber direkt eine starke Verbindung folgen. Dann nimmt man an, dass im ersten Glied und den anderen ungeraden Stellen der Kette die Zahl gesetzt ist, in den anderen aber nicht. Das führt dann oft zu Widersprüchen, etwa dass in einer Zeile, Spalte oder Box keine solche Zahl auftreten kann oder diese Zahl mehr als einmal auftritt, weshalb daher die Zahl in allen ungeraden Kettengliedern gestrichen werden kann. Sind alle Verbindungen stark, ist es eine Kette vom Typ 1, sonst vom Typ 2, der dafür aber auch viel häufiger auftritt. Der Typ 2 bekommt als zusätzliche Information eine Folge von O und X angehägt, wobei das O für eine starke, das X für eine schwache Verbindung steht; Beispiel Typ 2OOXO. Bei Typ 2 können nur die gesetzten Zahlen der Ketten gestrichen werden, die vor dem X-Fall liegen.

   Bei Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten vom Typ 1 ist oft durch Verlängerung der Kette um ein Glied eine (echte) Einzelzahl-Kette möglich - dadurch können mehr Kandidaten gestrichen werden. Dann werden beide Ketten angegeben und die streichbaren Kandidaten aus beiden Ketten angezeigt.

   Häufigkeiten der Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Typ 1 wird zu etwa 3 % gefunden; Typ 2XO ist mit etwa 74 % am häufigsten, etwa 22 % entfallen auf die 5er-Typen 2XOOO, 2XOXO und 2OOXO; die Längen 7 und 9 werden nur zu etwa 2 % gefunden; die Länge 11 ist extrem selten.

   Bewertung Einzelzahl-Gitter: 6, 9, 12, also 3*N Punkte entsprechend der Länge N des gefundenen N*N-Gitters.
   Bewertung Einzelzahl-Ketten: 7, 9, 11, 13, 15 Punkte, also N+3 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 4 bis 12, immer geradzahlig).
   Bewertung Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: Ebenfalls 7 bis 15 Punkte, also N+4 Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 3 bis 11)

   Sonderfälle der Einzelzahl-Verfahren: Skyscraper, Turbot Fish, Two-String Kite (Long String Kite und Empty Rectangle sind Erweiterungen), hier aber nicht eingebaut.

      

   Beispiel eines 2*2-Einzelzahl-Gitters (X-Wing):

   X-Wing ist der Basistyp der Einzelzahl-Gitter- und Einzelzahl-Ketten-Methoden: Ein Rechteck von Zellen, die alle den gleichen Kandidaten haben - entweder alleine in den Zeilen oder alleine in den Spalten. Dann kann der Kandidat in den nicht im Rechteck liegenden Zellen der betroffenen Spalten bzw. Zeilen gelöscht werden, weil in 2 diagonal gegenüberliegenden Zellen des Rechtecks der Kandidat 5 vorkommen muss. Das folgende Beispiel zeigt das Zeilen-Gitter der Zahl 5: 56-56-157-157 (in Zeile 1 und Zeile 5): die Zahl 5 kann daher überall außerhalb dieses Gitters in der Spalte 2 bzw. Spalte 5 gestrichen werden:

   8 56 3 9 56 2 1 4 7 567 2[5]67 9 56 4 1 8 3 25 45 24[5] 1 7 3 8 6 9 25 1457 14[5]7 8 56 2 9 3 167 146 3 157 6 8 157 4 2 17 9 2 ... ... ... ... ... ... 5 ...

   Erweiterung der 2*2-Gitter-Methode X-Wing auf 3*3- bzw. 4*4-Gitter (mehr ist nicht notwendig, da zu einem höheren Gitter auch immer ein entsprechend kleineres gehört - ähnlich wie bei den N-Tupeln). Ein großer Vorteil dieser Gitter liegt darin, dass oft sehr viele Kandidaten gestrichen werden können.

   Beispiel eines 3*3-Einzelzahl-Gitters (Swordfish):

   3457[8]9 34891 479 1249 12469 469 5783 14586 1457[8]9 4579 49 6 3 149 8 2 145 14579 489 1 2 5 49 7 3 6 489 4689 2 3 489 45689 4569 1 7 458 467[8]9 46892 479 124[8]9 12345679 34569 584 24587 2345 478 5 1 248 23478 34 6 9 2348 123469 3469 49 4[8]9 35[8]9 3459 5785 12588 12567[8] ... ... ... ... ... ... ... ... ...

   
   In den drei Spalten 2, 7 und 8 ist der Kandidat 8 nur in den drei Zeilen 1, 5 und 7 vorhanden. Daher muss in jeder dieser Zeilen die 8 in einer der erwähnten Spalten vorkommen, kann also aus den anderen Spalten dieser drei Zeilen gestrichen werden. Ohne der 8 in den Zellen Nr. 3 (Zeile 1, Spalte 7) und Nr. 7 (Zeile 5, Spalte 8) hätte man eine (geschlossene) 6er-Einzelzahl-Kette (Nr. 1, 2, 4, 5, 8, 6).

      

   Beispiel einer Einzelzahl-Kette (Länge 6):

   2389 1 89 7 34 5 6 489 28 568 568 4 2 9 1 58 7 3 2359 2359 7 6 34 8 24 459 1 1 278 3 5 27 9 24 48 6 2459 2459 59 8 6 3 7 1 29 2789 2789 6 1 27 4 35 35 289 ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

   
   Hier untersucht man z.B. die Zahl 2: Man findet die 2 genau zwei Mal in Zeile 1 (2389-28), in Spalte 5 oder in Box MM (27-27) und in Spalte 7 (24-24), und in Box OR (28-24). Startet man zum Beispiel mit dem Doppel 27-27 in Spalte 5, kann man dieses mit dem zweiten Spaltendoppel (24-24) über Zeile 4 verbinden (die dritte 2 in dieser Zeile stört bei der Verknüpfung von starken Verbindungen nicht). Das Zeilendoppel kann man als letzten Teil der Kette in der rechten oberen Box anschließen (die starke Verbindung 28-24 ist hierbei keine Notwendigkeit) und erhält somit die Kette: (6:5)27 - (4:5)27 - (4:7)24 - (3:7)24 - (1:9)28 - (1:1)2389.
   Die Kette kann natürlich auch andersherum geschrieben werde: (1:1)2389 - (1:9)28 - (3:7)24 - (4:7)24 - (4:5)27 - (6:5)27.

   Nun gilt: In Zeile 6/Spalte 1 kann die Zahl 2 nicht stehen, denn entweder liegt wegen der gefundenen Kette die 2 in Zeile 6/Spalte 5 (Anfang der Kette) oder in Zeile 1/Spalte 1 (Ende der Kette). D.h.: Ist die 2 in Zeile 6/Spalte 5, ist alles klar; ist die 2 aber nicht in Zeile 6/Spalte 5, muss sie in Zeile 4/Spalte 5 sein (da 27-27 eine sogenannte starke Verbindung ist), kann somit nicht in Zeile 4/Spalte 7 sein, muss also in Zeile 3/Spalte 7 sein (starke Verbindung 24-24), also nicht in Zeile 1/Spalte 9, und muss daher in Zeile 1/Spalte 1 (starke Verbindung 2389-28) sein. Damit erhält man:

   23896-E 1 89 7 34 5 6 489 285 568 568 4 2 9 1 58 7 3 2359 2359 7 6 34 8 244 459 1 1 278 3 5 272 9 243 48 6 2459 2459 59 8 6 3 7 1 29 [2]789 2789 6 1 271-A 4 35 35 289 ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

    

   Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Typ 1):

   1 256 7 9 236 8 356 256 4 9 2568 3 56 4 25 1568 7 128 25 2568 4 7 1 2353 9 256 2[3]82 3 7 1269 8 26 4 156 12569 129 8 2456 126 56 9 2[3]52 134563 12456 7 245 24569 269 1 2361 7 34568 24569 23891 ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

   Hier findet man sogar 12 (!) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten mit der Zahl 3 und der Länge 3: Zum Beispiel: (hier rot markiert) (6:5)3 - (5:6)[3] - (5:7)3 und auch (6:5)3 - (1:5)[3] - (3:6)3. Bei der ersten Kette gibt es in Zeile 1 keine Möglichkeit für eine 3, da in (6:5) und (5:7) eine 3 steht; bei der zweiten Kette kann in Spalte 9 keine 3 stehen. Andere Beispiele sind z.B. auch (5:7)3 - (5:6)[3] - (3:6)3 oder (hier grün markiert) (6:9)3 - (3:9)[3] - (3:6)3 mit dem Widerspruch "Keine Möglichkeit für eine 3 in Box 2#2 (MM)".

   Beispiel einer Einzelzahl-Widerspruchs-Kette (Typ 2XO):

   279 279 8 279 5 6 3 4 1 5 3 47 47 8 1 9 6 2 12469 24691 1249 3 29 2[4]92 8 5 7 8 249 5 249 129 7 6 12 3 247 1 247 6 3 2453 25 9 8 3 29 6 8 129 259 125 7 4 ...     ...     ...     ...     4 ...     ...     ...     ...

   Startet man hier in der 3. Zeile und 2. Spalte mit der Zahl 4, kann an keiner anderen Stelle dieser Zeile eine 4 stehen, also auch nicht in Spalte 6. Diese Spalte hat aber eine starke Verbindung, so dass die 4 in Zeile 5 dieser Spalte stehen muss. Damit ist an keiner Stelle der Box 2#1 (ML) eine 4 möglich, was ein Widerspruch zu der Annahme einer 4 in (3:2) ist. Weg: (3:2)4 - (3:6)[4] - (5:6)4. Der umgekehrte Weg wie bei Typ 1 ist hier nicht möglich.

   
   

   Beispiele mit vielen Einzelzahl-Gittern/Einzelzahl-Ketten/Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten

   Beispiel mit 2*2-Einzelzahl-Gittern (X-Wing):

   Drei 2*2-Einzelzahl-Gitter mit insgesamt 10 streichbaren Kandidaten: 000050000005704100030000080001000500060020030004000900070000060009301400000080000

   Beispiel mit 3*3-Einzelzahl-Gittern:

   Drei 3*3-Einzelzahl-Gitter mit jeweils 5 streichbaren Kandidaten: 001002000000030020400500300006007002040000010800300500007004006060090000900100800

   Beispiele mit 4*4-Einzelzahl-Gittern:

   Drei 4*4-Einzelzahl-Gitter mit jeweils 8 bzw. 9 streichbaren Kandidaten: 000000000012003004056002001000040050000300600063005002000070800000900010024001006

   Ein 3*3-Zeilen- und dazugehörendes 4*4-Spalten-Einzelzahl-Gitter und ein 4*4-Zeilen- und dazugehörendes 4*4-Spalten-Einzelzahl-Gitter: 000000000000000012003004000000003005006000400070020001000050000200010000804000300

   Beispiel mit 2 Einzelzahl-Ketten der Länge 4: 000000000000000001002003040000005020010060000700000800000070006200010000504000030

   Beispiel mit 2 Einzelzahl-Ketten der Länge 6: 103000789050000000700000060008005904000002050900007002007030090000004508030500000

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Ketten der Länge 8: 800900002000000700702000604017500000000078000900130020405092008000000000000306009

   Beispiel mit 3 Einzelzahl-Ketten der Länge 10 am Ende von Schritt 20: 100407000006000203000000400270000008000024050000030006010008000600000001008070062

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Kette der Länge 12 und 2 Einzelzahl-Ketten der Länge 14 am Ende von Schritt 23: 000000789000780000009000004201000000500004018090500070340010000008000041002600005

   Beispiele mit vielen Einzelzahl-Ketten:

   5 Einzelzahl-Ketten der Längen 4 bis 8: 100000780050709020009000000000000000804062000960810000002007600590000030600001904

   9 Einzelzahl-Ketten inklusive Geschlossener Einzelzahl-Kette in Ausdünnschritt 35 mit Länge 6: 102000300040000010500006702000203400000000000008509000209300007070000060005000109

   Beispiele mit Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten:

   Beispiel mit zweimal 1 Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 und gleichzeitig 1 Einzelzahl-Kette (mit je 1 weiteren Streichung) mit der Länge 4 in Ausdünnschritt 4 und 10: 103000000000109000780030500200000008004000903000200100000900800600004005092300040

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 und gleichzeitig 1 Einzelzahl-Kette mit 3 weiteren Streichungen und mit der Länge 6: 000000600100000028000024010000000040300800000040300007002070080400008001037902060

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 und gleichzeitig 1 Einzelzahl-Kette mit 2 weiteren Streichungen und mit der Länge 10: 000000000000001002034000050000003500000040000600000001000050370102600000800000000

   Beispiel mit 3 (von 4) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 1 mit Länge 3: 120007009050109000000030040090000005300010008000070020508000000002000010040060300

   Beispiel mit 2 (von 4) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 1 mit Länge 5: 000000000000000012003004000000005600017000000820000000000280000009010030600000400

   Beispiel mit 1 (von 2) Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 mit Länge 7: 000000000000000012003456000000000400070000000120008000000001000004300500080600000

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 1 mit Länge 9: 000000000000001002003040050000000300000006701002050000000080030060000000170000400

   Beispiel mit 17 (von 70) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 2XO mit Länge 3: 000000000000001002003040050000000006000000207008050000000087090020900000160000000

   Beispiel mit 3 (von 11) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 2OOXO mit Länge 5: 001300000040006500200000090300100020000090000060002004070000005009200010000004600

   Beispiel mit 8 (von 29) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 2XOXO mit Länge 5: 000000000040800600300100028003070860000500000079200005601002000000600030500984000

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 2OOOOXO mit Länge 7: 720000804000100000030000502002005003500090000000702040000410000403000001250080000

   Beispiel mit 6 (von 22) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 2XOXOXO mit Länge 7: 000000000900700000005000910400609070000000006007002094061000350000506002500037009

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 2XOOOOOOO mit Länge 9: 000018000000034720000006000001000650070001800005900002006100500100000080000087030

   Beispiel mit 1 (von 3) Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 2XOXOXOOO mit Länge 9: 000400600000080070700000010018005006300002100000031408600300200030700000000000840

   Beispiel mit 18 Einzelzahl-Widerspruchs-Kette Typ 2 mit Länge 9: 010070300450000000003000004000600400700050020000001006600100090000090700004003000

   Beispiel mit 1 Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 2XOOOOOXOOO mit Länge 11: 000000000067000580010502060002030700000804000003050600040701020078000340000000000

   Beispiel mit 2 Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten Typ 2XOOOXOOOOO mit Länge 11: 000040030280100040000080005007000000800001006140000700600004001028005004004720300

      

9. Ausschluss-Ketten: Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles) und Ausschluss-Ketten bzw. -Schleifen (Unique Loops):
1. Übersicht Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles): Das sind 4 Zellen, die in zwei verschiedenen Zeilen, zwei verschiedenen Spalten und zwei (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben. Wegen der eindeutigen Lösbarkeit eines Sudokus kann man dann bestimmte Kandidaten ausschließen; dabei werden (hier) 8 Typen mit einigen Untertypen unterschieden - daher wird hier die eindeutige Lösbarkeit vorausgesetzt und man sollte dann aber am Ende der Rechnung die Eindeutigkeit überprüfen ("Teste Loesbarkeit vom Original aus").

Liegen in 4 Zellen, die in zwei verschiedenen Zeilen, zwei verschiedenen Spalten und zwei verschiedenen Boxen liegen, nur genau 2 Zahlen (je zwei Mal), kann man diese Zahlen in diesen vier Zellen vertauschen und erhält ein zweites Sudoku, das sich nur in diesen Zellen unterscheidet. Ein gutes Sudoku ist daher immer so konstruiert, dass - in diesem Fall - mindestens eine dieser vier Zellen vorgegeben ist, wodurch es eindeutig lösbar wird. Beispiel mit den vertauschbaren Zahlen 6 und 9:

2 6 8 1 9 3 4 5 7 3 9 7 5 6 4 8 1 2 5 4 1 7 2 8 9 3 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2 9 8 1 6 3 4 5 7 3 6 7 5 9 4 8 1 2 5 4 1 7 2 8 9 3 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Das folgende Sudoku hat KEIN Ausschluss-Rechteck: Durch Vertauschen der 6 und 9 in den 4 Boxen entsteht kein Sudoku - das funktioniert nur bei 2 betroffenen Boxen:

9 7 3 6 4 5 1 2 8 5 4 1 7 2 8 9 3 6 2 6 8 1 9 3 4 5 7 3 9 7 5 6 4 8 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

9 7 3 6 4 5 1 2 8 5 4 1 7 2 8 9 3 6 2 9 8 1 6 3 4 5 7 3 6 7 5 9 4 8 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Viele Beispiele mit ausführlichen Erklärungen findet man bei Bernhard Hobigers Webseite http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_ur.php (die Typen 7 und 8 heißen dort Hidden Rectangles - Versteckte Rechtecke) und bei Rudi Lars' Webseite http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueRectangle.html (wobei die Typen 7 und 8 dort Unique Rectangle VII [1/6] bis [6/6] genannt werden, Typ 7B wird nicht erwähnt), und auch bei Andrew Stuart's Webseite https://www.sudokuwiki.org/Unique_Rectangles und https://www.sudokuwiki.org/Hidden_Unique_Rectangles (der Typ 4A heißt dort Hidden Typ 2/2b); Stuart hat sogar eine Erweiterung auf ein 2 x 3 Pattern mit Tripeln statt Paaren beschrieben, siehe https://www.sudokuwiki.org/Extended_Unique_Rectangles.

Bewertung (Ausschluss-Rechtecke): 4 Punkte für die einfachen Typen 1, 2 und 5, und 5 Punkte für den einfachen Typ 3A (mit Quasi-2-Tupel - bei Typ 3 allgemein: 5, 8, 11, 14, 17, 20 - je nach der Länge des Quasi-N-Tupels), für die schwierigeren Typen (mit 1 Regel) 4A, 4B und 4C gibt es 3 Punkte mehr (also 7 Punkte), für die komplexeren Typen (mit 2 Regeln) 6, 7A, 7B, 7C, 8A, 8B und 8C gibt es 4 Punkte mehr (also 8 Punkte).

Achtung: Da das Ausdünnen die Eindeutigkeit eines Sudokus erfordert, sollte man diese im Zweifelsfall prüfen - das wird am Ende des Programms automatisch angeboten. Bei mehrdeutigen Sudokus wird eventuell eine angeblich eindeutige Lösung gefunden, obwohl es auch andere Lösungen gibt (es wurden schon über 1000 solcher Fälle gefunden).

Beispiel (dabei auch auf die hier nach dem Sudoku folgende Zeile klicken): Sudoku mit 3 Lösungen, davon zwei gleichartige an den Stellen (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8): 000000089406009200000630000000000050000004000001720030010000008075000000032070060

Einer der gefundenen Ausdünnschritte ist:
Ausschluss-Rechteck Typ 4C für (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8)14 gefunden: Wegen Kandidat 4 alleine in Spalte 8 ist Kandidat 4 in nicht betrachteter Zelle mit Zusatzkandidaten streichbar

Unter der falschen Annahme, dass das Sudoku eindeutig lösbar ist, werden in einem Ausschluss-Rechteck Kandidaten eliminiert, die aber zu zwei anderen Lösungen gehören mit der Zahl 5 (statt 4) in Zeile 1 und Spalte 4, aber den vertauschbaren Zahlen 1 - 4 - 1 - 4 und 4 - 1 - 4 - 1 im Rechteck 3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8.

Weiteres Beispiel: Das Sudoku hat 127 Lösungen, ist aber mit 4 einfachen Ausschluss-Rechtecken "angeblich" lösbar: 000000003007000009063007000000026800400000000000009200000240010180000040070100060

Es ist schon erstaunlich, dass genau ein Sudoku gelöst wird, aber über 100 andere Lösungen auch noch existieren!

   

2. Ausführliche Typen-Übersicht, geordnet nach Anzahl der Paare (Abkürzungen: HK = Hauptkandidat, ZK = Zusatzkandidat, Z = Zeile, S = Spalte) mit 8 Haupttypen bzw. 20 (23 bei Schleifen) Untertypen:

Typ	Häufigkeit	ZK	Analyse	Streichbar	Ort
1 Zelle mit 1 bis N ZK bzw. 2 oder mehr Zellen mit identischem ZK
Typ 1	13 %	1 bis N	ZK in 1 Zelle	Beide HK	ZK
Typ 2	5 %	1 gleicher	in 2 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5A	< 0.01 %	1 gleicher	in 2 Zellen (Paare diagonal)	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5B	0.03 %	1 gleicher	in 3 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5C (ab 6er-Ausschluss-Ketten)	< 0.01 %	1 gleicher	in 4 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5D (ab 8er-Ausschluss-Ketten)	< 0.01 %	1 gleicher	in 5 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Typ 5E (ab 10er-Ausschluss-Ketten)	< 0.0001 %	1 gleicher	in 6 Zellen	ZK	Alle von ZK aus sichtbaren Zellen
Quasi-N-Tupel
Typ 3A	3.5 %	2	Quasi-2-Tupel	Quasi-2-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3B	1 %	2 bis 3	Quasi-3-Tupel	Quasi-3-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3C	0.25 %	2 bis 4	Quasi-4-Tupel	Quasi-4-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3D	0.1 %	2 bis 5	Quasi-5-Tupel	Quasi-5-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3E	0.02 %	2 bis 6	Quasi-6-Tupel	Quasi-6-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Typ 3F	< 0.01 %	2 bis 7	Quasi-7-Tupel	Quasi-7-Tupel-Zahlen	Alle von ZK + N-Tupel aus sichtbaren Zellen
Mit 1 HK-Regel (Ein HK nur in den beiden AR-Zellen einer Zeile oder Spalte bzw. in allen 4 AR-Zellen)
Typ 4A	22 %	1 bis N	HK in HK+ZK-Zellen	Anderer HK	AR-Zelle mit nicht betrachtetem ZK
Typ 4B	8 %	1 bis N	HK in ZK+ZK-Zellen	Anderer HK	2 AR-Zellen mit ZK
Typ 4C	9.5 %	1 bis N	HK in HK+ZK-Zellen (Paare diagonal)	HK	AR-Zelle mit nicht betrachtetem ZK
Mit 2 HK-Regeln (Ein HK nur in den beiden AR-Zellen einer Zeile oder Spalte, anderer HK nur in beiden AR-Zellen anderer Zeile oder Spalte)
Typ 6	< 0.5 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in Z/S (Paare diagonal)	HK	2 AR-Zellen mit ZK
Typ 7A	6 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in S/Z	Anderer HK	Zelle gegenüber Paar-Zelle
Typ 7B (NEU)	17 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in Z/S	Anderer HK	Zelle gegenüber Paar-Zelle
Typ 7C	3 %	1 bis N	HK in Z/S, HK in S/Z (Paare diagonal)	Anderer HK	Betrachtete Paar-Zelle
Typ 8A	9.5 %	1 bis N	HK1 in Z/S, HK2 in Z/S	HK	Neben Paar-Zelle liegende Zelle
Typ 8B	2 %	1 bis N	HK1 in Z/S, HK2 in S/Z	HK	Nicht betrachtete Zelle
Typ 8C	0.5 %	1 bis N	HK1 in Z/S, HK2 in S/Z	ZK	Zelle gegenüber Paar-Zelle


Die Prozentangaben sind ungefähre Werte aus Rechnungen mit 420000 Sudokus (mit Ausdünnen), von denen in etwa 35 % der Sudokus Ausschluss-Rechtecke gefunden wurden (Option 2001). Die Abarbeitungsreihenfolge ist dabei Typ 1, 2, 5A-B, 3A-3F, 4B, 4A, 6, 7C, 4C, 7B, 7A, 8A, 8B, 8C, so dass alle Typen auch auftreten können. Bei einer anderen Reihenfolge treten insbesondere die Typen 4B, 6, 7B und 7C im nicht-synchronen Fall selten auf.

Bemerkung: Mit Paar-Zelle ist jeweils eine Zelle des Ausschluss-Rechtecks bezeichnet, die nur aus den beiden Hauptkandidaten (die zwei Kandidaten, die in allen 4 Zellen vorkommen) des Ausschluss-Rechtecks besteht.

Bemerkung: Ändert man die Reihenfolge der Ausdünnschritte, kann ein vorher lösbares Sudoku eventuell nicht mehr gelöst werden. Oft helfen dann aber die Quasi-Ausschluss-Rechtecke und -Schleifen, wobei alle Fälle der Ausschluss-Rechtecke und die der 6er-Ausschluss-Schleifen programmiert wurden. Interessanterweise wurde das Phänomen aber nie bei Goldenen und Einzelzahl-Ketten beobachtet (also keine eventuell notwendigen Quasi-Goldenen und Quasi-Einzelzahl-Ketten).

   

3. Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles):

Typ 1: Ausschluss-Rechteck vom einfachsten und dritt-häufigsten Typ (etwa 13 %): Es gibt drei Zellen mit drei gleichen Paaren, und in der vierten Zelle gibt es zusätzliche Kandidaten, von denen einer gültig sein muss - andernfalls wäre die eindeutige Lösbarkeit nicht gegeben. Beispiel:

7 3 251 246 252 9 68 1 248 1249 19 8 123467 1237 1467 5 2469 249 1249 6 254 8 1[2][5]3 145 7 249 3 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Würde man die Zahl 1 in Zeile 3 und Spalte 5 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 2 und 5 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (2 - 5 - 2 - 5 und 5 - 2 - 5 - 2). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in dieser Zelle die 1 stehen bzw. die Kandidaten 2 und 5 können gestrichen werden (falls mehrere zusätzliche Kandidaten vorliegen).

Typ 2: Ausschluss-Rechteck vom einfachen, jedoch wenig häufigen (außer bei Ausschluss-Schleifen) Typ: Es gibt zwei nicht-diagonale Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es einen zusätzlichen (gleichen) Kandidaten, der wegen der eindeutigen Lösbarkeit in einer der beiden Zellen gültig sein muss - aus den anderen, von diesen beiden Zellen aus sichtbaren Zellen kann dann dieser zusätzliche Kandidat gestrichen werden. Beispiel:

1 29 2359 23467 3567 269 79 [3]478 2[3]89 471 259 6 23457 8 29 1 3472 2[3]9 474 8 239 12347 137 129 5 3473 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Würde man die Zahl 3 in Spalte 8 der Zeilen 2 und 3 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 4 und 7 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (4 - 7 - 4 - 7 und 7 - 4 - 7 - 4). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in einer der erwähnten Zellen die Zahl 3 stehen - d.h. alle von diesen beiden Zellen aus sichtbaren Kandidaten 3 können gestrichen werden.

Typ 3A bis 3F: Ausschluss-Rechteck vom relativ einfachen und auch wenig häufigen Typ: Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten, die als Kandidaten einer Zelle aufgefasst werden können. Zusammen mit anderen Kandidaten der entsprechenden Zeile, Spalte oder Box können diese ein Quasi-N-Tupel bilden. 3A steht für ein Ausschluss-Rechteck mit einem Quasi-2-Tupel, usw. bis 3F für eines mit einem Quasi-7-Tupel. Beispiel des sehr einfachen Typs 3A mit einem 2-Tupel, dessen zwei Zahlen direkt ablesbar sind - es muss nur noch eine andere Zelle mit genau diesem Paar gefunden werden:

1237 8 5 17 231 4 6 12372 9 1237 9 137 17 8 6 5 [1]234[7] [1]4[7] 4 1267 1367 9 234 5 8 12373 17 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Hier liegen in Spalte 8 der Zeilen 1 und 3 die Zusatzkandidaten 1 und 7. Zusammen mit dem Rest 17 in der gleichen Box bilden sie das Quasi-2-Tupel 17. Da einer der Zusatzkandidaten gesetzt sein muss, können die von diesem N-Tupel aus sichtbaren Kandidaten der anderen Zellen somit gestrichen werden.

Typ 4A: Ausschluss-Rechteck vom häufigsten Typ (etwa 22 %): Es gibt wieder zwei Zellen in einer Zeile oder Spalte mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Hier interessieren die Zusatzkandidaten nicht direkt - sie legen nur zwei der vier zu betrachteten Zellen des Ausschluss-Rechtecks fest. Jetzt wird eine Zeile oder Spalte mit beiden Zellen-Typen untersucht: Ist einer der Hauptkandidaten in einer Zeile oder Spalte mit einer Paar-Zelle und einer Zelle mit zusätzlichen Kandidaten nur in diesen beiden Zellen vorhanden, kann der andere Hauptkandidat aus der anderen Zelle mit zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

391 15 8 3492 2 56 356 14 7 394 15 6 [3]4893 89 7 2358 124 459 7 2 4 389 1 56 689 35 59 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Der Hauptkandidat 9 ist in Zeile 1 nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden. Daher muss der andere Hauptkandidat 3 aus der Zelle in Zeile 2 und Spalte 4 gestrichen werden; denn wäre die 3 in dieser Zelle, müsste die 9 in der links davon stehenden Paar-Zelle sein, daher die 3 in der darüber stehenden Paar-Zelle und wegen der obigen Bedingung hätte die Zelle in Zeile 1 und Spalte 4 eine 9, was zu der nicht erlaubten Möglichkeit zweier Sudokus (mit 3 - 9 - 3 - 9 und damit auch 9 - 3 - 9 - 3) führen würde.

Typ 4B: Ausschluss-Rechteck ähnlich 4A, aber nicht so häufigem Typ (dafür können aber immer 2 Kandidaten gestrichen werden): Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist einer der Hauptkandidaten in einer Zeile, Spalte oder Box nur in diesen beiden Zellen vorhanden (also rechtwinklig zum Typ 4A), kann der andere Kandidat aus diesen Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Beispiel für Typ 4B:

23689 1 689 4589 79 3589 367 2368 48 237[8]91 237[8]92 4 89 6 389 5 238 1 3568 3568 568 2 47 1 47 368 9 784 783 3 569 1 569 2 4 56 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Einer der beiden Hauptkandidaten dieser Zellen mit den Zusatzkandidaten, hier die 7, ist in Zeile 2 aber nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden. Daher muss dieser Kandidat an einer der beiden Stellen auftreten - damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, hier die 8, aus diesen Zellen (mit den Zusatzkandidaten) gestrichen werden.

Typ 4C: Ausschluss-Rechteck vom recht häufigen Typ (knapp 10 %): Es gibt zwei diagonal gegenüberliegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist einer der beiden Kandidaten nur in einer Zelle ohne zusätzliche Kandidaten und einer daneben bzw. darunter liegenden Zelle mit zusätzlichen Kandidaten vorhanden, so kann er aus der nicht betrachteten Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

2 4581 3 1 482 7 46 56 9 7 484 9 5 34[8]3 6 1 248 2348 148 6 15 2 348 9 345 7 348 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Die Zahl 8 kommt in Zeile 1 (mit einer Paar-Zelle und eine Zelle mit zusätzlichen Kandidaten) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Dieser Kandidat muss also aus der anderen Zelle mit zusätzlichen Kandidaten in Zeile 2 und Spalte 5 gestrichen werden. Denn wenn die Zahl 8 dort wäre, müsste in der Zelle darüber die 4 stehen und damit in Zeile 1 und Spalte 2 die 8 und in der Zelle darunter die 4; dies widerspricht der Eindeutigkeit eines Sudokus.

Typ 5A bis 5B bzw. 5E: Ausschluss-Rechteck vom seltenen (außer bei Ausschluss-Schleifen) und dem Typ 2 sehr ähnlichen Typ, der aber unterschieden wird: Liegen sich die beiden Zellen mit den Zusatzkandidaten diagonal gegenüber, gilt die gleiche Folgerung: Aus allen Zellen, die von den beiden Zellen mit dem Zusatzkandidaten gesehen werden können, kann dieser gestrichen werden: das ist der Typ 5A der Ausschluss-Rechtecke, der bei den 138000 gerechneten Sudokus mit Ausdünnung in nur einem einzigen Fall und bei den Quasi-Ausschluss-Rechtecken dort nur 12 Mal gefunden wurde. Nur wenig häufiger ist der Typ 5B, bei dem drei Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben; hier kann der Zusatzkandidat aus allen Zellen gestrichen werden, die von diesen drei Zellen aus gesehen werden. Bei Ausschluss-Schleifen gibt es noch den Typ 5C, wenn vier Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben, ab den 10er-Ausschluss-Schleifen auch die Typen 5D und 5E, wenn fünf bzw. sechs Zellen den gleichen Zusatzkandidaten haben. Beispiel für Typ 5B:

2 1341 8 9 142 5 6 134 7 6 7 5 123 1348 1238 14 9 13 [3]9 1344 49 6 1343 7 2 5 8 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Die Zahl 3 kommt nur in drei Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss eine dieser Zellen die Zusatzzahl 3 enthalten. Daher kann man die Zahl 3 aus allen Zellen, hier der einen Zelle in Zeile 3 und Spalte 1, streichen.

Typ 6: Ausschluss-Rechteck vom sehr seltenen Typ (außer bei Quasi-Ausschluss-Rechtecken und Ausschluss-Schleifen), der ähnlich dem Typ 4C ist: Es gibt zwei diagonal gegenüber liegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Ist ein Hauptkandidat nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, kann dieser (im Gegensatz zu Typ 4 also nicht der andere Hauptkandidat) aus den Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Typ 6 entspricht dem Typ 4C zwei Mal angewendet. Tritt meistens nur in den Alternativ-Fällen ("ODER" bzw. "neben") auf. Beispiel:

25 3 571 6 15[7]2 125 8 9 4 6 9 1 8 3 4 257 257 27 458 245 5[7]84 9 573 25 6 3 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Die Zahl 7 kommt nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss die 7 in den Zellen mit den Zusatzkandidaten gestrichen werden. Denn wäre die 7 an diesen Stellen gesetzt, müsste in den Paar-Zellen die Zahl 5 stehen; das wäre aber eine Situation 5 - 7 - 5 - 7 oder 7 - 5 - 7 - 5, was zu einem nicht-eindeutigen Sudoku führen würde.

Typ 7A: Ausschluss-Rechteck vom relativ häufigen Typ: Es gibt eine Zelle mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten (dieser Typ hat zwar nur eine Paar-Zelle wie die Typen 8, gehört aber auf Grund aller anderen Eigenschaften zu den Typen 7). Man betrachtet nun die Zeile und die Spalte durch die Zelle, die der Paar-Zelle diagonal gegenüber liegt: Taucht einer der Kandidaten in dieser Zeile und Spalte nur in den zum Ausschluss-Rechteck gehörenden Zellen auf, kann der andere Kandidat in der der Paar-Zelle gegenüber liegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:

28 4 291 2892 1 5 7 6 3 3 1 6 89 4 7 2 89 5 7 589 2594 28[9]3 6 3 1 4 89 56 56 1 4 7 89 3 2 89 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Man betrachtet die Zeilen 1 und 3 und die Spalten 3 und 4: Die Paar-Zelle hat die Kandidaten 29; die diagonal gegenüber liegende Zelle in Zeile 3 und Spalte 4 hat die Kandidaten 289; die Zahl 2 kommt in Zeile 3 und auch in Spalte 4 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) nur in dem Ausschluss-Rechteck vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, also die 9, dort (in Zeile 3 und Spalte 4) gestrichen werden.

Typ 7B (NEU): Ausschluss-Rechteck vom zweit-häufigsten Typ (etwa 17 %): Es gibt eine Zelle mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten (dieser Typ hat zwar nur eine Paar-Zelle wie die Typen 8, gehört aber auf Grund aller anderen Eigenschaften zu den Typen 7). Ist ein Hauptkandidat nur in den 4 Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, kann der andere Kandidat in der der Paar-Zelle diagonal gegenüber liegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:

5781 6 582 347 2347 237 1 35 9 2 3 9 1 5 6 8 7 4 57 1 4 379 78 3789 36 356 2 1[5]84 25 2583 6 9 4 7 123 13 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Die Paar-Zelle hat die Kandidaten 58; die diagonal gegenüber liegende Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 hat die Kandidaten 158; die Zahl 8 kommt aber in Zeile 1 und auch in Zeile 4 nur in dem Ausschluss-Rechteck vor. Damit das Sudoku aber eindeutig lösbar sein soll, muss der andere Hauptkandidat, hier die 5, dort (also in Zeile 4 und Spalte 1) gestrichen werden.

Der Typ 7B ist dem Typ 7A sehr ähnlich, aber die Bedingungen sind unterschiedlich: Bei Typ 7A werden eine Zeile und eine Spalte untersucht, bei Typ 7B jeweils zwei Zeilen bzw. zwei Spalten.

Typ 7C: Ausschluss-Rechteck vom wenig häufigen Typ: Es gibt zwei diagonal gegenüberliegende Zellen mit nur den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen beiden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Man betrachtet nun die Zeile und die Spalte durch eine der beiden Paar-Zellen: Taucht einer der Kandidaten in dieser Zeile und Spalte nur in den zum Ausschluss-Rechteck gehörenden Zellen auf, kann der andere Kandidat in dieser Paar-Zelle gestrichen werden. Beispiel:

5 24 8 6 19 249 12 7 3 1 6 24 3 7 2451 [2]52 8 9 9 3 7 15 8 254 1253 6 4 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Die Zahl 5 kommt in Zeile 2 und in Spalte 7 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der andere Hauptkandidat 2 muss aus dieser Zelle in Zeile 2 und Spalte 7 gestrichen werden. Denn wenn die Zahl 2 in dieser Zelle wäre, müsste in den Zellen mit Zusatzzahl die Zahl 5 stehen; dann wäre aber in der anderen Paar-Zelle die Zahl 2 und damit hätte man ein zweideutiges Sudoku mit den beiden Lösungen 2 - 5 - 2 - 5 und 5 - 2 - 5 - 2.

Der Typ 7C entspricht im Prinzip dem Typ 7A, bei dem das gleiche Ergebnis erreicht wird, wobei bei Typ 7C aber gleich eine Paar-Zelle eindeutig besetzt werden kann.

Typ 8A: Ausschluss-Rechteck vom recht häufigen Typ (knapp 10 %): Es gibt nur eine Paar-Zelle, in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Es werden jeweils zwei Zeilen bzw. zwei Spalten betrachtet. Ist ein Hauptkandidat in einer Zeile bzw. Spalte nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, und ist der andere Hauptkandidat in der anderen Zeile bzw. Spalte auch nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vorhanden, so kann der Hauptkandidat, der in der Zeile bzw. Spalte mit der Paar-Zelle betroffen war, aus der darunter/darüber bzw. rechts/links daneben liegenden Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

8 4 6 2 1 7 9 5 3 25 25 9 346 3468 38 48 1 7 1 3 7 451 4582 9 248 26 46 6 9 2 34[5]4 3453 1 7 38 58 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Die Zahl 5 kommt in Zeile 3 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor, die Zahl 4 kommt in Zeile 4 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der Hauptkandidat 5, der in der Zeile mit der Paar-Zelle ist, muss aus der Zelle unterhalb der Paar-Zelle in Zeile 4 und Spalte 4 gestrichen werden. Die Argumentation ist ähnlich denen der vorhergehenden Beispiele.

Die Typen 8A bis 8C haben die Besonderheit, dass dazu beide Hauptkandidaten in bestimmten Zeilen und Spalten untersucht werden, ob sie nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks auftreten. Daher werden sie hier von den Typen 7A bis 7C unterschieden, bei denen nur ein Hauptkandidat betrachtet wird.

Typ 8B: Ausschluss-Rechteck vom wenig häufigen Typ: Es gibt nur eine Paar-Zelle mit den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Betrachtet man eine Zeile bzw. Spalte, in der die Paar-Zelle vorkommt, und kommt einer der Hauptkandidaten nur in diesen beiden Zellen vor und der andere Hauptkandidat nur in der Spalte bzw. Zeile, die die gerade betrachtete Zelle mit Zusatzkandidaten enthält, so kann der erste Hauptkandidat aus der nicht betrachteten Zelle mit den zusätzlichen Kandidaten gestrichen werden. Beispiel:

8 1461 67 157 3 9 14572 157 2 47 144 9 2 457 8 [1]4573 6 3 2 5 3 17 47 6 147 9 8 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Die Zahl 1 kommt in Spalte 2 (mit einer Paar-Zelle und einer Zelle mit zusätzlichen Kandidaten) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor (Sudoku hier nicht ganz dargestellt). Der zweite Hauptkandidat 4 kommt in der Zeile 1 nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der erste Hauptkandidat 1 muss also aus der dritten Zelle mit zusätzlichen Kandidaten in Zeile 2 und Spalte 7 gestrichen werden. Denn hätte diese Zelle den Wert 1, wäre in der Paar-Zelle eine 4 und damit in der darüber liegenden Zelle eine 1 und daher auch in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 7 eine 4; das ergäbe aber prinzipiell zwei Lösungen 1 - 4 - 1 - 4 und 4 - 1 - 4 - 1 vor, was nicht sein darf.

Typ 8C: Ausschluss-Rechteck vom seltenen Typ: Es gibt nur eine Paar-Zelle mit den Kandidaten des Ausschluss-Rechtecks; in den anderen drei Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten. Man betrachtet die Zeilen und Spalten, in denen die Paar-Zelle nicht vorkommt: Kommt in einer Zeile bzw. Spalte einer der Hauptkandidaten nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor und der andere Hauptkandidat analog nur in der entsprechenden Spalte bzw. Zeile, so können die Zusatzkandidaten (!) der der Paar-Zelle gegenüberliegenden Zelle gestrichen werden. Beispiel:

3 7 8 45 9 2[4]61 1262 1245 15 156 1456 125 3 7 2464 263 9 8 69 46 29 458 568 1 236 2345 7 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Der eine Hauptkandidat 6 kommt in Zeile 1 (Zeile ohne Paar-Zelle) nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor. Der zweite Hauptkandidat 2 kommt in der Spalte 6 (Spalte ohne Paar-Zelle) nur in den beiden Zellen des Ausschluss-Rechtecks vor (Sudoku hier nicht ganz dargestellt). Der Zusatzkandidat 4 in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 6 muss gestrichen werden; denn wäre er dort, so müsste in der Zelle darunter (Zeile 2 und Spalte 6) die 2 stehen, in der Zelle in Zeile 1 und Spalte 7 die 6. Das geht aber nicht, weil dann in der Paar-Zelle kein Kandidat möglich ist. Interessanterweise geht der Beweis nicht über die Vermeidung von zwei Lösungen, sondern über einen Widerspruch bei der möglichen Setzung; insofern muss man den Typ 8C eigentlich als Pseudo-Ausschluss-Rechteck auffassen. Das Ergebnis dieser Streichungen führt aber direkt zu einem Ausschluss-Rechteck vom Typ 4C!

Bei 136000 gerechneten Sudokus traten bei der voll-synchronen Rechnung direkte Ausschluss-Rechtecke insgesamt fast 280000 Mal auf, Quasi-Ausschluss-Rechtecke etwa 18500 Mal; die 6er-Ausschluss-Ketten inklusive der 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten wurden etwa 7600 Mal gefunden, die 8er-Ausschluss-Ketten 680 Mal, 10er-Ausschluss-Ketten etwa 30 Mal.

Beispiele für einige der etwa 150000 Sudokus mit Ausschluss-Rechtecken:




Beispiele mit vielen Ausschluss-Rechtecken

Beispiel mit Typ 1: 000000000000000001002003040000002050010000060784000000000010000000080700009000320

Beispiel mit Typ 2: 000000000000000012003045000000000400000001050006200000000060304010000000700800006

Beispiel mit Typ 3A mit Quasi-2-Tupel: 000000000000000012003004000000000300010050000600007400000060000004000800500210090

Beispiel mit Typ 3B mit Quasi-3-Tupel: 000000001000002000034000005000000020000003060007050000000080104620900000700000000

Beispiel mit Typ 3C mit Quasi-4-Tupel: 000001002010030400005260010007000008063000520400000300030087900008040060500900000

Beispiel mit Typ 3D mit Quasi-5-Tupel: 000400000000009120080003060208507000070000000900060310004005002007200000002030500

Beispiel mit Typ 3E mit Quasi-6-Tupel: 000020090000037802100400300200600500060005008030000700900240060000000000080050000

Beispiel mit Typ 3F mit Quasi-7-Tupel: 001000200032000450540000036000103000000642000000708000810000092029000340005000800

Beispiel mit Typ 4A: 000000000000000012003004000000000305010002000060040000000065000005170000008000020

Beispiel mit Typ 4B: 020809000001006700000070605700090000009010408000087000008020310200000000000908006

Beispiel mit Typ 4C: 000000000450009123009103000230500800008000600090000540000605910000010006000370000

Beispiel mit Typ 5A: 100400089406000000700020005000090050060500900000061000001008604000900000007030012

Beispiel mit Typ 5B: 000450000006080100000023000210007030000004006007000405500300000040200091902000800

Beispiel mit Typ 6: 000000650009000000040703000005000000000008007106020000070000003000004000000060010

Beispiel mit Typ 7A: 000000000000000012003004500000000300000160000074000000000007000010000086900503000

Beispiel mit Typ 7B: 000000000000000012003014000000000450000060000070280000000003090620000008800000000

Beispiel mit Typ 7C: 000090030000100047008000600870051200020000400001003009057064900680709000000300000

Beispiel mit Typ 8A: 000060010000000002010700034075002080200000000006307500400100075009803000000070800

Beispiel mit Typ 8B: 000000080400009070709026000000500006001000000048000090600010000005000002030040150

Beispiel mit Typ 8C: 000020600800009400060100800000480000605307000472016983100060700508030006000200350

   

4. Quasi-Ausschluss-Rechtecke:

Das Konzept der Quasi-Ausschluss-Rechtecke wird hier eingeführt: Dies sind unvollständige Ausschluss-Rechtecke, z.B. wenn schon einige Zellen eindeutig besetzt wurden (dann Vermeidbare Ausschluss-Rechtecke genannt) oder (viel allgemeiner) einige Kandidaten in einer Zelle oder mehreren Zellen schon fehlen (dann Ausschluss-Rechtecke mit fehlenden Kandidaten genannt); diese wurden dann im Allgemeinen in einem vorhergehenden (oft einfacheren) Ausdünnschritt eliminiert und können aber wieder (vorübergehend) eingesetzt werden, um ein Ausschluss-Verfahren zu ermöglichen (bei einer anderen Reihenfolge der Ausdünnschritte hätte man möglicherweise ein echtes Ausschluss-Rechteck gefunden). Man untersucht dazu die beiden Diagonalen in einem möglichen (Quasi-)Ausschluss-Rechteck: Ist in einer Diagonale eine Zahl bzw. ein Kandidat in beiden Zellen vorhanden, kann man diese Zahl wieder (vorübergehend) in die anderen beiden Kandidatenlisten eintragen. Relativ leicht erkennbar sind Quasi-Ausschluss-Rechtecke, wenn nur eine Zahl zusätzlich eingetragen werden muss. Sind zwei zusätzliche Zahlen einzutragen, sind diese oft das gemeinsame Paar des Ausschluss-Rechtecks.

In etwa 1 % aller gerechneten Ausdünn-Sudokus wurden Quasi-Ausschluss-Rechtecke gefunden, meistens die Typen 1, 4B und 4C.

Bewertung: 3, 5, 7, 9 Punkte mehr, also 1 + 2 * N (N = 1 bis 4 zusätzlich eingesetzte Zahlen) Punkte mehr als bei dem entsprechenden Typ des Ausschluss-Rechtecks.

Beispiel eines Quasi-Ausschluss-Rechtecks:
Man betrachte die Zeilen 2 und 3 und die Spalten 3 und 7 mit den Kandidatenlisten 17, 15, 13 und der schon gefundenen Zahl 5:

8 379 79 1   5   4   6 37 2 4 2 17 6 8 3 15 9 57 6 13 5 7 9 2 13 8 4 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Man sieht, dass die 1 in der Diagonale von links-oben nach rechts-unten in beiden Kandidatenlisten (17, 13) vorkommt und somit in den Zellen der anderen Diagonale hinzugefügt werden kann - hier an der Stelle der schon gefundenen, also nicht originalen (!) Zahl 5 in Zeile 3 und Spalte 3 (was die Pseudo-Kandidatenliste 15 ergibt) - und dass die 5 in der Diagonale von rechts-oben nach links-unten in beiden Kandidatenlisten (15) bzw. Pseudo-Kandidatenlisten (5) vorkommt und somit den Zellen der ersten Diagonale hinzugefügt werden kann (was die Pseudo-Kandidatenlisten 157 und 135 ergibt). Daraus wird dann ein Ausschluss-Rechteck mit 15 als gemeinsamem Kandidatenpaar, wobei die vorübergehend hinzugefügten Kandidaten in runde Klammern gesetzt werden:

8 379 79 1   5   4   6 37 2 4 2 1(5)71 6 8 3 1[5]2 9 57 6 13 (1)54 7 9 2 13(5)3 8 4 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Da nun der Kandidat 1 nur in den Zellen des Ausschluss-Rechtecks in Zeile 2 und Spalte 7 (Sudoku hier nicht ganz dargestellt) liegt, kann - nach Typ 7C - der Kandidat 5 in der Zelle in Zeile 2 und Spalte 7 im Ausschluss-Rechteck gestrichen werden. Danach werden die vorübergehend eingesetzten Zusatzkandidaten wieder entfernt.

Für die Quasi-Ausschluss-Rechtecke gibt es die gleichen 8 Basis-Typen wie bei den normalen Ausschluss-Rechtecken. Ähnliche Anteil-Verhältnisse wie bei den Ausschluss-Rechtecken gelten auch bei den Quasi-Ausschluss-Rechtecke.

Beispiele für einige der etwa 53000 Sudokus mit Quasi-Ausschluss-Rechtecken:




Beispiele mit vielen Quasi-Ausschluss-Rechtecken

Beispiel mit Typ 1 (mit 4 Zusatzzahlen): 680000000000060200000091050810004702500078001007200540090000100108023000000080003

Beispiel mit Typ 2: 120407680056009000700030000090000010508000002600000800000701000000006403000300071

Beispiel mit Typ 3A mit Quasi-2-Tupel: 020400700006709000080100005200008001500060340040000057000090006000610900900004000

Beispiel mit Typ 3B mit Quasi-3-Tupel (mit 4 Zusatzzahlen): 000000010000056000010900020700002090004030000800000005000075400000340009050000801

Beispiel mit Typ 3C mit Quasi-4-Tupel: 123050000000080103709000000007000000600200900000300256000010502500000047000004008

Beispiel mit Typ 3D mit Quasi-5-Tupel: 000050009000100030700602000008000400315000000000003800500000004600001708000960000

Beispiel mit Typ 3E mit Quasi-6-Tupel: 210000075009502800005000600070601080000000000090208040001000700007306900650000012

Beispiel mit Typ 3F mit Quasi-7-Tupel: 100050000050700030080000046007600000000000000000300250360000000002040900010200074

Beispiel mit Typ 4A: 802930000040058600000610040050803900020000107900000000004207000000000000080109250

Beispiel mit Typ 4B: 000000000005063009008400000000000600002001007500600483090030000000700090630059024

Beispiel mit Typ 4C: 120000780006009020700003000007800906005000000800095300078040600000000004040502030

Beispiel mit Typ 5A (mit 4 Zusatzzahlen): 000000000000000012003045000000000600004000300070801000000030460000200000010700000

Beispiel mit Typ 5B (mit 3 Zusatzzahlen): 000000000000000012003004000000000005000120000006700800020008500170000000900000300

Beispiel mit Typ 6: 570300069009060000000800030000091000006000092203000000020070080300080000000900427

Beispiel mit Typ 7A: 900006000071003000050400002005030007000650003800010040390000000002000401000900500

Beispiel mit Typ 7B (mit 2 Zusatzzahlen): 000000709400009030700200006000900010000000308005060000092047000060003400070002050

Beispiel mit Typ 7C: 020450000000780103009020060200090600007040008000300540360000200800007050000000000

Beispiel mit Typ 8A: 020450000006000100789000000000904530000000096000030810500070000000208000000300072

Beispiel mit Typ 8B: 005072100600100002082905000000000001000000840050089000570648213000000405000510000

Beispiel mit Typ 8C: 009503000060900070000020008107000043000060700950000800800340000000001060000709300

   

5. 6er-Ausschluss-Ketten:

Die Erweiterung der Ausschluss-Rechtecke sind Ausschluss-Ketten (Ausschluss-Schleifen): Ausschluss-Ketten sind 2*N Zellen, die in N verschiedenen Zeilen, N verschiedenen Spalten und N (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben (siehe z.B. http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueLoop.html). Hier wurden alle Versionen mit 6, 8 und 10 Zellen programmiert; 12er-, 14er-, 16er- und 18er-Ausschluss-Ketten werden nicht mehr berechnet, sind aber möglich.

In etwa 0.25 % aller gerechneten Ausdünn-Sudokus wurden 6er-Ausschluss-Ketten gefunden, meistens die Typen 1, 4 und 5.

Bewertung: Bei den 6er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 3 Punkte mehr als bei entsprechenden Typen der Ausschluss-Rechtecke; bei 8er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 6 Punkte mehr, bei 10er-Ausschluss-Ketten gibt es jeweils 9 Punkte mehr, usw.

Ausschluss-Ketten sind also empfindlich gegenüber der Reihenfolge der Ausdünnschritte. Aber prinzipiell kann es wohl auch vorkommen, dass eine Goldene oder Einzelzahl-Kette durch vorhergehende Ausdünnschritte zerstört wird.




Beispiele mit vielen 6er-Ausschluss-Ketten

Beispiele für einige der etwa 5000 Sudokus mit 6er-Ausschluss-Ketten:

Beispiel mit Typ 1: 000010040080003060000000708010002000000650004308000007601000200040300080000570000

Beispiel mit Typ 2: 600008723100030000900200000700903500010000090009801007000007005000080004376500008

Beispiel mit Typ 3A mit Quasi-2-Tupel: 000006005080000040002090300000080090004200600600001007001040000050800060800007003

Beispiel mit Typ 3B mit Quasi-3-Tupel: 000123000000405000004000600370000082400000005520000046007000900000502000000876000

Beispiel mit Typ 3C mit Quasi-4-Tupel: 010002003200000040005610000002000078009000400600000900000078500050200086800100090

Beispiel mit Typ 3D mit Quasi-5-Tupel: 102000300070003000900040002000806090008000600020701000400070005000600080005000701

Beispiel mit Typ 3E mit Quasi-6-Tupel: 003407600000000000709000015200010090000090502060000001000006000501020000040800000

Beispiel mit Typ 3F mit Quasi-7-Tupel: 000500402000602050000093008780000520001000800046000019400970000060204000907005000

Beispiel mit Typ 4A: 000000089000000103700023005030690804007000002900008000000005000000800007610307500

Beispiel mit Typ 4B: 008306500000712000600000003103050609009000100406080207900000006000531000002904700

Beispiel mit Typ 4C: 000050689000109030700000000234060007000900250000000004060000000500304000001020300

Beispiel mit Typ 5A: 120400600006009003000200500008000000090002070010805090360000000000090007005028000

Beispiel mit Typ 5B: 020400680006080000080630050000000000570001402060000001300504000000000005000203010

Beispiel mit Typ 5C: 000000001000002000003000045000006004007000000020085000000700000060000280100000600

Beispiel mit Typ 6: 000001493003008000700000000510080607080500030006040050000400102100027500260000000

Beispiel mit Typ 7A: 008007000050040000000100300005003009010050060700400000004002003030090050200600900

Beispiel mit Typ 7B: 000006080000789003700000400010007000004530000000600802300000000000008204090041530

Beispiel mit Typ 7C: 600000003200080004000709000020000050000406000009123600002070100053000860100000002

Beispiel mit Typ 8A: 600800700005000009004021000009650007580070000000100000000000060710980204028000000

Beispiel mit Typ 8B: 401000005030000000500020010102600004000400000907103002710080029200000500000000007

Beispiel mit Typ 8C: 780004000100890040005000100000020000050060320620000005041058207000000080000007400

   

6. 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten

Analog den Quasi-Ausschluss-Rechtecken gibt es auch Quasi-Ausschluss-Ketten. Hier wurden nur die 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten programmiert.

Bewertung: 3, 5, 7, 9, 11, 13 Punkte mehr, also 1 + 2 * N (N = 1 bis 6 zusätzlich eingesetzte Zahlen) Punkte mehr als bei dem entsprechenden Typ der 6er-Ausschluss-Kette. Das bedeutet theoretisch eine maximale Punktzahl von 36 (mehr als 31 Punkte wurden aber noch nicht beobachtet)

In etwa 1300 Sudokus wurden 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten gefunden.




Beispiele mit vielen 6er-Quasi-Ausschluss-Ketten

Beispiel mit Typ 1: 090804060000600002000075000300700040000258000008040096800010703000000000002500100

Beispiel mit Typ 2 (mit 2 Zusatzzahlen): 003000700000709023080000000207004000300060000000000291060040370004000000000508410

Beispiel mit Typ 3A mit Quasi-2-Tupel: 120006000000000003780100004200008090007040800000090250000075000000001340900800075

Beispiel mit Typ 3B mit Quasi-3-Tupel: 100002003040050060003100700700000600010030080006000007002008900070020050300900008

Beispiel mit Typ 3C mit Quasi-4-Tupel: 000100302000905000000082001910000270007000100025000034500840000040506000708009000

Beispiel mit Typ 3D mit Quasi-5-Tupel: 000057000009043028450000000207000000800000009300100000960800010000500400000360002

Beispiel mit Typ 3E mit Quasi-6-Tupel: 000100302000905000000082001910000270007000100025000034500840000040506000708009000

Beispiel mit Typ 3F mit Quasi-7-Tupel: 000100302000905000000082001910000270007000100025000034500840000040506000708009000

Beispiel mit Typ 4A: 700000480000601000000000020000300605200080000000000000053000001060100000000040700

Beispiel mit Typ 4B: 003000000400700020089100000200000050008005600071000004000300840000060007000812006

Beispiel mit Typ 4C (mit 5 Zusatzzahlen): 030008000002700800000001043040100700090060310000005000470002080000500207000300000

Beispiel mit Typ 5A (mit 4 Zusatzzahlen): 000450600006080003080300104200000000000700800601000090000900000000010020017802500

Beispiel mit Typ 5B (mit 3 Zusatzzahlen): 000000000000001002003000040000000000000560030170080000000050900006030000200000701

Beispiel mit Typ 5C: 000400050002800004000000060000003000090004008800009130020001000061090700003520010

Beispiel mit Typ 6 (mit 2 Zusatzzahlen): 000300010800000954000004063900700800000092000040000000000150000065049070007006000

Beispiel mit Typ 7A (mit 2 Zusatzzahlen): 000000000007592010020018090360007100000430907710020003008003009002009600050040000

Beispiel mit Typ 7B (mit 2 Zusatzzahlen): 000000000007592010020018090360007100000430907710020003008003009002009600050040000

Beispiel mit Typ 7C: 003050000050009100789000060200030008000000000900864000001070000000290037800005006

Beispiel mit Typ 8A (mit 4 Zusatzzahlen): 000905010008004006300000007080001040010290600070000092005002004000500000000010060

Beispiel mit Typ 8B: 020000700450700003009020060000008900307000001000500200000890010600304000070205004

Beispiel mit Typ 8C: 001000009000007810900000240056200390400070102000098400610080520004100030370402000

   

7. 8er-Ausschluss-Ketten

In etwa 400 Sudokus wurden 8er-Ausschluss-Ketten gefunden.




Beispiele mit vielen 8er-Ausschluss-Ketten

Beispiel mit Typ 1: 000400080050009203700000400000008000370090005000064100002000900000000517000600008

Beispiel mit Typ 2: 000000008008140007004602000700200030305070290001003800000704060010000000060031050

Beispiel mit Typ 3A mit Quasi-2-Tupel: 000001023000200450000050601070408900008003000600520000086900004140000000902000300

Beispiel mit Typ 3B mit Quasi-3-Tupel: 900720006007009000050000200800003040500010008060400030008000500000907000100060004

Beispiel mit Typ 3C mit Quasi-4-Tupel: 000100200010304000000056007530000070007000400040000028800690000000702060002001000

Beispiel mit Typ 3D mit Quasi-5-Tupel: 900720006007009000050000200800003040500010008060400030008000500000907000100060004

Beispiel mit Typ 3E mit Quasi-6-Tupel: 005700901070060000109300000000020058000043060000000009001000034400008090200000700

Beispiel mit Typ 3F mit Quasi-7-Tupel: Bisher nicht gefunden!

Beispiel mit Typ 4A: 900720006007009000050000200800003040500010008060400030008000500000907000100060004

Beispiel mit Typ 4B: 103400000000000207789000000004908000000060092000302040500006000000701003060000024

Beispiel mit Typ 4C: 002900010000000023800030400007002000090040100600700005000007008010050000500400200

Beispiel mit Typ 5A: 010000002304000000050060700000500001002080040000002600008001300000040090200300005

Beispiel mit Typ 5B: 900008423400030000600200000700903500010000090009801007000007005000080002148500009

Beispiel mit Typ 5C: 100000002030400010002000500060010000000352000000070030007000400040008090500000007

Beispiel mit Typ 5D: 000000000000001002034000050000000000002450000160000007000000300000307800200000040

Beispiel mit Typ 6: 000005000060000301900000000020600010000713500009008000003900000005002800006007209

Beispiel mit Typ 7A: 102000300000004050603070008000800040004000200030001000300090607090700000001000509

Beispiel mit Typ 7B: 000090000025800000079200840541086009267009008300100400002078600600000200700001000

Beispiel mit Typ 7C: 003450700006790013709200000204000906000000057000000800040300000000600000030001008

Beispiel mit Typ 8A: 100050009406780100709020000200300000608002000000005630304000070000000001070000050

Beispiel mit Typ 8B: 000057000400000200009300000000000540360000008810000072030608001000940000000003060

Beispiel mit Typ 8C: 003804509000921008000000000070000923080060010000730000009045200000000000018000007

   

8. 10er-Ausschluss-Ketten

Da 8er-Ausschluss-Ketten schon recht selten sind, treten 10er-Ketten in der Praxis noch seltener und nur mit wenigen Typen auf. 14er- und längere Ketten werden nicht mehr berechnet.




Beispiele mit vielen 10er-Ausschluss-Ketten

Beispiel mit Typ 1: 100020003040000050002010600000205000703000508000809000001060800060000020400090001

Beispiel mit Typ 2: 000001200010030040900500000300060700040108030006090008000007005080040020009300000

Beispiel mit Typ 3A mit Quasi-2-Tupel: 010002003300000040005460000006000078003000200400000500000051300050300086900600050

Beispiel mit Typ 3B mit Quasi-3-Tupel: Bisher nicht gefunden!

Beispiel mit Typ 3C mit Quasi-4-Tupel: 090300600000020004000000081050000000100008007039060042000480020000000406206000010

Beispiel mit Typ 3D mit Quasi-5-Tupel: 700160005009004000060000300600001090200040008080600020003000700000905000800010002

Beispiel mit Typ 3E mit Quasi-6-Tupel: Bisher nicht gefunden!

Beispiel mit Typ 3F mit Quasi-7-Tupel: Bisher nicht gefunden!

Beispiel mit Typ 4A: 002000800030006040900000105000004030000060000020105000805000006010300080009000400

Beispiel mit Typ 4B: 000001200010030040900500000300060700040108030006090008000007005080040020009300000

Beispiel mit Typ 4C: 020406080400000000080010600005907006010000900000000340007000000561000070000501000

Beispiel mit Typ 5A: 400000050000205000700080004000000010000600048068010009000826000084190576090000000

Beispiel mit Typ 5B: 002830700000000003000009021200318005386000090000092000428000010010406000069000007

Beispiel mit Typ 5C: 620000000000000540700046000300400800070205060006003007000720003092000000000000081

Beispiel mit Typ 5D: 000000000000001023045060000000000001004500000320000000000002000000400700006000508

Beispiel mit Typ 5E: Bisher nicht gefunden!

Beispiel mit Typ 6: 000000001000000020003004000000000005000003240160000000000017006000500000302000080

Beispiel mit Typ 7A: 300000900070050000005008006000009400080020070001300008500400700000030080009001003

Beispiel mit Typ 7B: 000000001000000020003004000000000305060000400078020000000003000000406000120000090

Beispiel mit Typ 7C: 000000001000000020003004000000000005000003240160000000000017006000500000302000080

Beispiel mit Typ 8A: 000000001000002000003000045000010200006000000070008600000500700020000003100400000

Beispiel mit Typ 8B: 000008270200040000800100000300905100070000080005203004000002005000030001039400000

Beispiel mit Typ 8C: 000000000000001002034000050000000001000050030005640000000000460000007000210008000

   

9. 12er-Ausschluss-Ketten

In 12er-Ausschluss-Ketten wurde bisher nur Typ 5 gefunden.




Beispiele mit einigen 12er-Ausschluss-Ketten

Beispiel mit Typ 5A: 040000000005003006830700400000000000900020780000560003009608030007000040060090800

Beispiel mit Typ 5B: 000000000000000012003045000000001600000070840005000000000600003010000005600080000

Beispiel mit Typ 5C: 000400000809000030240000950003040729025006100000100000000002360506000000000800000

Beispiel mit Typ 5D: 000000000000000012003045000000006500010000000720000000000089400005000000400100070

     

10. Widerspruchs-, Folgerungs- und Alternativ-Ketten (Discontinuous und Continuous Nice Loops bzw. AIC = Alternate Interference Chain): Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten: Man geht von einem möglichen Kandidaten einer Zelle aus und versucht, durch logische Schlussfolgerungen am Ende der Kette (in der Ausgangszelle) entweder zu einem Widerspruch zu kommen oder die Annahme zu bestätigen. Dann kann man je nach Typ der Ketten und der Schlussfolgerungen bestimmte Kandidaten löschen oder bestätigen.

    Alternativ-Ketten: Man geht von einer Zelle mit 2 Kandidaten (Paar) aus und sucht entweder von jedem Kandidaten aus jeweils eine Kette: Führen beide (unterschiedlichen) Ketten zu genau einer Setzung in einer anderen Zelle, muss diese Setzung richtig sein (Setzende Alternativ-Ketten). Oder man findet von einem Kandidaten aus auf 2 verschiedenen Ketten zu 2 verschiedenen Setzungen in einer anderen Zelle; dann muss der ausgehende Kandidat (Kettenanfang) falsch sein (Reduzierende Alternativ-Ketten). Prinzipiell kann das Verfahren auch auf Ausgangszellen mit mehr als 2 Kandidaten angewendet werden.

    Alle Schlussfolgerungen müssen dabei vor Beginn der Kettensuche aus dem aktuellen Sudoku hervorgehen, d.h. eine Schlussfolgerung, die erst während des Durchlaufs der Kette entsteht, ist nicht erlaubt, da dies eher eine Trial&Error-Methode wäre.

    Es gibt drei Arten von Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten und zwei Arten von Alternativ-Ketten:

    1. Einfache Widerspruchs-Kette (Discontinuous Nice Loop, Typ 1): Die Annahme, ein Kandidat ist gesetzt, führt zu einem Widerspruch: Der Kandidat kann gelöscht werden. Das ist der weitaus häufigste Fall (etwa 83 % aller Fälle). Dabei kann der Widerspruch erst in der Ausgangszelle, aber meistens (in 98 % dieser Fälle) schon vorher gefunden werden, wenn der Kandidat in der gleichen Zeile/Spalte/Box zwei Mal auftreten würde.
    2. Setzende Widerspruchs-Kette (Discontinuous Nice Loop, Typ 2): Die Annahme, ein Kandidat ist nicht gesetzt, führt zu einem Widerspruch: Daher muss der Kandidat richtig sein. Wird in knapp 5 % aller Fälle gefunden, hat aber den Vorteil, dass man gleiche eine Zelle setzen kann.
    3. Geschlossene Folgerungs-Kette (Continuous Nice Loop): Der Annahme, ein Kandidat ist gesetzt, wird nach einigen Schritten zurück in der Ausgangszelle nicht widersprochen. Die Kette ist geschlossen und kann an jeder Stelle begonnen werden, auch in umgekehrter Richtung. Um auf dem Weg der Kette Kandidaten streichen zu können, muss man - und nur bei den Geschlossenen Folgerungs-Ketten - den Verbindungstyp (starke oder schwache Verbindung - strong oder weak link; Zeichen "=" oder "-") berücksichtigen. Diese Kettenart wird nur in etwa 1 % aller Fälle gefunden, ist aber interessant, weil man oft viele Kandidaten streichen kann.
    4. Reduzierende Alternativ-Ketten: Ein Ausgangs-Kandidat führt zu zwei verschiedenen Setzungen in einer anderen Zelle: Daher muss der Ausgangs-Kandidat falsch sein. Wird in etwa 5 % aller Fälle gefunden.
    5. Setzende Alternativ-Ketten: Beide Ausgangs-Kandidaten führen zu einem Kandidaten einer anderen Zelle: Daher muss dieser Kandidat richtig sein. Wird in etwa 6 % aller Fälle gefunden.
    
    Der von Paul Stephens (http://www.paulspages.co.uk/sudokuxp/howtosolve/niceloops.htm) erwähnte Typ 3 der Widerspruchs-Ketten ist kein wirklich anderer Typ, da er immer auf den Typ 1 zurückgeführt werden kann.

    Allgemeine Vorgehensweise: Man betrachtet einen (von mehreren) Kandidaten einer Zelle und unterstellt, dass dieser zur Lösung gehört. Zum einen gilt dann, wenn einer der anderen Kandidaten dieser Zelle in einer von der betrachteten Zelle aus gesehenen Zeile, Spalte oder Box nur noch ein Mal vorhanden ist, muss dieser andere Kandidat dann dort sein (starke Verbindung - strong link). Zum anderen gilt, dass, wenn der betrachtete Kandidat in einer Paar-Zelle in einer von der betrachteten Zelle aus gesehenen Zeile, Spalte oder Box vorkommt, muss daher dort der andere Kandidat des Paares stehen, auch wenn er noch an anderen Stellen der Zeile, Spalte oder Box vorkommt. Man kann auch annehmen, ein Kandidat sei in einer Zelle nicht gesetzt: Wenn dieser dann in einer anderen sichtbaren Zelle nur noch ein Mal vorkommt, muss er dort gesetzt sein (ebenfalls eine starke Verbindung). Es kann aber auch eine weitere Beziehung benutzt werden: Wenn ein Kandidat in einer Zelle angenommen wird, kann er in den anderen Zellen der gleichen Zeile, Spalte und Box nicht sein; dann kann man aber eventuell schließen, dass von einer dieser Zellen aus gesehen dieser Kandidat nur noch ein Mal vorkommt, also dort (in einer dritten Zelle) gesetzt werden kann.

    Das Nicht-Vorkommen des Kandidaten k wird hier durch "!k" dargestellt (in der Literatur manchmal "<>k").  

    Prinzipiell gehört auch die Ausdünnmethode "Bowman's Bingo" in diese Gruppe, aber es sind keine Ketten, sondern ein Netz von Folgerungen ("Forcing Nets"). Man unterstellt einem Kandidaten einer (beliebigen) Zelle, dass er gesetzt ist und versucht durch einfachste Methoden (im Prinzip die Methoden E und F) die Folgerungen daraus zu bestimmen. Stößt man dabei auf einen Widerspruch, kann dieser Kandidat gestrichen werden. Diese Methode ist zwar nahe einem Trial&Error-Verfahren, aber noch sinnvoll benutzbar. Es sind allerdings im Mittel etwa 17-18 Schritte nachzuvollziehen, ehe man auf einen Widerspruch stößt; über 85 % liegen zwischen 11 und 25 Schritten, manchmal reichen aber auch 3 bis 10 Schritte aus; eine Begrenzung wird hier auf 28 Schritte gelegt (der Lesbarkeit wegen). Andrew Stuart beschreibt das Verfahren als letzten Ausweg vor Trial&Error ("SudokuWiki"). Es ist sinnvoll, bei einer Zelle mit vielen Kandidaten zu starten (Zellen mit 3, 4 und 5 Kandidaten als erstem Schritt und Zellen mit 2, 3 und 4 Kandidaten als zweitem Schritt waren in mehr als 75 % der 18000 Testfälle erfolgreich).

    Bewertung: 13+N Punkte (mit Länge N) bei Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten ohne "!" innen, 15+N Punkte bei Widerspruchs- und Folgerungs-Ketten mit "!" innen, 17+N Punkte (mit Maximallänge N) bei Alternativ-Ketten, maximal also 33 Punkte. Bei "Bowman's Bingo" werden 16 + 2 * Schrittzahl Punkte gewertet.

    Literatur:
    http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_chains.php#nl
    http://www.paulspages.co.uk/sudokuxp/howtosolve/niceloops.htm

    Beispiel einer Einfachen Widerspruchs-Kette:

    Nimmt man an, dass in Zeile 1 und Spalte 6 der Kandidat 3 richtig wäre, kann in der 6. Spalte der Kandidat 5 nur noch in Zeile 2 auftreten (Box!). Das bedeutet aber für den Kandidaten 8 in Zeile 2, dass dieser nur in Spalte 7 sein kann. Damit kann aber in Zeile 1 und Spalte 7 (wegen des Paares 38) nur eine 3 sein. Das ist aber ein Widerspruch, weil in einer Zeile nur eine 3 stehen kann. Der Kandidat 3 kann also in Zeile 1 und Spalte 6 nicht möglich sein. Also:

    68 1 25 237 4 3 ≠ !3 [3]581-A=E 3 384 9 67 9 3 45 17 6 5 1582 8 183 2 47 68 7 24 123 9 138 13 5 46 1 2 3 4 5 7 6 8 9 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    Schreibweise: (1:6)3 - (2:6)5 - (2:7)8 - (1:7)3 [- (1:6)!3]

    Das folgende Beispiel zeigt eine Einfache Widerspruchs-Kette, die direkt in der Ausgangszelle endet:

    1349 5 ≠ 2 12[5]91-A=E 13 248 24568 468 7 1358 13589 134 1 152 6 7 5 4583 9 18 2 38 7 8 9 295 1 2 254 3 4 56 569 2 39 34 6 1 7 89 458 58 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Annahme: Kandidat 5 in Zeile 1 und Spalte 2, das führt zu einer 1 in der Zeile darunter. Damit muss in Zeile 2 und Spalte 5 die 5 stehen, also die 2 in der Zeile darunter. Damit bleibt für das Paar in Zeile 3 und Spalte 3 nur noch der Kandidat 9 übrig, was zu dem Kandidaten 2 in der Ausgangszelle führt. Das ist aber ein Widerspruch.

    Schreibweise: (1:2)5 - (2:2)1 - (2:5)5 - (3:5)2 - (3:3)9 - (1:2)2 [- (1:2)!5]

    Beispiel einer Setzenden Widerspruchs-Kette:

    269 5 2689 7 7892 1 3 4 269 !7 ≠ 7 [6]7[9]1-A=E 4 344 1 289 6 279 8 24893 29 5 3 3795 34 7 269 5 29 249 1 8 369 269 3 269 1 5 269 8 7 4 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Es wird in Zeile 1 und Spalte 9 angenommen, dass dort keine 7 stehen kann. Dann muss die 7 in der gleichen Zeile in Spalte 4 stehen, was die 8 dieser Box nur noch in Zeile 2 und Spalte 6 zulässt. Das bedeutet weiter, dass die 4 dieser Zeile in Spalte 1 stehen muss, woraus aber folgt, dass in dieser Zeile die 3 nur in Spalte 9 sein kann. Das heißt aber, dass der Kandidat 7 nun in der Ausgangszelle stehen muss (Box!). Das ist ein Widerspruch zu der ursprünglichen Annahme, die also falsch ist. Die 7 muss also in Zeile 1 und Spalte 9 stehen. Also können die anderen Kandidaten der Startzelle, also 6 und 9, gestrichen werden.

    Schreibweise: (1:9)!7 - (1:4)7 - (2:6)8 - (2:1)4 - (2:9)3 - (1:9)7

    Beispiel einer Geschlossenen Folgerungs-Kette:

    1 ≡ 1 135671 [1]2567 236 4567[9] !9 2593 3467 467 8 9 192 4 12567 26 5679 8 679 19 256 3 3567 8 9 1 235 346 467 256 457 3 13[6][9]5 1469 7 569 9 3[5]94 8 2 56 45 38 246 2368 567 35 1 3467 9 457 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Man nimmt an, in Zeile 1 und Spalte 1 ist der Kandidat 1 gesetzt. Das führt zu einer 9 in Spalte 9 dieser Zeile und dann dazu, das in Zeile 1 und Spalte 5 keine 9 stehen kann. Die 9 dieser Spalte muss dann in der Zeile 4 stehen (andere Werte in dieser Spalte entsprechend unterstellt). Damit muss die 3 der Zeile 4 in Spalte 1 stehen, was zu einer 1 in der Startzelle führt (andere Werte in dieser Spalte entsprechend unterstellt). Das ist also kein Widerspruch.

    Hier können nun 5 Kandidaten gestrichen werden: Ist auf dem Weg eine Zelle in beiden Richtungen mit einer starken Verbindung (strong link, Zeichen "=") mit unterschiedlichen Kandidaten verbunden, kann man die restlichen Kandidaten in dieser Zelle streichen: Hier wird die Zelle in Zeile 4 und Spalte 5 mit dem Kandidaten 9 stark erreicht und geht stark weiter mit Kandidat 3 (Teilweg: (1:5)... = (4:5)9 = (4:1)3), also kann die 5 gestrichen werden. Ähnlich wird die Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 mit dem Kandidaten 3 stark erreicht und geht stark weiter mit Kandidat 1 (Teilweg: (4:5)... = (4:1)3 = (1:1)1), also können die Kandidaten 6 und 9 gestrichen werden. Wird eine Zelle mit einer schwachen Verbindung (weak link, Zeichen "-") verlassen, kann dieser Kandidat aus den anderen (nicht betrachteten) Zellen der entsprechenden Zeile bzw. Spalte bzw. Box (in Richtung des Links) gestrichen werden (Teilwege: (1:1)1 - (1:9)... mit Streichung der 1 in Zeile 1, und (1:9)9 - (1:5)... mit Streichung der 9 ebenfalls in Zeile 1). Die Begründung für dieses Vorgehen folgt aus der Betrachtung der Umkehrung der Folgerungs-Kette; siehe auch die angegebene Literatur.

    Schreibweise: (1:1)1 - (1:9)9 - (1:5)!9 = (4:5)9 = (4:1)3 = (1:1)1 oder z.B.: (4:1)3 = (1:1)1 - (1:9)9 - (1:5)!9 = (4:5)9 = (4:1)3
    Umkehrung: (1:1)!1 = (4:1)1 = (4:5)3 = (1:5)9 - (1:9)1 - (1:1)!1 oder z.B.: (4:1)1 = (4:5)3 = (1:5)9 - (1:9)1 - (1:1)!1 = (4:1)1

    Umkehrung der Geschlossenen Folgerungs-Kette:

    !1 135671 [1]2567 236 4567[9] 9 2594 3467 467 8 1 195 4 12567 26 5679 8 679 19 256 3 3567 8 9 1 235 346 467 256 457 1 13[6][9]2 1469 7 569 3 3[5]93 8 2 56 45 38 246 2368 567 35 1 3467 9 457 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Man sieht, dass die Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 entweder 3 oder 1 sein muss, und die Zelle in Zeile 4 und Spalte 5 entweder 9 oder 3 sein muss; also können die jeweils anderen Kandidaten gestrichen werden. Weiter sieht man, dass die Kandidaten 1 und 9 in Zeile 1 entweder in Spalte 1 und 9 oder aber in Spalte 9 und 5 stehen müssen; also können diese Kandidaten aus den nicht betrachteten Zellen der Zeile 1 gestrichen werden.

     
    Setzende Alternativ-Ketten

    17 1238 3678 247 5 246 1267 278 9 4 125 67±1-A 279 8 269 1267 257 3 57 2568-2 9 1 27 3 4 6[7]-3+4-E 58 9 56 4 8 1 7 3 256 25 2 358 378+2 345 6 45 9 4578+3 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Startet man mit dem Kandidaten 6 in Zeile 2 und Spalte 3, kann in Zeile 3 und Spalte 2 keine 6 stehen; daher kann die 6 dieser Zeile nur in Spalte 8 stehen. Startet man andererseits in Zeile 2 und Spalte 3 mit der 7, kann diese in Zeile 5 und Spalte 3 nicht stehen, muss also in Zeile 5 und Spalte 8 sein; daraus folgt, dass in Zeile 3 und Spalte 8 keine 7, also ebenfalls eine 6 stehen muss. Damit folgt aus beiden Alternativ-Ketten, dass in Zeile 5 und Spalte 8 der Kandidat 6 gesetzt werden kann.

    Schreibweise: (2:3)6 - (3:2)!6 - (3:8)6 (mit den negativen Indizes markiert)   und   (2:3)7 - (5:3)!7 - (5:8)7 - (3:8)6 (mit den positiven Indizes markiert)

     
    Reduzierende Alternativ-Ketten

    89-4+4-E 4 5 2 7 38 389-3 1 6 3 128 128 6 9 5 28 4 7 269 7 26 34 48 1 5 29 38 128+3 6 178+2 5 3 24 19-2 7[9]±1-A 14 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Geht man von dem Kandidaten 9 in Zeile 4 und Spalte 8 aus, gibt es zwei unterschiedliche Ketten: Wegen der 9 dort muss links davon eine 1 stehen, damit muss die 9 darüber in Zeile 1 stehen (entsprechende Fortsetzung der anderen Zellen dieser Spalte unterstellt), was dann zu einer 8 in Zeile 1 und Spalte 1 führt. Andererseits folgt auch aus der 9 in Zeile 4 und Spalte 8, dass in der Zeile 4 und Spalte 3 eine 7 stehen muss, und damit eine 8 in der ersten Spalte links davon, das aber jetzt zu einer 9 in Zeile 1 und Spalte 1 führt. Das ist ein Widerspruch, weswegen man den Ausgangskandidaten 9 streichen kann.

    Schreibweise: (4:8)9 - (4:7)1 - (1:7)9 - (1:1)8 (mit den negativen Indizes markiert)   und   (4:8)9 - (4:3)7 - (4:1)8 - (1:1)9 (mit den positiven Indizes markiert)

     
    Das folgende Beispiel zeigt keine Widerspruchs-Kette im oben definierten Sinn, obwohl es Programme gibt, die damit arbeiten (dann z.B. Generalized Forcing Chain genannt) - es ist eher ein Bowman's Bingo:

    7 2796 4 2 2788-E 2679 269 169 3 5 168 3 189 8 787 45679 4569 1569 2 68 1678 2 2571-A 5 1252 6 27 3 8 1 173 4 9 9 2795 3 5 24689 2469 269 7 47894 1 2478 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Man nimmt an, der Kandidat 2 in Zeile 3 und Spalte 1 wäre richtig. Dann muss die 5 daneben in Spalte 2 liegen und danach der Kandidat 1 in Spalte 7. Die 7 in der Zeile darunter kann auch noch aus den Anfangsbedingungen geschlossen werden (entsprechende Fortsetzung der anderen Zellen dieser Spalte unterstellt). Dass aber daraufhin der Kandidat 9 in Zeile 4 und Spalte 1 stehen muss, lässt sich nur dann ableiten, wenn man auch davon ausgeht, dass am Anfang in der gleichen Spalte die 2 als Ausgangskandidat gesetzt wurde, somit für die Zelle in Zeile 4 und Spalte 1 nur noch die 9 übrig bleibt. Dies folgt aber nicht aus den Anfangsbedingungen. Das gleiche gilt für den nachfolgenden Schluss, dass in Zeile 1 und Spalte 1 eine 7 stehen muss (2 und 9 sind in dieser Spalte schon vergeben). Der nachfolgende Schritt, die 8 in Zeile 2 und Spalte 3, ist wieder richtig geschlossen, aber die dem Ausgangspunkt widersprechende 2 in Zeile 1 und Spalte 3 ist ebenfalls nicht aus dem Schritt "Zeile 2 und Spalte 1 = 8", sondern nur mit dem vorhergehenden Schritt zusammen schließbar.

     
    Beispiel für einen einfach zu findenden Widerspruch mit Bowman's Bingo:

    2 232 124 15 347 1457 9 6 8 7 273 7 12456 1356 3456 8 14 12359 12349 239 9 14568 13568 2 14567 147 1357 1347 ? 37 1 269 369 8 269 5 4 7 236794 3 236795 3 2381 7 3689 46 12469 124 2389 5 3689 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Man setzt Zahl 3 in Zeile 4 und Spalte 1, damit dann Zahl 2 in Zeile 1 und Spalte 1, und folglich Zahl 7 in Zeile 1 und Spalte 9, daraufhin Zahl 7 in Zeile 4 und Spalte 8, und damit Zahl 3 in Zeile 4 und Spalte 9 (wie immer die fehlenden Zeilen entsprechend gesetzt). Dann folgt: "Kein Kandidat übrig in Zeile 3 und Spalte 9". Man sieht hier, dass es sinnvoll sein kann, bei einer Zelle mit vielen Kandidaten zu starten, von der aus auch eine Zelle mit nur 2 Kandidaten sichtbar ist.

     
    Dieses Beispiel zeigt ebenfalls keine Widerspruchs-Kette im oben definierten Sinn - aber mittels Bowman's Bingo auch einen einfach zu findenden Widerspruch:

    2 295 5 25793 8 6 4 9 392 7 2374 1 3 2571 6 ? 25 1 8 235 7 4 23 9 4 2579 3 259 25 1 8 6 257 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    
    Man nimmt hier an, der Kandidat 3 in Zeile 1 und Spalte 9 wäre richtig. Dann muss in Spalte 6 die 9 sein. Ebenso folgt, dass der Kandidat 5 in dieser Zeile in Spalte 2 stehen muss, da die andere 5 durch das Setzen des Ausgangskandidaten 3 nicht mehr in Spalte 9 stehen kann. Darauf folgt das Setzen der (letzten) 7 in Spalte 7 und der 2 in Spalte 1. Damit bleibt für die Zelle in Zeile 2 und Spalte 2 kein Kandidat übrig, was aber ein Widerspruch ist. Dieses Beispiel zeigt ebenso, dass es sinnvoll sein kann, mit einem Kandidaten anzufangen, der viele Streichungen in den von dort aus sichtbaren Zellen ermöglicht.

    Beispiele mit Widerspruchs-Ketten und Widerspruchs-Netzen

    Beispiel mit 3 Einfachen Widerspruchs-Ketten (ohne "!"; bis Länge 6): 000000000000000012003004000000005000006010007020000008000820000007000430010090000

    Beispiel mit 3 Einfachen Widerspruchs-Ketten (mit "!"; bis Länge 8): 900000300010020000005003006000009700080060030007500001700400500000080090004006002

    Beispiel mit 7 Einfachen Widerspruchs-Ketten (bis Länge 12): 000000000000001004004000208206040000790200400000080709902000005010009030073500000

    Beispiel mit 21 Einfachen Widerspruchs-Ketten (bis Länge 14): 000001580200080000700600000900803700020000010004206003000005001000030004032100000

    Beispiel mit 6 Setzenden Widerspruchs-Ketten (bis Länge 9): 090000080706000509030209010005010200000607000009020400060108050103000807050000040

    Beispiel mit 1 Setzenden Widerspruchs-Kette mit 6 streichbaren Kandidaten (Länge 5): 000000000450100207000026000090040760000000092638000005002001000000700006900000504

    Beispiel mit 1 Setzenden Widerspruchs-Kette mit 2 streichbaren Kandidaten (Länge 13): 000000001009002040500090000030400008006070500900006030000050002040800100300000000

    Beispiel mit 2 Geschlossenen Folgerungs-Ketten (bis Länge 8), in etwa 8 sec: 001005007000030040900700600007800009080000050200003400005007001090080000100500200

    Beispiel mit 1 Geschlossenen Folgerungs-Kette mit 7 streichbaren Kandidaten (Länge 6): 200000000309800005000009010008040060000008900062000008050000140000395000000700006

    Beispiel mit 1 Geschlossenen Folgerungs-Kette mit 4 streichbaren Kandidaten (Länge 12): 000000009008001300050020010001602040000050000020403700030040050006700800900000000

    Beispiel mit 1 Geschlossenen Folgerungs-Kette mit 13 streichbaren Kandidaten (Länge 14): 090000004100000060007008200000015700000302000003860000002700300060000001900000040

    Beispiel mit 58 Widerspruchs-Ketten (von 74 Ketten, in etwa 1.5 sec) 100000200030010000004005006000007300060040050002800001700300000000060040005002008

    Beispiel mit 1 Setzenden Alternativ-Ketten (Längen 3 und 6): 120006009000000100709100465000008000670002000000601030300000850004800902890000000

    Beispiel mit 4 Setzenden Alternativ-Ketten (bis Länge 8, in etwa 5 sec): 000001020300450000006070800600010080028604750070080006004020300000049002090100000

    Beispiel mit 1 Reduzierenden Alternativ-Ketten (Längen 2 und 7): 000000000000000012003004000000000300005000600070010000008003000090076000210000050

    Beispiel mit 1 Reduzierenden Alternativ-Ketten (Längen 6 und 3): 000000000000000012000034005000002006007050400008100000000040800060000000120000000

    Beispiel mit 4 Reduzierenden Alternativ-Ketten (Längen 8 und 7): 000000000000000001002034000000002030010005000060700800000600000004000020080100700

    Beispiel mit 2 Setzenden und 2 Reduzierenden Alternativ-Ketten (Längen bis 8, in etwa 2 sec): 000000000004201900012509630093000740000090000067000190049706320006103500000000000

    Beispiel mit Einfachen Widerspruchs-Ketten, Setzenden Widerspruchs-Ketten, Geschlossenen Folgerungs-Ketten und Reduzierenden Alternativ-Ketten (in 2.5 sec): 020007600450089007700000000000060900030090078005000000001000005000200000940070003 Mit allen 5 Typen der Widerspruchs-Ketten, 668 Punkte, 2-Norm: 125.4, Max: 28 aus 24 Zahlen - A: 0, B: 0, C: 0, D: 0, E: 12, F: 45; Ausdünnschritte: 44, Zeilen-/Spalten-Tests: 3, Box-Tests: 3, N-Tupel: 1 (maximal 3-Tupel (Tripel)), Goldene Ketten: 6 (maximal 6 lang), WXYZ-Wing: 1, Einzelzahl-Widerspruchs-Ketten: 4 (maximal 3 lang), Widerspruchs-Ketten: 16/2/1/1/6 (maximal 11 lang) - in etwa 5 sec:
    100000200030040000005006007000002100080030090007500002400100800000090050003007006

Bowman's Bingo mit 3 Schritten bis zum Widerspruch mit 108 Punkten in etwa 0.3 sec: 001000200030104050600000007080206030000000000090507080300000004040605090008000600

Bowman's Bingo mit 4 Schritten bis zum Widerspruch mit 116 Punkten in etwa 0.5 sec:
000000000098007006054003002000010040000500900013002008000070500000200080085006004

Bowman's Bingo mit 6 Schritten (2 Mal: Ausdünnschritt 6 und 7) bis zum Widerspruch mit 203 Punkten in etwa 1 sec:
000500000004000209009240070600007401048600000000000005207001004000000090900006300

Bowman's Bingo mit 9 Schritten bis zum Widerspruch mit 162 Punkten in etwa 0.8 sec:
000000008000060500000852040030000100001009400007001069000007020002900014610200007

Bowman's Bingo mit 13 Schritten bis zum Widerspruch mit 217 Punkten in etwa 1 sec:
000007600000100030700030005000000800008204096900000000012500000007020300045900000

Weitere Beispiele mit Bowman's Bingo findet man unter Schwierige Sudokus mit Bowman's Bingo